Билет № 1

Геометрическая точка – абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик. Таким образом, точкой называют нульмерный объект.

Траектория- это линия которую описывает при своем движении в пространстве материальная точка.

Перемещение-это вектор соединяющий начальное и конечное положение материальной точки в пространстве за данный промежуток времени, τ-вектор [τ]=1м

Путь- это часть траектории пройденная материальной точкой за данный промежуток времени ,Sт –скаляр, измеряется[s]=1м

Скорость- это физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени V=S/t

Нормальное ускорение (центростремительное ускорение) — ускорение, направленное перпендикулярно мгновенной скорости и изменяющее ее по направлению .

Тангенциальное ускорение-физическая величина равная первой производной по времени от модуля скорости .

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих

Пример движения тела брошенного под углом к горизонту Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью 490 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Найти высоту, дальность и время полета снаряда, не учитывая его вращение и сопротивление воздуха. Решение задачи Найти: Дано:м/сСвяжем ИСО с орудием.Составляющие скорости по осям Ox и Oy в начальный момент времени равны:- остается неизменной во все время полета снаряда,- меняется согласно уравнению равнопеременного движения. В наивысшей точке подъема, откудаПолное время полета снарядаc. Высоту подъема снаряда определим из формулы пути равно замедленного движениям. Дальность полета определим какм.

Билет№ 2

Материальная точка- называется тело размерами которого в данный момент можно пренебречь.

Импульс тела- произведение массы тела на его скорость P=mV , т.к m>0 PV, вектор [P]= 1 кг*м/с= Н*с

Сила- это количественная мера взаимодействия тел, вектор F [F]=1H

Инерциальной системой отсчета – является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних взаимодействий , либо покоится , либо движется равномерно прямолинейно.

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета (инерциальные) в которых, если на тело действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано, то тело покоится или движется равномерно прямолинейно

∑a=0, V=0 или V=const

Второй закон ньютона

В инерциальных системах отсчета ускорение приобретаемое телом прямо пропорционально сумме всех сил, приложенных к телу и обратно пропорционально массе этого тела

a=

Третий закон Ньютона

В инерциальной системе отсчета, два тела действуют друг на друга с силами равными по модулю, противоположными по направлению, по одной прямой соединяющей центры тел, приложенным к разным телам

F12=-F 21

Принцип независимости действия сил

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, согласно второму закону Ньютона, как будто других сил нет.

Силы в Механнике

Закон всемирного тяготения

Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения , прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

F=Gm1m2/r^2

Сила тяжести- сила притяжения тел к Земле. Зависит от массы тела Fтяж=mg

Сила трения- это сила взаимодействия между соприкасающимися телами препятствующая перемещению одного тела относительно другого

Fтрен=

N-сила реакции опоры

Сила упругости- это сила, возникающая при упругой деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации

Fупр=kx

Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации

F=kx

k-коэффициент жесткости пружины

х- величина растяжения

Модуль Юнга

Величина равная отношению нормального напряжения к вызванной им относительной упругой деформации при своем растяжении- сжатии материала

E=S/│L│ lLl- относительное удлинение тела

S- нормальное напряжение тела

Билет№ 3

Закон сохранения импульса для системы материальных точек

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2,...mn, V1,V2,...,Vn. Пусть F'1 F’2, ...,F'n —равнодействующие внутренних сил,

действующих на каждое из этих тел, а F1, F2, ..., Fn — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из N тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения,

Получим:

Так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

Или

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Центр инерции системы тел

Если тело состоит из n материальных точек с массами и радиус-векторами, то центром масс системы материальных точек называют такую т.С, радиус-вектор которой определяется следующим образом:

где и- масса и радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая масса всей системы.

Скорость центра масс

Скорость центра масс определяется выражением:

Система центра инерции

Если тело состоит из N материальных точек с массами mi и радиус-векторами ri, то Систему центра инерции материальных точек называют такую т. С

Радиус-вектор которой равен

mi-общая масса всей системы

m-масса i-той точки

Применение закона сохранения импульса

Применим закон сохранения импульса к задаче об отдаче пушки. Вначале, до выстрела, как пушка (массы М), так и снаряд (массы m) покоятся. Значит, суммарный импульс системы пушка— снаряд равен нулю. После выстрела пушка и снаряд получат скорости V0 и v0 соответственно. Суммарный импульс после выстрела также должен равняться нулю, согласно закону сохранения импульса. Таким образом, непосредственно после выстрела будет выполнено равенство

или

откуда следует, что пушка получит скорость, во столько раз меньшую скорости снаряда, во сколько раз масса пушки больше массы снаряда; знак минус указывает на противоположность направлений скоростей пушки и снаряда.

Билет№ 4

Момент импульса

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L=[r*P]=[r*mV]

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; P = mv — импульс материальной точки.

Момент силы- векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, на вектор этой силы

где М— псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.

Модуль момента силы

где α — угол между r и F; r sin α = l кратчайшее расстояние между линией

действия силы и точкой О — плечо силы

Момент импульса для системы материальных точек

Предположим, что точка  неподвижна в случае одной материальной точки, дифференцируя равенство  , получаем: . При неподвижной точке  , поэтому , кроме того , т.о.  - это уравнение моментов для одной материальной точки. Для системы материальных точек, в которой  определяется выражением , а  - выражением , для внешних сил уравнение моментов имеет вид: . Моментом импульса системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси. 

Закон сохранения импульса для системы материальных точек

При произвольном движении системы n материальных точек:

Результирующий момент внутренних сил в соответствии с третьим законом Ньютона равен нулю.

В уравнении (1) операции дифференцирования и суммирования можно поменять местами:

Если внешние силы на систему не действуют, то

Момент импульса замкнутой системы величина постоянная, т.е. с течением времени не меняется – закон сохранения момента импульса.

Система центра инерции

Если тело состоит из N материальных точек с массами mi и радиус-векторами ri, то Систему центра инерции материальных точек называют такую т. С

Радиус-вектор которой равен

mi-общая масса всей системы

m-масса i-той точки

Билет 5

Работа – скалярное произведение силы на перемещение.

A=F_ss=Fs cos, A=[Дж].

F_s – проекция силы, (F_s =F cos)

dA=Fdr=Fcos ds - элементарная работа силы.

Мощность- работа совершаемая в единицу времени

N= , N=[Вт].

Кинетическая энергия- половина произведения массы тела на ее скорость в квадрате : T=mU²/2.

Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними:

П=mgh- в поле силы тяжести

П=kx^2/2 - в поле силы упругости. Поля, где работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения, называют потенциальными, а силы, действующие в них – консервативными.

Примером потенциальных сил являются упругие силы тяжести

Пример потенциальной энергии-Мяч бросают с какой-то высоты на землю. В верхней точки он обладает потенциальной энергией, кинетическая равна нулю. С уменьшением высота эта энергия тоже уменьшается. Когда мяч упадет на землю, он покатится. Его потенциальная энергия станет равной нулю, а к0инетическая примет какое-то значение.

Билет 6

Механическая энергия- это физическая величина, которая характеризует способность системы (тела) к совершению механической работы.

Полная механическая энергия – энергия механического движения и взаимодействия: E=T+П, где T=mU²/2

П=mgh.

Закон сохранения механической энергии: суммарная механическая энергия всех тел сохраняется, если: 1) система тел замкнута, 2) система отсчёта инерциальна, 3) действуют только консервативные силы.

E=T+П=const .

Пример:

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости. Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.  Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы. При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

 

Из этих соотношений следует: 

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами инаправленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно 

F = 6mg.

Билет 7

Абсолютно твёрдое тело – совокупность точек, расстояние между которыми не изменяется, каким бы взаимодействиям данное тело в процессе движения ни подвергалось.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота по времени:

Ѡ=dφ/dt

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Έ=dѠ/dt

Поступательное движение – механическое движение абсолютно твёрдого тела (система точек), при котором отрезок прямой связывающий две любые точки этого тела, форма и размеры которого во время движения не меняются, остаётся параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Вращательное движение – механическое движение, где абсолютно твёрдое тело (система точек) описывает окружность. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

Аналогии в кинематике поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение		Вращательное движение
Перемещение	S	Угловое перемещение	φ
Линейная скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Масса	m	Момент инерции	I
Импульс		Момент импульса
Сила	F	Момент силы	M
Закон сохранения импульса		Закон сохранения момента импульса

Билет 8

Кинетическая энергия вращающегося тела: равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

T_вр=J_z/2 ,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z.

Момент инерции – физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний:

J=∑mi*r^2_.

Теорема Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния между осями:

J= J_с+ma².

Применение: если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется по данной теореме.

Билет 9

Момент силы- векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, на вектор этой силы

=[r*F]

M=Frsin – модуль момента силы,

где -угол между r и F.

Работа при вращении тела: Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 29). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r , α — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая (18.1), можем записать

где Frsina = Fl ~ Mz — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Уравнение динамики вращательного движения:

M=J*dѠ/dt=Jέ, где -угловая скорость,

-угловое ускорение.

Билет № 10

Закон сохранения механической энергии

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Формула:

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Закон сохранения импульса.

В замкнутой системе суммарный импульс тел сохраняется.

∑F=0, то ∑ Pсис=const

Или в замкнутой системе геометрическая сумма импульсов до взаимодействия равна геометрической (векторной) сумме после взаимодействия.

Формула:

Закон сохранения момента импульса.

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. 

Поэтому 

или

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.

Пример применения закона сохранения момента импульса для системы твердых тел.

Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, по которому они могут скользить (рис. 6.11). Шары сближают и соединяют нитью. Затем всю установку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. Угловая же скорость установки при этом резко уменьшается.  Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона сохранения момента импульса, ибо данная установка ведет себя, по существу, как замкнутая, так как внешние силы компенсируют друг друга, ибо силы трения в оси малы.

Тогда из равенства моментов импульса шаров относительно точки C в начальном и конечном состояниях системы следует

Билет № 11

Движение тел с переменной массой .

Рассмотрим системы, массы которых изменяются. Такие системы можно рассматривать как своего рода неупругое столкновение. В этом случае импульс системы

Полный импульс системы частиц равен произведению полной массы системы М на скорость её центра масс .

Если продифференцировать обе части равенства по времени, то при условии, что M постоянна, получим:

где – внешняя результирующая сила, приложенная к системе.

 Важным примером систем с переменной массой являются ракеты, которые движутся вперед за счет выбрасывания назад сгоревших газов; при этом ракета ускоряется силой, действующей на нее со стороны газов. Масса М ракеты все время уменьшается, т.е.  dM / dt < 0.

2)Уравнение Мещерского .

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы

Основной закон динамики поступательного движения тела переменной массы, уравнение Мещерского, имеет вид— ma=Fреакт+Fвнешн

А формула Циолковского такова:

V=U*ln m0/m

3)Реактивное движение.

Реактивное движение — это движение, которое возникает при отделении от тела некоторой его части с определенной скоростью. Реактивное движение, например, выполняет ракета для расчета скорости ракеты.

Рассмотрим в качестве примера действие реактивного двигателя. При сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла ракеты со скоростью 

Ракета и выбрасываемые ее двигателем газы взаимодействуют между собой. На основании закона сохранения импульса при отсутствии внешних сил сумма векторов импульсов взаимодействующих тел остается постоянной. До начала работы двигателей импульс ракеты и горючего был равен нулю; следовательно, и после включения двигателей сумма векторов импульса ракеты и импульса истекающих газов равна нулю:

, (17.1)

где — масса ракеты;— скорость ракеты;— масса выброшенных газов;— скорость истечения газов.    Отсюда получаем

, (17.2)

а для модуля скорости ракеты имеем

. (17.3)

Эта формула применима для вычисления модуля скорости ракеты при условии небольшого изменения массыракеты в результате работы ее двигателей.

4)Реактивная сила.

Движение большинства современных самолётов является реактивным, т.к. происходит в результате истечения с огромной скоростью нагретых в двигателе газов. При этом самолёт движется в сторону, противоположную скорости истечения газов. Так же движутся и ракеты, выбрасывая из сопла продукты сгорания топлива. Примером реактивного движения может служить и отдача ствола пушки при выстреле. Силу, действующую на тело при реактивном движении, называют реактивной силой.

Билет № 12-

Неинерциальные системы отсчета

В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже не справедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые силы инерции. Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело

(включая и силы инерции). Силы инерции Fин при этом должны быть такими,

чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга,

они сообщали телу ускорение а' каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

Так как F = mа (а — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции

Силы инерции — силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета: , где

  — сила, действующая на тело со стороны других тел;

  — сила инерции, действующая на тело относительно поступательно движущейся НСО. — ускорение НСО относительно ИСО. Она появляется, например, в самолете при разгоне на взлетной полосе;

  — центробежная сила инерции, действующая на тело относительно вращающейся НСО. — угловая скорость НСО относительно ИСО,— расстояние от тела до центра вращения;

  — кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со скоростью относительно вращающейся НСО.— угловая скорость НСО относительно ИСО (вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта).

Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением, т.е. это кажущиеся силы.

Центробежная сила инерции

Рассмотрим вращающийся диск с закрепленными на нем стойками с шариками, подвешенными на нитях (рис.2). При вращении диска с постоянной угловой скоростью  шарики отклоняются на некоторый угол, тем больший, чем дальше он находится от оси вращения. Относительно инерциальной системы отсчета (неподвижной) все шарики движутся по окружности соответствующего радиуса R, при этом на шарики действует результирующая сила (рис.3).

        

Рис 2. Рис.3

 

Согласно второму закону Ньютона

учитывая, что F/P=tgα, можно записать

т.е. угол отклонения шарика зависит от угловой скорости и от его удаления от оси вращения диска.

Относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик находится в покое.

Это возможно в том случае, если сила (8) уравновешена силой инерции, называемойцентробежной силой инерции:

Сила Кориолиса

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Вращающаяся Земля как неинерциальная система отсчета.

Из-за вращения Земли система отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной. Если рассматривать движения тел в этой системе, то нужно вводить центробежную силу инерции во всех точках поверхности Земли кроме полюсов, , гдеr – расстояние от поверхности Земли до оси вращения, а w – угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси. Эта сила перпендикулярна к оси вращения и составляет с силой тяжести некоторый угол, зависящий от географической широты местности (рис. 5.6). Действие сил инерции приводит к тому, что вес тела всюду, кроме полюсов, несколько меньше силы тяжести.

Неинерциальность земной системы отсчета проявляется и в том, что значение ускорения свободного падения оказывается различным в разных местах Земли и зависит от географической широты того места, где находится связанная с Землей система отсчета, относительно которой определяется ускорение свободного падения. Измерения, проведенные на разных широтах, показали, что числовые значения ускорения свободного падения мало отличаются друг от друга. Поэтому при не очень точных расчетах можно пренебречь неинерциальностью систем отсчета, связанных с поверхностью Земли, а также отличием формы Земли от сферической, и считать, что ускорение свободного падения в любом месте Земли одинаково и равно .

Проявления силы Кориолиса

1. Отклонение полета снаряда

Пуля из ружья 500 м/c отклонится на пути в 0,5kм (т.е. за 1с.) на 3,5 cм. Пушка Коллосаль (Труба кайзера Вильгельма): дальность стрельбы – 110 км Отклонение ~ 1км!

2. Проблема правого рельса

Правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые (в северном полушарии).

3. Закон Бэра

В северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек, а в южном полушарии – наоборот.

Билет № 13

Релятивистская механика

Релятивистская механика —механика, учитывающая законы теории относительности, изучающая законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света. Ничего еще не зная об этих законах, сразу можно утверждать: необходимое (но отнюдь недостаточное) требование к релятивистской механике таково — при «малых скоростях» V/c≪1 законы релятивистской механики должны переходить в законы механики Ньютона. Основание для такого утверждения состоит в том, что законы механики Ньютона проверены на многовековом опыте.

Второй закон Ньютона формально имеет тот же вид, что и в классической механике:

где Т — сила.

Но в релятивистской механике формула, определяющая вектор импульса, выглядит так:

Здесь m — масса покоя тела (масса в той системе, где тело покоится). Эта масса связана с энергией, «заключенной в теле», соотношением: E=mc^2.

Второе основное соотношение — формула для кинетической энергии:

Принцип относительности: Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета

      В основе СТО лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном.

1. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.  Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к любым инерциальным системам отсчета. Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими).

2. Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света.  Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон.

       В первом постулате главное то, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс и др.         Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли в ранг закона природы:  c = const.

       Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения. СТО, опираясь на более совершенные данные, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени. Эти свойства необходимо учитывать при скоростях движения, близких к скорости света.

Относительность промежутков времени и длин отрезков

Относительность промежутков времени

Пусть инерциальная система отсчета K покоится, а система отсчета K₀ движется относительно системы K со скоростью v.

Пусть интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке инерциальной системы K₀, равен t₀.

Тогда интервал времени между этими же событиями в системе K будет выражаться формулой:  

Это эффект замедления времени в движущихся системах отсчета. Если v << c, то величиной можно пренебречь, тогдаи никакого замедления в движущихся системах можно не учитывать.

Замедление времени позволяет, в принципе, осуществить «путешествие с будущее». Пусть космический корабль, движущийся со скоростью v относительно Земли, совершает перелет от Земли до звезды и обратно. За время t0 свет проходит путь от Земли до звезды:

l₀ = c • t₀.

Продолжительность полета по часам земного наблюдателя равна:

Настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. По часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньше времени:

По принципу относительности, все процессы на космическом корабле, включая старение космонавтов, происходят так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле. Следовательно, к моменту возвращения на Землю космонавты постареют только на время t₀.

Если, например, t₀ = 500 лет и v²/c² = 0,9999, то формулы дают t = 1000,1 года, t₀ = 14,1 года.

Космонавты возвратятся на Землю, по земным часам спустя 10 веков после вылета и постареют лишь на 14,1 года.

. Относительность расстояний

Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета.

Обозначим через l₀ длину стержня в системе отсчета K₀, относительно которой стержень покоится. Тогда длина l этого стержня, измеренная в системе отсчета K, относительно которой стержень движется со скоростью v, определяется формулой:

Длина стержня зависит от того, в какой системе отсчета она измеряется. Один и тот же стержень имеет различную длину в различных системах отсчета. Максимальную длину l₀ стержень имеет в системе отсчета, в которой он покоится. В системах же, движущихся по отношению к стержню, он имеет длину тем меньшую, чем больше скорость движения. Если рассматривать движущееся тело, то сокращаются только его продольные размеры.

Собственное время в теории относительности, время, измеряемое часами в собственной системе отсчёта движущегося тела, т. е. часами, жёстко связанными с телом (покоящимися относительно него и находящегося в том же месте). Время протекания какого-либо процесса, измеряемое наблюдателем вне тела, в котором происходит процесс, зависит от относительной скорости наблюдателя и тела. При измерениях вдали от тяготеющих тел можно пользоваться частной (специальной) теорией относительности (см. Относительности теория). Если измерения производятся в некоторой инерциальной системе отсчета («лабораторной системе»), а тело движется относительно неё с постоянной скоростью u, то промежуток С. в. Dt связан с промежутком времени Dt наблюдателя соотношением: , гдеc — скорость света в вакууме; если u меняется со временем то для конечного интервала времени t₁, t₂

  

Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Тогда получаем Ɩ=Ɩ◦√1-v^2/c^2

Билет № 14

Переход из лабораторной системы отсчета в движущуюся ИСО

 Преобразования Лоренца − преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. 

Преобразования Лоренца имеют вид:

Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К относительно К' рав­на –v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравне­нию со скоростью с), т. е. когда b<<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следова­тельно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, х', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распрост­ранения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстоя­ние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преоб­разования (см. (36.3)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким об­разом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространст­венные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Местное время - это время в данной местности, в данное время суток в точках, расположенных на одном меридиане.

Преобразования скоростей.

Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, позволяющие по координатам события в одной системе отсчета найти координаты того же события в другой системе отсчета. Теперь мы найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе.

_x = ,_y = ,_z = .

_x='_x +V, _y='_y, _z='_z.

В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем _x=,_y=_z =0. Тогда '_y='_z=0, а '_x=', причем

= .                                      

Обратим внимание на то, что в релятивистский закон сложения скоростей две складываемые скорости v' и V входят несимметричным образом (если только обе они не направлены вдоль оси x).

Пример “сложения скоростей”.

Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 — 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 — 50 = 5 километров в час. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, а корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 — 30 = 0 километров в час, то есть они становятся неподвижными.

Билет № 15

Время как четвертое измерение пространства-времени.

Пространство-время (пространственно-временной континуум) — физическая модель, дополняющая пространство равноправным временным измерением и таким образом создающая теоретико-физическую конструкцию, которая называется пространственно-временным континуумом. Пространство-время непрерывно и с математической точки зрения представляет собой многообразие с лоренцевой метрикой.

В соответствии с теорией относительности, Вселенная имеет три пространственных измерения и одно временное измерение, и все четыре измерения органически связаны в единое целое, являясь почти равноправными и в определенных рамках способными переходить друг в друга при смене наблюдателем системы отсчёта.

До начала двадцатого века время полагалось независимым от состояния движения, протекающим с постоянной скоростью во всех системах отсчёта; однако затем эксперименты показали, что время замедляется при больших скоростях одной системы отсчёта относительно другой. Это замедление, названное релятивистским замедлением времени, объясняется в специальной теории относительности. Замедление времени подтвердили многие эксперименты, такие как релятивистское замедление распада мюонов в потоке космических лучей и замедление атомных часов на борту космического челнока, ракеты и самолётов относительно установленных на Земле часов. Длительность времени поэтому может меняться в зависимости от событий и системы отсчёта.

Термин пространство-время получил широкое распространение далеко за пределами трактовки пространства-времени с нормальными 3+1 измерениями. Это действительно соединение пространства и времени.

Событие — то, что происходит в некоторый момент времени и рассматривается как изменение состояния мира. В физике и науке вообще событие противопоставляется процессу, который происходит в интервалах, а не только в точках линии времени. Действие или отношение может быть неправильно понято из-за того, что рассматривается как событие или сингулярность в одной точке времени вместо того, чтобы рассматриваться как часть общего процесса. В теории относительности событие — это точка пространственно-временного континуума (другие названия — мировая точка, точечное событие).

Пространство событий инерциальных систем отсчета механики Ньютона трехмерно и использует три пространственных координаты х, у и z. При движении систем отсчета эти координаты зависят от времени t, которое выступает в механике Ньютона как абсолютная величина. Представления о трёхмерности пространства сохранялись в физике до тех пор, пока не начались эксперименты, связанные с распространением света.  При таких скоростях материи (или близких к ним, но меньших чем с) пространство событий становится четырехмерным, при этом время, умноженное на скорость света с образует четвертую координату Х₀ = ct дополнительную к трем координатам х, у и z. В результате механику Ньютона заменила более совершенная релятивистская механика Эйнштейна-Лоренца.

с t

≥0 ─ времениподобный интервал

x

z

y

= 0 ─ светоподобный интервал

≤0 ─ пространственн оподобный

Инвариантность интервала между событиями.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах, три координаты которые представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― координату , где― скорость света,― время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала:

.

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве. Роль, аналогичную роли вращений координат в случае евклидова пространства, играют для пространства Минковского преобразования Лоренца. Квадрат интервала аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего квадрат интервала не всегда положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.

Инвариантные величины:

Величины, не изменяющиеся при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. не зависящие от преобразований координат, называются инвариантными величинами или инвариантами преобразований.

1. Ускорение;

2. Силы;

3. Масса;

4. Длина тела и т. д.

Билет № 16

Импульс в релятивистской механике

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет:

где

релятивистский импульс материальной точки (m — масса материальной

точки)

Энергия в релятивистской механике

Полная энергия свободной частицы, т.е. частицы, на которую не действуют

силы,

Связь энергии, импульса и массы.

В релятивистской механике существуют стандартные формулы, описывающие зависимость полной энергии и импульса частицы с некоторой массой от скоростиеё движения:

 

,                            .                                  (1)

 

Зная энергию и импульс, из (1) вычисляют массу и скорость частицы:

 

,                              .                                    (2)

 

В (1) и (2) входит скорость света . Для неподвижной частицы скорость и импульс равны нулю, а полная энергия частицы равна энергии покоя:

 

.                                                                    (3)

 

Соотношение (3) отражает принцип пропорциональности массы и энергии. В физике элементарных частиц измеряемыми параметрами являются обычно энергия и импульс, а масса и скорость находятся из (2) и оказываются вторичными параметрами.

Предположим теперь, что измеряемыми параметрами являются энергия и скорость частицы. В таком случае из (1) можно вычислить массу и импульс:

 

,                                .                                    (4)

 

Возможен также случай, когда измеряемыми параметрами являются импульс и скорость частицы, а вычисляемыми величинами становятся масса и энергия:

 

,                            .                                  (5)

 

Если скорость частицы задана, то массу можно найти либо через энергию согласно (4), либо через импульс согласно (5), в обоих случаях масса должна быть одинакова.

Имеются ещё две возможности сочетания параметров, когда известны энергия и масса, либо импульс и масса. Это позволяет вычислять модуль импульса и скорость, либо энергию и скорость соответственно:

 

,                            ,

 

,                            

Преобразование импульса и энергии.

                                               ,                                                     (8.14)

 

выражает связь между энергией и импульсом в релятивистской механике. Заметим, что величина

 

                                          ,                                                    (8.15)

 

которая является квадратом энергии покоя частицы, инвариантна относительно преобразований Лоренца, хотя релятивистский импульс и энергия меняются при переходе . Эти формулы преобразования можно получить, пользуясь формулами преобразования релятивистских скоростей. Например,

 

 

 

Подобным же образом получим остальные преобразования:

 

   .                                    (8.16)

 

 

Заметим, что величины

 

                             (8.17)

 

 

преобразуются по одним и тем же формулам, что и координаты события x, y, z, t, т.е. составляют лоренцеву группу.

Нетрудно проверить, пользуясь формулами преобразования энергии и импульса (8.16), что

 

 

                   ,                                       (8.15´)

 

 

которое с точностью до постоянного множителя  совпадает с (8.15).

Приведем еще два полезных соотношения. Из формул релятивистской энергии и импульса следует, что

 

                                 (8.18)

 

 

а с учетом (8.11) из (8.15) получаем

 

 

                       .                                         (8.19)

 

 

Последнее есть связь между кинетической энергией и импульсом в релятивистской механике. В случае медленных движений частицы, когда , (8.19) дает классическую связь кинетической энергии и импульса:

 

                             ,                                               (8.20)

 

а  в противоположном пределе - (ультрарелятивистское движение)-

 

 

                              .                                                  (8.21)

4) Импульс и энергия в системе частиц.

Полная энергия и импульс частицы определяются соотношениями

E = mc2γ,	(3)
p = γmv = vE/c2.

    Полная энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Масса не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Полная энергия импульс и масса связаны соотношением

E2 - p2c2 = m2c4,

(4)

где E, р и  m - полная энергия, импульс и масса частицы, с - скорость света в вакууме. Из соотношения (3) и (4) следует, что если энергия E и импульс p измеряются в двух различных системах движущихся друг относительно друга со скоростью v, то энергия  и импульс   будут иметь в этих системах различные значения. Однако величина E2 - p2c2, которая называется релятивистский инвариант, будет в этих системах одинаковой.      Полная и кинетическая энергия связаны между собой соотношением

Е =  T + Е0 = Т + mc2, Т = Е - mc2,

(5)

где T - кинетическая энергия частицы, Е0 - энергия покоя частицы. Из (4) и (5) можно получить соотношение связывающее импульс p и кинетическую энергию T частицы

p = (T2 + 2Tmc2)1/2/c.

(6)

Можно выделить два предельных случая 1. Ультрарелятивистский. Кинетическая энергия частицы много больше ее энергии покоя

T >> mc2

p = T/c или T = cp.

(7а)

2. Классический. Кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя

T << mc2

p = (2Tm)1/2 или T = p2/2m.

(7б)

Система центра инерции

Если тело состоит из N материальных точек с массами mi и радиус-векторами ri, то Систему центра инерции материальных точек называют такую т. С

Радиус-вектор которой равен

mi-общая масса всей системы

m-масса i-той точки

Пример: атом водорода состоит из ядра - протона (масса ) и электрона (масса). Координата центра инерции

 (5.6)

Переходя в СЦИ, получаем следующие координаты ядра и электрона:

 (5.7)

Т.о., в СЦИ координаты обеих частиц выражаются через вектор , равный расстоянию между электроном и ядром. Атом как целое покоится и все его внутреннее движение описывается в этих координатах.

17 Билет

Закон сохранения импульса и энергии в релятивистской механике. Пример применения законов сохранения: абсолютно неупругое столкновение частиц. Природа избыточной массы.

Импульс тела в релятивистской механике выглядит так:

В релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса. Этот импульс в замкнутой системе не изменяется с течением времени.

Кинетическая энергия при скоростях, приближающихся к скорости света, вычисляется как разность между кинетической энергией движущегося тела и кинетической энергией тела, находящегося в состоянии покоя:

где m – масса объекта;

v – скорость движения объекта;

c - скорость света в вакууме;

mc² – энергия покоя.

Данную формулу можно привести к такому виду:

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью  попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Масса частицы, возникающей при неупругих столкновениях – увеличивается. При неупругом столкновении часть кинетической энергии превращается в массу. Избыточная масса – результат убыли энергии. Другими словами, энергия движения никуда не исчезает, а повышает инертные свойства нового объекта.

∆m=-E2-E1/c^2