Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

	4.4. Метод комплексной огибающей			143
	Перемножая, получим Y( p)	1/	. В таблице преобразований
		p 1/
	Лапласа [14] есть изображение 1/( p ) e t . Полагая			1/ ,

получаем отклик на -функцию (импульсную характеристику) ви-

да h(t) 1 e t / . ◄

4.4. МЕТОД КОМПЛЕКСНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ

Метод комплексной огибающей обычно применяется для анализа частотно-избирательных цепей (ЧИЦ) при узкополосных воздействиях. Именно эта ситуация имеет место в приемных устройствах, где модулированные узкополосные колебания воздействуют на частотно-избирательные ЛИС-цепи (фильтры).

Узкополосный сигнал x(t)

со средней частотой F0

можно вы-

разить через его комплексную огибающую

(t)

следующим обра-

зом (см. разд. 2):

x(t) Re

1

F0t

*(t)e

(t)e j 2 F0t

2

(t)e j 2

j 2

F0t ,

поэтому спектральная плотность

X ( f )

сигнала x(t)

может быть

записана в виде

X ( f )

1

f

F0

*

f

F0

(4.5)

2

,

где ( f ) – спектральная плотность комплексной огибающей (t) . Импульсная характеристика h(t) частотно-избирательной цепи (полосового фильтра с центральной частотой F0 ), рассматриваемая

как сигнал, также имеет узкополосный характер и может быть представлена в форме

h(t)

Re

(t)e

j 2 F t 1

(t)e

j 2 F t

*

(t)e

j 2 F t

,

0

2

0

0

поэтому КЧХ такой цепи можно записать в виде

H( f )

1

f

F0

*

f

F0

(4.6)

2

.

144

4.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙ

Тогда спектральная плотность Y ( f )

сигнала

y(t)

на выходе

фильтра равна

Y ( f ) H f X f

1

f

F0

f

F0

*

f

F0

*

f

F0

4

. (4.7)

Здесь учтено

то

обстоятельство,

что

функции

f F0

и

f F0 равны

нулю

при

f

0 ,

а

функции

* f F0

и

* f F0 при

f 0 .

Для приведения (4.7) к виду, аналогичному выражениям (4.5), (4.6), запишем

Y( f )

1

f

F0

*

f

2

F0 ,

где ( f ) – спектральная плотность комплексной огибающей

(t)

выходного сигнала

y(t)

Re

(t)e

j2 F t

1

(t)e

j2 F t

*

(t)e

j2 F t

0

2

0

0 . (4.8)

Заметим, что при этом

f

1

f f ,

откуда следует,

что

2

комплексная огибающая выходного сигнала может быть найдена как свертка

(t) (t) 12 (t)

комплексной огибающей (t) входного сигнала и (комплексной) импульсной характеристики 12 (t) . Цепь с такой ИХ называется низкочастотным эквивалентом частотно-избирательной цепи. За-

метим, что с точностью до множителя 1 импульсная характери- 2

стика НЧ эквивалента совпадает с комплексной огибающей импульсной характеристики ЧИЦ.

Упражнения

145

Таким образом, для нахождения отклика ЧИЦ на узкополосный сигнал достаточно вычислить свертку (интеграл Дюамеля) комплексных огибающих входного сигнала и импульсной характери-

стики фильтра, умножить результат на 1 и затем найти выходной

сигнал согласно выражению (4.8).

2

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Где должны располагаться корни характеристического уравнения устойчивой цепи?

2.Как связана комплексная частотная характеристика ЛИСцепи с ее передаточной функцией?

3.Как связаны характеристики частотно-избирательной цепи и

еенизкочастотного эквивалента?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Составьте дифференциальное уравнение RC -фильтра ниж-

них частот (интегрирующей цепочки). Выведите КЧХ и передаточную функцию цепи. Найдите импульсную характеристику.

2.Составьте дифференциальное уравнение RC -фильтра верх-

них частот (дифференцирующей цепочки). Выведите КЧХ и передаточную функцию цепи. Найдите импульсную характеристику цепи.

3.Найдите низкочастотный эквивалент колебательного контура, если его комплексное сопротивление описывается выражением

Z( j				R0
	)						0	, где R0 – сопротивление на резонансной
			1 j	2Q
							0
частоте			0 , Q – добротность контура.

146	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

одуляция – это изменение одного или не- Мскольких параметров колебания, называемого несущим колебанием (переносчиком), в соответствии с измене-

ниями первичного (информационного) сигнала. При этом спектр (спектральная плотность) получаемого модулированного сигнала отличается от спектров как первичного сигнала, так и переносчика. Можно сказать, что такое изменение спектра является целью модуляции: например, речевой сигнал в системах телефонии занимает полосу частот от 300 до 3400 Гц и его непосредственная передача по каналу радиосвязи невозможна, так как размеры антенны, эффективно излучающей радиоволны столь низких частот, были бы слишком велики для практического применения. В результате амплитудной модуляции таким сигналом гармонического несущего колебания с частотой, например, 1 МГц получается амплитудномодулированный (АМ) сигнал, занимающий полосу частот от 996600 до 1003400 Гц, излучение которого не составляет проблемы.

Важно отметить, что при модуляции (а также демодуляции) происходят такие преобразования первичного сигнала, которые сопровождаются появлением новых частотных составляющих, отсутствовавших в спектре исходного сигнала. Практически во всех случаях после такого обогащения спектра (ОС) производится частотная фильтрация (ЧФ) при помощи подходящей ЛИС-цепи для подавления ненужных или вредных спектральных составляющих, (рис. 5.1). При помощи одних только ЛИС-цепей модуляцию осуществить невозможно. То же относится к демодуляции68.

68Специальный случай демодуляции ЛИС-цепью будет особо рассмотрен позднее (разд. 5.7).

Ck e j 2T kt . Действие ЛИС-цепи на

5.1. Воздействие гармонического колебания на параметрическую цепь

147

x(t)

ЧФ

y(t)

ОС

Рис. 5.1. Принцип преобразования спектра колебания

Действительно, предположим, что на вход ЛИС-цепи поступает

периодический сигнал x(t)

k

комплексную экспоненту сводится к ее умножению на комплексное число, равное значению КЧХ цепи на частоте данной экспо-

ненты. Ясно, что спектральные составляющие исходного сигнала могут исчезать в результате такой фильтрации, но не появляться, если их изначально не было. Очевидно, что и для непериодических сигналов справедливо то же самое. Обогащение спектра сигнала новыми частотами возможно при использовании нелинейных или линейных нестационарных (параметрических) цепей. Напомним, что нелинейными называются цепи, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Для линейных нестационарных цепей указанный принцип выполняется, однако оператор цепи зависит от времени, вследствие чего в спектре сигнала могут появляться новые частоты.

5.1.ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ НА ПАРАМЕТРИЧЕСКУЮ ЦЕПЬ

Простейшая линейная параметрическая цепь, которую можно использовать для обогащения спектра, представляет собой активное сопротивление, меняющееся во времени по некоторому периодическому закону. Удобнее в качестве изменяющегося параметра рассмотреть переменную проводимость s(t) , так что под воздейст-

вием напряжения u(t) через параметрический элемент протекает ток i(t) u(t)s(t) (рис. 5.2, а). Проводимость s(t) можно тракто-

вать, как переменную крутизну линейной вольт-амперной характеристики параметрического элемента (рис. 5.2, б).

148	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

i(t)

u(t)

s(t)

а

б

Рис. 5.2. Воздействие переменного напряжения на линейный параметрический элемент

Рассмотрим простейшую ситуацию, когда напряжение и крутизна изменяются по гармоническому закону с разными частотами

u(t) U cos( 1t 1) ,

s(t) S0 S1 cos( 2t	2) .
Очевидно, спектр напряжения содержит одну гармоническую
составляющую (гармонику) с частотой	1 , а спектр функции
s(t) – две составляющие с частотами 0 и	2 .

Ток, протекающий через параметрический элемент, равен сумме гармонических составляющих (гармоник), амплитуды и начальные фазы которых образуют соответственно амплитудный и фазовый спектры:

i(t) US0 cos(			1t		1) US1 cos(			1t 1)cos(					2t		2)
US	0	cos(	t	1	) US1 cos (			1		2	)t	1		2
			1			2
		US1 cos (				1	2 )t		1		2 .				(5.1)
			2
Как видно из полученного выражения, в спектре тока присут-
ствуют гармонические составляющие с частотой														1 , а также с
суммарной 1 2 и разностной							1	2 частотами. Очевидно, что

при более сложном спектральном составе напряжения и/или крутизны количество новых частот будет больше (в любом случае спектральные коэффициенты можно найти по тригонометрическим формулам, раскрывая произведения косинусов и/или синусов).

5.2. Нелинейные элементы и их аппроксимации

149

Наличие в спектре колебания составляющих с суммарной и

разностной частотами позволяет использовать параметрические цепи для переноса спектра. В самом деле, подавая ток, описывае-

мый выражением (5.1), на частотно-избирательную нагрузку (по-

лосовой фильтр),		получим напряжение		частоты 1 2	или
1	2 , в зависимости от настройки фильтра. Таким образом, по-
лучаем перенос частоты			1 на величину	2 вправо или влево по
частотной оси.		сигнал,	подлежащий	преобразованию,	имеет
На	практике

спектр конечной ширины; после умножения сигнала на s(t) при помощи фильтра выделяется спектр такой же формы, но сдвинутый по частоте на 2 вверх или вниз. Частными случаями перено-

са спектра являются преобразование частоты, применяемое при супергетеродинном приеме (см. пример 5.1), а также амплитудная модуляция и синхронное детектирование АМ-сигналов.

5.2.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

ИИХ АППРОКСИМАЦИИ

Кнелинейным элементам, наиболее широко применяемым в технике генерирования и обработки сигналов, относятся в первую очередь полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы и т.п.), которые описываются характеристиками (чаще всего рассматриваются вольт-амперные характеристики – ВАХ), имеющими весьма сложный вид. Для целей анализа эти характеристики аппроксимируют математическими зависимостями, которые должны быть

достаточно простыми и в то же время сохранять существенные черты аппроксимируемых характеристик. Рассмотрим наиболее часто применяемые аппроксимации.

5.2.1.ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ (СТЕПЕННАЯ) АППРОКСИМАЦИЯ

Характеристика нелинейного элемента (НЭ) представляется полиномом [13] некоторой степени N

N

i f (u) akuk a0 a1u a2u2... aN uN . (5.2)

k 0

Во всех практических случаях функция f (u) аппроксимирует истинную ВАХ (заданную графически или таблично) не на всей

150	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

числовой оси, а только на некотором ограниченном интервале значений независимой переменной, или рабочем участке. Выберем на

этом участке N 1 точек, обозначив их u1, u2,...,uN 1. Для каждого

из этих значений напряжения обозначим соответствующие значения тока (взятые из таблицы или найденные по заданному графику

ВАХ), как i1, i2,...,iN 1 . Тогда согласно (5.2) можно составить N 1 уравнение

		a	a u		a u	2	... a			N	uN	i		,
		0	1 1		2 1						1		1
	a		a u		a u	2	... a			N	uN	i			,
		0	1 2		2	2					2		2
	...... ......				......				......			...... ,
a0		a1uN 1			2						N	1			iN
					a2uN 1...				aN uN							1

с N 1 неизвестными a0, a1,...,aN . Решив эту линейную систему

уравнений, можно найти полиномиальную функцию (5.2).

Во многих реальных задачах удобно рассматривать четную и нечетную части характеристики. Любую нелинейную характеристику можно, очевидно, представить в виде суммы четной и нечетной функций

f (u) fч (u) fн (u) ,

(5.3)

где четная и нечетная части удовлетворяют следующим выражениям:

fч (u) fч ( u) ,	(5.4)
fн (u) fн ( u) .	(5.5)
Из выражения (5.3) с учетом (5.4), (5.5) следует
f ( u) fч (u) fн(u) ,	(5.6)

откуда, складывая и вычитая выражения (5.3) и (5.6), получаем

	fч (u)	f (u) f ( u)	,		(5.7)
		2
	fн (u)	f (u) f ( u)		.	(5.8)
		2

Пример функции F(u) и ее четной и нечетной частей приведен на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Нелинейная функция и ее четная и нечетная части

151

5.2. Нелинейные элементы и их аппроксимации

	Очевидно, при полиномиаль-
				F
	ной аппроксимации ВАХ ее чет-
		fч
	ная и нечетная части складывают-
	ся из четных и нечетных
	степеней:

f			(u) a	a u2	a u4	... ,
									u
		ч	0	2	4
							fн
f			(u) a u a u3		a u5... .
	н
			1	3	5

Выделение четной и нечетной частей ВАХ полезно, когда работа рассматриваемого устройства оп-

ределяется либо только четной, либо только нечетной частью. Например, при амплитудной модуляции полезная составляющая колебания определяется только четной частью ВАХ (см. разд. 5.4.2). Тогда аппроксимацию можно проводить только для четной части, предварительно выделив ее графически или по таблице значений, при этом расчет коэффициентов аппроксимации требует решения системы уравнений меньшего порядка. Кроме того, вид нужной (четной или нечетной) части ВАХ позволяет оценить «на глаз» пригодность данного НЭ для реализации требуемого преобразования сигналов.

Важность выделения четной и нечетной частей ВАХ не ограничивается только теоретическим рассмотрением, так как существуют схемные решения, позволяющие получать четные или нечетные характеристики нелинейных цепей путем согласного или встречного включения одинаковых нелинейных элементов. Так строятся, например, балансные, мостовые и кольцевые схемы.

Для реализации четной характеристики необходимо использовать два НЭ с одинаковыми ВАХ. Пусть ВАХ каждого элемента

		НЭ1			НЭ1
	+			+		Rн
		Rн		–
u	–		u			2
	+			+
						Rн
	–	НЭ2		–	НЭ2
						2
		а			б
			Рис. 5.4. Балансные схемы

152	5.	ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ
имеет вид	i F(u) .	Четную суммарную характеристику можно

получить в соответствии с (5.7) в виде

i F(u) F( u) .

Это означает, что необходимо сложить токи двух НЭ, на которые входное напряжение подается с противоположными знаками (противофазно), что реализуется в схеме, показанной на рис. 5.4, а, путем соответствующего подключения вторичной обмотки трансформатора к нелинейным элементам. Сложение токов происходит в общем для них сопротивлении нагрузки.

Реализация нечетной ВАХ осуществляется схемой рис. 5.4, б за счет вычитания (противофазного сложения) на нагрузке напряжений, создаваемых токами различных НЭ.

i F(u) F( u) ,

что соответствует выражению (5.8).

Если на нелинейный элемент подается сигнал в сумме с постоянным напряжением смещения U0 , определяющим рабочую точку

ВАХ, удобно аппроксимирующий полином (5.2) представить в форме

i a'	a' (u U	0	) a'	(u U	0	)2	... a'	N	(u U	0	)N ,	(5.9)
0	1		2

где коэффициенты, разумеется, отличаются от коэффициентов a0,...,aN ; при этом упрощаются математические операции при на-

хождении спектра тока.

5.2.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Критерием выбора аппроксимирующей функции является простота аналитического выражения при приемлемой точности аппроксимации. Вольт-амперные характеристики некоторых нелинейных элементов с хорошей точностью представляются экспоненциальными функциями вида

i f (u) Ae u ,

(5.10)

где A и – константы.