Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

	2.12. Аналитический сигнал		93
	Заметим, что для гармонического колебания справедливо ра-
	венство	e j 2 ft e j 2 ft
	cos(2 ft)
		2	,
	т.е. переход от гармонического колебания		Um cos(2 ft ) к его
	комплексному представлению Ume j(2 ft )		сводится к отбрасыва-

нию составляющей с отрицательной частотой и умножению ос-

тавшегося слагаемого на 2. Поскольку колебание произвольной формы можно представить суперпозицией гармонических колеба-

ний (в форме ряда или интеграла Фурье), для любого сигнала x(t) переход к его комплексному представлению z(t) должен сводиться

к тем же операциям – подавлению спектральных составляющих с отрицательными частотами и удвоению остальных.

Таким образом, преобразование произвольного сигнала x(t) в аналитический сигнал z(t) эквивалентно его прохождению через ЛИС-цепь с комплексной частотной характеристикой

2,		f	0,	(2.62)
H ( f )	0,	f	0

(рис. 2.32, а). Поскольку вещественная часть аналитического сигнала есть исходный сигнал x(t) , это преобразование можно также

представить схемой рис. 2.32, б.

Рассматривая спектральные представления исходного и аналитического сигналов X ( f ) и Z( f ) X ( f ) jXˆ ( f ) совместно с вы-

ражением (2.62), видим, что для спектральных плотностей должны выполняться условия

	ˆ			X ( f )		при f		0,		(2.63)
	jX ( f )
	ˆ				X ( f )	при f			0,
	jX ( f )

x(t)	z(t)	x(t)	x(t)
	H ( f )		xˆ(t)
			Hг ( f )
а			б

Рис. 2.32. Преобразование вещественного сигнала в аналитический сигнал

94

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

которые можно переписать в форме

ˆ

jX ( f )

при f

0,

(2.64)

X ( f )

ˆ

jX ( f )

при f

0.

X ( f )

Таким образом, мнимая часть xˆ(t)

может быть получена воз-

действием сигнала

x(t)

на фильтр–преобразователь Гильберта с

характеристикой

j,

f

0,

Hг

( f )

f

0.

j,

АЧХ такого фильтра постоянна и равна 1 при всех значениях частоты, а его ФЧХ равна / 2 в области положительных частот

и/ 2 при отрицательных частотах (рис. 2.33).

H (f )

1

f

(f )

/ 2

f

/ 2

Рис. 2.33. АЧХ и ФЧХ преобразователя Гильберта

Найдем импульсную характеристику преобразователя Гильберта. Непосредственное определение обратного преобразования Фурье невозможно, так как КЧХ является неинтегрируемой функци-

ей. Представим АЧХ пределом H( f ) lim e f функции,

0

спадающей при увеличении модуля частоты экспоненциально с параметром , тогда

h (t)		ft df
	H ( f )e j 2
г

2.12. Аналитический сигнал

95

lim

0

je f e j 2 ft df

ft df

lim

je f e j 2

0

0

0

lim

0

e( j 2

t) f

t) f

df

j

df j e( j 2

0

0

1

0

1

lim

e(

2 t) f

e(

2

t) f

j

j2

t

j

j

2 t

j

0

0

lim

1

1

1 .

j

0

j 2 t

j

2 t

t

Полученная импульсная характеристика показана на рис. 2.34.

Поскольку x(t) преобразуется в xˆ(t) ЛИС-цепью, выходной

сигнал можно записать как свертку

xˆ(t) x(t) hГ (t) x( )hГ (t )d ,

или

xˆ(t) 1

x(

) d .

(2.65)

t

Сравнивая (2.63) и (2.64), можно

видеть, что x(t) xˆ(t) hГ(t) , или

hг (t)

x(t) 1

xˆ( ) d

1

xˆ( ) d .

t

t

(2.66)

t

Выражения (2.65) и (2.66) пред-

ставляют собой прямое и обратное

преобразования Гильберта (см. при-

мер 2.15). Очевидно, эти преобразо-

Рис. 2.34. Импульсная ха-

вания линейны, поэтому,

заменив

на s , можно (2.66) рассматривать как

рактеристика преобразова-

теля Гильберта

интегральное

представление сигнала

96 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

	x(t) спектральной плотностью	xˆ( ) относительно ядра					1	и
							(s t)
	записать в виде
	x(t) 1			xˆ(s)
						ds .
			s t
	Прямое преобразование (2.65) можно переписать в виде
	xˆ(s) 1			x(t)
						dt ,
				s t

откуда видно, что ядро является самосопряженным (так как ядра прямого и обратного преобразований Гильберта являются комплексно сопряженными46).

Ввиду важности преобразования Гильберта для техники связи приведем его основные свойства. Напомним, что самосопряженное ядро является непрерывным аналогом ортонормального базиса, поэтому выполняется обобщенная формула Рэлея

1) (xˆ, yˆ) (x, y)

и, в частности, равенство Парсеваля

2) (xˆ, xˆ) (x, x) .

Преобразование Гильберта, таким образом, сохраняет энергию сигнала (что естественно, поскольку фильтр Гильберта имеет АЧХ, тождественно равную 1). Более того, сохраняется энергетический спектр сигнала, а значит, и АКФ:

3)Wxˆ ( f ) Wx ( f ) ;

4)Rxˆ ( ) Rx ( ) ;

5)если x(t) = const, то xˆ(t) 0 в силу нечетности функции

hг (t) ;

6)если x(t) – вещественный сигнал, то x(t) и xˆ(t) ортогональны. Действительно,

			ˆ
(x, xˆ)					( f )df		[в соответствии с (2.64)]
			X ( f )X
		0
j X ( f )X ( f )df j X ( f )X ( f )df 0 ,
							0

46 В данном случае они просто совпадают, так как являются вещественными.

2.12. Аналитический сигнал

97

поскольку подынтегральное выражение представляет собой чѐтную функцию – энергетический спектр вещественного сигнала.

Аналитический сигнал	можно записать в форме
z(t) A(t)e j (t) , где функция	(t) представляет угловое положе-

ние вектора на комплексной плоскости, т.е. фазу. Производная фазы по времени называется (круговой) мгновенной частотой и оп-

ределяется выражением

d (t) d Im ln z(t) . dt dt

Тогда мгновенная частота

1

d

1

z '(t)

f (t)

Im

ln z

(t)

Im

2

2

dt

z(t)

1

x'(t)

j

ˆ

x(t)

j

ˆ

Im

x'(t)

x(t)

2

x2 (t) xˆ2 (t)

1

xˆ '(t)x(t) x'(t)xˆ(t)

.

2

x2 (t) xˆ2 (t)

Понятие аналитического сигнала оказывается полезным при описании узкополосных сигналов, для которых спектральная плот-

ность аналитического сигнала Z( f ) в основном сосредоточена около некоторой центральной частоты F0 (рис. 2.35). В частности,

узкополосными являются сигналы, полученные путем модуляции гармонических несущих колебаний. Для узкополосного сигнала

функция	A(t) имеет смысл огибающей, а фаза (t) 2					F0t (t)
складывается из линейно растущего со временем слагаемого и
медленно47 меняющейся началь-
ной фазы	(t) .			Z(f)
Согласно теореме модуляции
(см. п. 2.10.2) умножение произ-
вольного	сигнала	на комплекс-
					F0	f
ную экспоненту		e j 2 f0t эквива-
лентно сдвигу его спектральной			Рис. 2.35. К понятию узкополос-
плотности вправо на величину f0 .				ного сигнала

47 В сравнении с колебанием частоты F0 .

98 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Сдвинем спектральную плотность Z( f ) с «центром тяжести» F0 , показанную на рис. 2.35, влево на величину F0 , тогда получится колебание

(t) z(t)e j 2 F0t

со спектральной плотностью ( f ) Z( f F0) , рис. 2.36. Колебание (t) , очевидно, является комплексным и низкочастотным

(в том смысле, что его спектральная плотность сосредоточена около нулевой частоты). Можно считать, что аналитический сигнал z(t) получен модуляцией несущего гармонического колебания с

частотой F0 комплексным колебанием (t) , которое поэтому называется комплексной огибающей. Комплексную огибающую

(t) A(t)e j (t) можно представить в виде векторной диаграммы, показанной на рис. 2.37.

( f )	Im	A(t)
		(t)
f		Re
Рис. 2.36. Спектральная плотность	Рис. 2.37. Векторная диаграм-
комплексной огибающей узкополос-	ма комплексной	огибающей
ного сигнала	узкополосного сигнала

Длина вектора, изображающего комплексную огибающую, и угол между ним и вещественной осью комплексной плоскости

медленно меняются в соответствии с функциями A(t) и (t) .

Аналогичное представление аналитического сигнала отличается тем, что вектор дополнительно вращается против часовой стрелки

с угловой скоростью (круговой частотой) 2 F0 . Таким образом, узкополосный сигнал x(t) можно рассматривать как гармониче-

ское колебание, модулированное по амплитуде и фазе соответственно «медленными» функциями A(t) и (t) :

x(t) A(t)cos 2 F0t			(t) A(t)cos (t) .	(2.67)
		,
Очевидно, A(t)	x2 (t) xˆ2 (t)		(t) arg x(t) j xˆ(t) .

2.12. Аналитический сигнал

99

Комплексная огибающая, как медленная комплексная функция, представляет собой сумму двух медленно меняющихся слагаемых (t) u(t) jv(t) , поэтому исходный сигнал можно представить в

виде

x(t) Re (t)e j 2 F0t

Re u(t) jv(t) cos(2 F0t) jsin(2 F0t)
u(t)cos(2 F0t) v(t)sin(2 F0t) .	(2.68)

Колебание u(t) называется синфазной, а колебание v(t) –

квадратурной составляющей (компонентой) узкополосного сигнала x(t) . Вместе две эти функции называются квадратурными ком-

понентами. Отметим, что по известным квадратурным компонентам и частоте F0 формула (2.68) позволяет точно восстановить исход-

ный сигнал x(t) , поэтому вся информация, содержащаяся в сигнале,

сохраняется в паре его квадратурных составляющих. Именно это дает основание заменять узкополосный сигнал его комплексной огибающей (или, что эквивалентно, парой квадратурных компонент) тогда, когда это удобно с точки зрения решаемой задачи.

В частности, такая замена может быть очень эффективной при дискретизации узкополосного сигнала. С информационной точки

зрения вместо узкополосного сигнала можно передавать его квадратурные компоненты (предполагается, что частота F0 известна).

Поэтому частота дискретизации должна выбираться так, чтобы по отсчетам можно было восстановить низкочастотные квадратурные компоненты, т.е. дискретизация узкополосного сигнала может производиться с частотой, вдвое превышающей верхнюю частоту в спектре комплексной огибающей, а не самого сигнала. Например, если сигнал занимает полосу частот от 990 кГц до 1 МГц, то частоту дискретизации достаточно выбрать равной 10 кГц, в то время как без учета рассмотренных в этом разделе понятий частота дискретизации сигнала должна быть не менее 2 МГц. Требования к частоте дискретизации имеют жизненно важное значение при разработке цифровых систем связи, так как этим определяются сложность и стоимость системы, а иногда и ее принципиальная реализуемость.

Синфазная компонента может быть найдена следующим образом: u(t) Re (t) Re z(t)e j 2 F0t

100	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
Re x(t) j xˆ(t) cos(2	F0t) jsin(2 F0t)

x(t)cos(2 F0t) xˆ(t)sin(2 F0t) .

Аналогично можно найти квадратурную компоненту

v(t) Im (t) xˆ(t)cos(2 F0t) x(t)sin(2 F0t) .

Таким образом, для сигнала x(t) нужно вначале определить сопряженный по Гильберту сигнал xˆ(t) , после чего легко найти

квадратурные компоненты. Есть и другой способ, более простой с практической точки зрения и реализуемый схемой, показанной на рис. 2.38. Покажем, что приведенная схема действительно выделяет квадратурные компоненты (с точностью до амплитудного множителя). В соответствии с выражением (2.68)

x(t)cos(2		F t) u(t)cos2		(2 F t) v(t)sin(2			F t)cos(2	F t)
		0		0			0	0
	(1 cos(2 2		F t))		sin(2 2	F t)	ФНЧ	u(t)
u(t)		2	0	v(t)	2	0		2	.

ФНЧ

(Здесь символ означает подавление составляющих вы-

соких частот, имеющих порядок F0 и выше).

Аналогично

x(t)sin(2

F t) u(t)cos(2

F t)sin(2

F t) v(t)sin2 (2

F t)

0

0

0

0

sin(2 2

F t)

1 cos(2 2

F t)

ФНЧ

v(t)

u(t)

2

0

v(t)

2

0

2

.

u(t)/ 2

ФНЧ

x(t)

cos 0t

v(t) / 2

ФНЧ

sin 0t

Рис. 2.38. Выделение квадратурных компонент узкополосного сигнала

2.12. Аналитический сигнал

101

Отметим, что опорные колебания отличаются лишь фазовым сдвигом / 2 , поэтому на практике обычно вырабатываются одним ге-

нератором с использованием фазовращателя. Значение квадратурных компонент для практики иллюстрируется следующими примерами.

Пример 2.24. Предположим, что рассматриваемый узкополосный сигнал x(t) представляет собой амплитудно-модулированное

колебание, тогда вектор, изображающий комплексную огибающую, изменяется только по длине (норме), угловое же его положение определяется начальной фазой несущего колебания и постоянно. Начало отсчета начальной фазы определяется на практике начальной фазой опорного колебания в канале выделения синфазной компоненты, поэтому если начальная фаза несущего колебания известна, можно обеспечить синфазность (когерентность) несущего и опорного колебаний. Тогда вектор, изображающий комплексную огибающую, направлен вдоль вещественной оси комплексной плоскости, и квадратурная компонента всегда равна нулю. Квадратурный канал схемы, показанной на рис. 2.36, оказывается ненуж-

ным. На выходе синфазного канала наблюдается колебание u(t) / 2 ,

пропорциональное закону изменения огибающей, т.е. закону модуляции. Таким образом, синфазная часть схемы может использо-

ваться при указанных условиях для демодуляции (детектирования) АМ-колебаний и называется в таких случаях синхронным (коге-

рентным) детектором. ◄

Пример 2.25. Предположим теперь, что узкополосный сигнал x(t) представляет собой колебание с фазовой модуляцией (ФМ-

сигнал), тогда вектор, изображающий комплексную огибающую, имеет постоянную длину, а его угловое положение медленно меняется по закону модуляции фазы. Если изменения угла невелики (индекс модуляции мал), синфазная компонента меняется в небольших пределах и может считаться приближенно постоянной, а синфазный канал можно исключить из схемы. Квадратурная составляющая, напротив, меняется заметно и при условии малости индекса приближенно пропорциональна изменениям угла, т.е. закону фазовой модуляции. Квадратурная часть схемы представляет собой синхронный детектор, в котором опорное колебание сдвинуто по фазе на 90º относительно несущего колебания; такое устройство применяется для детектирования ФМ-колебаний (подробнее см. разд. 5). ◄

102	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие преимущества дает представление сигналов как элементов векторного пространства?

2.Какие сигналы называются ортогональными?

3. Что можно сказать о сигналах x и y , если

(x, y) x2 y2 ?

4.Что такое ортонормальный базис?

5.В чем состоит практический смысл требования полноты ба-

зиса?

6.Что такое явление Гиббса и в чем его причина?

7.Сформулируйте принцип суперпозиции.

8.Запишите выражение, описывающее произвольный линей-

ный оператор, действующий в пространстве L2 ( , ) .

9. Запишите выражение, описывающее линейный инвариантный к сдвигу (стационарный) оператор, действующий в простран-

стве L2 ( , ) .

10. Чем объясняется особая роль ряда и интеграла Фурье в анализе сигналов и цепей?

11. Что такое импульсная характеристика ЛИС-цепи? Можно ли еѐ измерить точно? приближенно? Как это сделать?

12. Что такое комплексная частотная характеристика ЛИС-цепи? Можно ли еѐ измерить (точно, приближенно)? Как это сделать?

13.Что такое автокорреляционная функция детерминированного сигнала? Что она характеризует?

14.Что такое взаимно корреляционная функция детерминированных сигналов? Что она характеризует?

15.Как связаны ВКФ и скалярное произведение детерминированных сигналов?

16.Как технически можно восстановить аналоговый сигнал по последовательности его отсчетов?

17.Почему при дискретизации аналогового сигнала, производимой путем стробирования, форма стробирующего импульса не

играет заметной роли, если импульс достаточно короток?

18.Что препятствует на практике точному восстановлению аналогового сигнала по последовательности его отсчетов?

19.В чем причина погрешности при реальном стробировании

аналогового сигнала в устройстве выборки-хранения?