Вычислительная Математика / lecture_5

(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич

11

a11x1 +

a12x2 +

.......

+a1n xn =

b1

.a21x1 +

a22x2 +

.......

+a2n xn =

b2

......... .......... ....... ........... ....

an1x1 +

an2x2 +

.......

+ann xn =

bn

x1 =

d1

−

( 0 x1

+ c12x2

+ c13x3

+ .....

+ c1n xn )

x2 =

d2

− ( c21x1

+ 0 x2

+ c23x3

+ .....

+ c2n xn )

....... ........ ...........

..........

........... ......... ...........

xn =

dn −

( cn1x1

+ cn2x2

+ cn3x3

+ .....

+ 0 xn ),

b

0

приi = j

i

где di =

;

cij = aij

приi ≠ j

i =1,2,3,L,n; j =1,2,3,L,n

aii

aii

Тогда итерационную формулу запишем в виде:

→k	→	= →k−1		k =1,2,3,L,
x	= d	−C x	;
где	вектор		→	–	приведенный	столбец	свободных	членов,
			d

=

матрица C – приведенная матрица коэффициентов.

Второй этап. Проверяем условие сходимости

=

|| C ||≤1,

если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап.

Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной

→0	→
формуле. За начальное приближение принимается вектор x	= d . Условием окон-
чания итерационного процесса является выполнение условия
→k →k−1
|| x − x ||≤ε,
→k		→k−1	– смежные
где величина ε определяет точность получаемого решения, а x		и x

приближения к решению.

(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич

12

Блок-схема метода простых итераций

Начало

→

→

= →

x = d

n, A , b ,ε

→

→

= →

формирование

z = d

−C x

=

матрицы C

→

→

x

= z

=

да

нет

|| C ||≤1

→ →

z

− x

≤ε

→

z

Конец

Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.1.

−7.000

−2.000

2.000

x1

−7.000

1.000

−

7.000

−3.000

x

=

−7.000

2

−1.000

−3.000

−5.000

x3

−5.000

Преобразуем исходную систему к итерационному виду.

→k

→

= →k−1

k =1,2,3,L

x

= d

−C x ,

=

0.000

0.286

−0.286

=

0.000

0.429

= 0.876<1

С = −0.143

С

0.200

0.000

0.600

(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич

13

					→	1.000				→0			→
					d =	1.000				x	= d
						1.000
Результаты уточнения решения СЛАУ методом простых итераций
		→			=					→k−1				→k		→		→
	k																	∆ x
		d			C					x				x		∆ x
	1	1.000	–	0.000	0.286 –0.286					1.000				1.000		0.000
		1.000		–0.143	0.000	0.429			·	1.000		=		0.714		–0.286	0.849
		1.000		0.600	0.200	0.000				1.000				0.200		–0.800
	2	1.000	–	0.000	0.286 –0.286					1.000				0.853		–0.147
		1.000		–0.143	0.000	0.429			·	0.714		=		1.057		0.343	0.377
		1.000		0.600	0.200	0.000				0.200				0.257		0.057
	3	1.000	–	0.000	0.286 –0.286					0.853				0.771		–0.082
		1.000		–0.143	0.000	0.429			·	1.057		=		1.012		–0.045	0.095
		1.000		0.600	0.200	0.000				0.257				0.277		0.020
	4	1.000	–	0.000	0.286 –0.286					0.771				0.790		0.019
		1.000		–0.143	0.000	0.429			·	1.012		=		0.992		–0.020	0.064
		1.000	0.600		0.200	0.000				0.277				0.335		0.058
	5	1.000	–	0.000	0.286 –0.286					0.790				0.812		0.022
		1.000		–0.143	0.000	0.429			·	0.992		=		0.969		–0.022	0.032
		1.000	0.600		0.200	0.000				0.335				0.328		–0.007
	6	1.000	0.000		0.286 –0.286					0.812				0,817		0,004
		1.000	– –0.143		0.000	0.429			·	0.969		=		0,976		0,006	0,012
		1.000	0.600		0.200	0.000				0.328				0,319		-0,009
	7	1.000	0.000		0.286 –0.286					0,817				0,810		-0,002
		1.000	– –0.143		0.000	0.429			·	0,976		=		0,981		0,001	0,003
		1.000		0.600	0.200	0.000				0,319				0,317		0,002
						→				0.812
									=
					ответ		x			0.969
										0.328