Кволнам второго класса относятся волны TE(H)- и TM(E)-типов в односвязных, т. е. содержащих только одну проводящую поверхность, линиях передачи: полые прямоугольные, круглые, П- и Н-образные волноводы.

Кэтому классу волн относятся также гибридные волны, векторы E и H которых имеют отличные от нуля поперечные составляющие и обе продольные

Ez 0 и Hz 0 . Такие волны обозначаются символами EH и HE и могут рас-

пространяться в некоторых открытых линиях передачи (цилиндрический диэлектрический волновод, круглая однопроводная линия и др.).

Основные соотношения, характерные для двух классов волн, приведены в
табл. 1.		Р
		И
	2. Электромагнитные волны в прямоугольном волноводе
	2.1. Исходные предпосылки
	Г
Прямоугольный волновод (рис. 3) является одним из наиболее распро-
	Б
страненных типов линий передачи в миллиметровом, сантиметровомУ			, а также в

коротковолновой части дециметрового диапазонов волн. Он позволяет передавать весьма значительные уровни мощности с малым затуханием, является широкополосным и механически прочным. Помимо выполнения функции канализации энергии электромагнитного поля прямоугольный волновод очень широко

используется в качестве основы для построения широкого спектра устройств и

узлов радиотехнического назнач ния.

а

к

е

т

y

z

о

и

ε, μ, σ

b

x

л

б

a

0

Рис. 3. Прямоугольный волновод

и

Б

Для практических целей необходимо знать структуру, т. е. картину силовых линий электрического и магнитного полей в поперечном и продольном сечениях волновода. Весьма важно определить критическую длину волны λкр

(критическую частоту fкр ), длину волны в волноводе λв , фазовую и групповую скорости Vф , Vгр и другие параметры.

10

Знание распределения поля позволяет, например, правильно ориентировать элементы связи и возбуждения в волноводе, вычислить максимально допустимую мощность, определить затухание волны и т. д.

Волновод представляет собой полую металлическую (медь, латунь, алюминий) трубу с прямоугольной формой поперечного сечения (см. рис. 3). Размер по широкой стенке всегда обозначается через а, размер по узкой стенке – через b. Данный волновод жестко связан с декартовой системой координат x, y, z, как показано на рисунке. Толщина стенок, если она больше нескольких десят-

ков микрометров, не влияет на распространение волны и выбирается из условия
	Р
обеспечения механической прочности; ε , μ ,	σ – параметры диэлектрической
среды, заполняющей полость волновода.	И

Для определения поля в волноводе в общем случае необходимо решить два независимых волновых уравнения (5) для продольных составляющих поля Ez и Hz . Остальные (поперечные) составляющие напряженности поля могут

быть получены из уравнений Максвелла (1) через продольные составляющие по

формулам перехода:

У

j

Hz

j

Ez

Ex

=

β

Ez

+ ωμa

; Ey =

β

+ ωμa

Hz

;

k

y

k

y

2

x

2

Гx

Б

(17)

j

E

H

E

H

β

=

j

z

H

=

ωε

z

z ;

H

ωε

β

z .

k2

k2

x

a

y

x

y

a x

y

а

2

к

Значения постоянной k

опр д ляются из граничных условий на поверх-

ности направляющей системы.

е

2.2. Волны

ипа H в прямоугольном волноводе

т

Для волн т па H(TE)ов волноводе Ez = 0 ,

Hz 0 волновое уравнение (5)

для продольной состав яющей поля Hz записывается в виде

и

л

2

H

z

+ k2 H

z

= 0 .

(18)

б

xy

Решая это уравнение с учетом граничных условий на идеально проводя-

и

щих стенках волновода

Б

Ex = 0 при y = 0, y = b;

(19)

Ey = 0 при x = 0, x = a,

получаем значения поперечного волнового числа k

и продольной составляю-

щей поля Hz , которые полностью определяют поле в волноводе:

11

k = mπ		2	+ nπ		2	;
	a		b
Hz = Hmcos mπx				cos nπy			e-jβz .
			a			b

(20)

(21)

Подставив (20) и (21) в формулы перехода (17), получим выражения для всех составляющих поля волны H-типа:

jωμ

H

z

jωμ

nπ

mπx

nπy

-jβz

Ex = -

a

=

a

Hmcos

sin

e

;

2

2

k

y

k

b

a

И

b

jωμ

H

jωμ

mπ

mπx

nπyР-jβz

У

E

y

=

a

z

= -

a

H sin

cos

e

;

2

2

x

a

m

a

k

k

b

H

= -

jβ

Hz =

β

mπ H sin

mπx cos nπy

e-jβz ;

(22)

x

2

x

2

a

m

b

k

k

a

H

= -

jβ Hz

=

β nπ

H

cos

mπx

sin

nπy

e

-jβz

;

y

m

2

2

y

b

a

Г

k

k

b

m

а

Ez = 0 .

к

Б

z

В выражениях (20)–(22)

е

H

– ма симальная амплитуда составляющей

поля H в плоскости поперечного с ч ния волновода,

определяемая условиями

возбуждения волновода,

m, n = 0, 1, 2, 3... –

целые положительные числа, при

полуволн

которых существуют решения волнового уравнения (18). Различные значения

чисел m и n определяют

ип исследуемого поля, поэтому к обозначению типа

и

поля добавляются два

ндексат– Hmn (TEmn). Физически индекс m показыва-

л

ет число стояч х

, укладывающихся на стороне a (по оси x), а n –

число стоячих по уволн, укладывающихся на стороне b волновода.

В о щем с учае в волноводе может существовать бесконечное множество

волн

Hmn, однако по крайней мере одно из чисел m и n должно быть отлич-

типа

ным от нуля, т. к. при m = 0 и n = 0 поле в волноводе не существует (20)–(22).

Условбем распространения волн в волноводе является чисто веществен-

ный характер величины продольного волнового числа β (4), которое выполня-

ется,

если

k2 > k2

(β2 = k2 - k2

) т. е.

k =

2π

>

mπ 2

+

nπ 2

или

Б

λ

a

b

λ <

2ab

.

mb 2 + na 2

12

Если

k2 < k2 , т.е.

λ >

2ab

, распространения волны не происхо-

mb 2 + na 2

дит. Равенство k2 k2

определяет критическую длину волны:

λкр

=

2ab

.

(23)

mb 2 + na 2

Р

Критическая длина волны – это максимальная длина волны в свободном

пространстве, которая может распространяться в волноводе.

Далее могут быть определены:

длина волны в волноводе

У

λв =

λ

;

И

(24)

Г

ф

1

λ λкр 2

Б

фазовая скорость

V =

ω =

V

;

(25)

β

а

2

1

λ λкр

к

групповая скорость (скорость переноса энергии)

гр

= dω = V 1

кр

2 ;

(26)

V

λ λ

Zc =

ние

,

(27)

μa

dβ

сопротивл

характеристическое

волновода

о

Zo

1 λ λкр 2

и

где Zo =

– волнов е с пр тивление среды,

εa

л

V =

с

– скорость волны в среде, заполняющей волновод.

б

εμ

Низшим

типом магнитной волны в прямоугольном волноводе является

волна H10.

Б

z

z

2.3. Волны E-типа в волноводе

Волны типа E ( H = 0 и E 0 ) в прямоугольном волноводе описываются

решениями волнового уравнения (5) для продольной составляющей Ez :

2

E

z

+ k2 E

z

=0 ,

(28)

xy

при граничных условиях

13

Ez = 0 при x = 0, a; y = 0, b.

Эти решения имеют вид

k = mπ		2	+ nπ	2	;
	a		b

(29)

(30)

Ez = Emsin mπx cos

nπy

e-jβz ;

Р

a

b

jβ mπ

mπx

nπy

-jβz

;

Ex

=

Emcos

sin

e

2

a

a

b

k

jβ nπ

mπx

nπy

-jβz

Ey

=

Emsin

cos

e

;

И

(31)

2

b

a

b

k

jωεa

nπ

mπx

У

nπy

-jβz

;

Hx =

2

Emsin

cos

e

k

b

a

Б

b

H

= -

jωεa

mπ

E

cos

mπx

sin

nπy

e

-jβz

.

.

y

2

m

a

b

Г

k

a

а

2

кр

Zc =Zo 1

λ λ

.

е

Поскольку выражения (20) и (30) для H и E волн совпадают, то значения

λкр , λв , Vф , Vгр волн E-типа опр д ляются прежними соотношениями (23)–(26), по-

т

лученными для волн типа H. Из выражений (31) для составляющих поля E- волны следует также, ч о в случае равенства нулю индексов m или n все со-

ставляющие поля обращаю ся в нуль. Поэтому простейшей волной электриче-
ского типа в прямоуг льн м в лноводе является волна E11.
	и
л
2.4. Основнаяоволна в прямоугольном волноводе
б

Из вышесказанного следует, что по однородному волноводу в принципе

волниHmn Emn. Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волныБλкрmn (23), определяемая значениями m и n и размерами a и b волновода.

может распространяться бесконечное число типов независимых одна от другой

Условием распространения является неравенство λ < λкрmn . Волна, для которой

λкр имеет наибольшую величину, называется низшей волной рассматриваемого волновода. При заданных размерах a и b волновода λкр тем больше, чем

меньше величина чисел m и n. Поскольку для E-волны нулевые значения этих чисел невозможны, то низшей волной в прямоугольном волноводе при a b является волна типа H10.

14

Н20

Н10

Н01

Одномодовый режим

Область

Н11, Е11

отсечки

Н30

Н21, Е21

Н31, Е31

Рабочий диапазон

Р

Н02

И

0

1

2

3

4

5

λ, см

Рис. 4. Критические длины волн (волновод 23×10 мм)

Г

На рис. 4 изображена шкала длин волн, на которую нанесены вычислен-

Б

ные по (23) значения критических длин волн для волноводаУс поперечным се-

чением 23×10 мм. Из рисунка видно, что в диапазоне волн от λ = 46 мм до

λ = 23	мм в волноводе может существовать только один тип волны – H10, при
		волновода
λ < 23	мм кроме волны H10 может распростр няться волна H20 и т. д.
	к
При практическом использовании			в качестве передающей ли-

нии передача мощности вдоль линииедолжна осуществляться бегущими волнами только одного типа, т. к. пер дача сигнала на нескольких типах волн одной частоты ω с различными значениями λв , Vф , Vгр приводит к значительным ис-

кажениям этого сигнала в нагрузке. Осуществить такой одноволновой (одномодовый) режим удобнееустройстви эффек ивнее всего, используя низший тип волны шинстве волноводных используется волна H10:

H10.			и
	Существуют			друг е тпричины, в силу которых в подавляющем боль-
		л
	– максима ьный рабочий диапазон частот в одномодовом режиме;
	– минима ьные размеры поперечного сечения волновода в этом диапа-
зоне частот;
	и
	– на меньшее затухание в сравнении с другими типами волн;
Б
	– максбмальная электрическая прочность и т.д.
	Так м образом,			требования, предъявленные к линиям передачи (см. под-

разд. 1.1), наилучшим образом удовлетворяются при работе волновода на волне H10, которая называется основной волной.

Условием работы волновода на одном, основном типе волны (см. рис. 4),

или условием одномодового режима является

λкр20 < λ < λкр10 или a < λ < 2a .

(32)

15