Рассмотрим матрицу специального вида

в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называтьтрапециевидной. При r = n она будет треугольной.

Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.

Пример 2.

Найти ранг матрицы .

Решение



На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.

Метод Гаусса решения слаУр

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы .

Рассмотрим расширенную матрицу системы

.

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или .

Замечание

Если и, гдеn – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же, то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

1. Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

­– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

1. С  ,,

следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

2. С  ,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

3. если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).

3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

Пример 3.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .



,

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

.

Таким образом, .

Пример 4.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение



Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:



где и– произвольные параметры.

Пример 5.

Исследовать и решить СЛАУр:

Решение



Так как , то система несовместна (решений нет).

Пример 6.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Таким образом, .

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках и найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

2. Даны вершины треугольной пирамиды ,. Найти:

1) угол между ребрами и;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.