8.4. Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера

eiy cos y isin y ,

можно от тригонометрической формы перейти к показательной форме комплексного числа

z r cos isin rei .

Тогда

z1z2 r1r2ei 1 2 , z1 r1 ei 1 2 ,

z2

r2

zn rnein .

8.5. Задания для самостоятельной работы

Пример 1. Даны комплексные числа z , z			. Найти z	z	;	z	z	; z z	;	z1	.
Решение. Пусть z1 3 2i,	1	2	1	2		1	2	1 2		z2
	z2 5 2i .
Тогда

z1 z2 3 2i 5 2i (3 5) ( 2i 2i) 8,

z1 z2 3 2i (5 2i) (3 5) ( 2i 2i) 2 4i ,

z1z2 (3 2i)(5 2i) (3 5 ( 2i) (2i)) (3 2i 2i 5) 19 4i ,

z1		z1		z	2			(3	2i)(5	2i)		11 16i		11		16	i .
z2		z2		z		2	(5		2i)(5	2i)		25 4	29		29

Выполнить самостоятельно это же задание для чисел: z1 3 2i, z2 5 2i ;

z1 8 3i, z2 2 5i ; z1 5 4i, z2 2i 7 ; z1 3 2i, z2 i 5 .

Пример 2. Произвести возведение в степень 1 i 15

Решение. Найдем r и .

r x2 y2 , где x 1, y 1, т.е. r 2 .

arctg	y	arctg 1		.
	x
		4

Тогда, по формуле Муавра-Лапласа zn rn cosn isin n , получаем:

75

	14			14									7		7		7
z			2		cos 14				isin 14			2		cos		isin			128i .
							4			4					2		2

Выполнить самостоятельно это же задание для чисел:

2i 2 17 ; 5 5i 31 ; 3i 1 22.

Пример 3.Найти все значения корня 3 1 i .

Решение. Аналогично предыдущему примеру, определив значения r и , применим формулу Муавра-Лапласа

	n			2k		2k
wk		r cos			isin		, k 0, n 1
				n		n

Тогда получим:

																									2k															2k
																						4															4
									w 6				2			cos																i sin										, k		0, n 1
										k																3														3
Рассматривая различные значения корня, получим
w0		6								i sin
				2 cos															,
								12
														12
w1		6						3		i sin				3							6										2			i		2
			2		cos																				2(														),
								4																					2						2
															4
w2		6						17				i sin				17										6									5				i sin		5
																												2( cos
				2 cos																																							)
								12								12																			12						12

Выполнить самостоятельно это же задание для чисел: 1 3i ; 4i ; 61.

76