Матан - ряды - 2010
.docРаздаточный материал по теме «Ряды»
Выражение вида
,
где - члены ряда; - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).
Если члены ряда :
-
числа, то ряд называется числовым;
-
числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
-
числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
-
положительные числа, то ряд называется знакоположительным;
-
числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;
-
функции, то ряд называется функциональным;
-
степени х, то ряд называется степенным;
-
тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.
I. Числовые ряды. Ряды с положительными членами.
1.1. Основные понятия числового ряда.
Числовым рядом называется сумма вида
, (1.1)
где называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.
Суммы
…………..
,
составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.
Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S- суммой сходящегося ряда, т.е.
и .
Эта запись равносильна записи
.
Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.
Задание 1. Найти общий член числового ряда:
1. 2. 3. 4. 5. |
6. 7. 8. 9. 10.
|
1.2 Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: .
Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
Задание 2.Проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда:
11. 12. 13. 14. 15. |
16. 17. 18. 19. 20.
|
1.3 Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.
Признаки сравнения рядов с положительными членами.
1-й признак сравнения
Пусть и - ряды с положительными членами, причем аnдля всех номеров n, начиная с некоторого. Тогда:
-
если ряд сходится, то сходится и ряд
-
если ряд расходится, то расходится и ряд
2-й признак сравнения
Пусть и - ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел , тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Ряд Дирихле.
Ряд где p>0, называется рядом Дирихле.
Этот ряд сходится при p>1 и расходится при . Частным случаем ряда Дирихле (при р=1) является гармонический ряд .
Задание 3. Исследовать на сходимость по признакам сравнения:
21. |
26. |
22. |
27. |
23. |
28. |
24. |
29. |
25. |
30. . |
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .
Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие признаки.
Задание 4. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера:
41. |
46. |
42. |
47. |
43. |
48. |
44. |
49. |
45. |
50. |
Интегральный признак Коши.
Пусть функция f(x) при x ≥1 удовлетворяет условиям:
1) непрерывна,
2) положительна
3) монотонно убывает.
Тогда числовой ряд , где =f(n), n ≥1 сходится или расходится
одновременно со сходимостью или расходимостью интеграла
Задание 5. Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши:
31. 32. 33. 34. 35. |
36. 37. 38. 39. 40.
|
2. Знакопеременные ряды
2.1 Понятие знакопеременного ряда.
Числовой ряд
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.
,
где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,
;
;
.
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости – признак Лейбница.
2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Теорема (Признак Лейбница).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
;
2) общий член ряда стремится к нулю:.
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
.
Пусть дан знакопеременный ряд , где аn – произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится.
В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.
Пример 1.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
1. Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
=.
Сравним этот ряд с рядом . Так как <, то > для всех n.
Ряд расходится, так как расходится ряд (как ряд Дирихле при p=<1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд .
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.
А) Проверим, выполняется ли неравенство >для абсолютных величин членов данного ряда:
=>.
Данное неравенство эквивалентно неравенству <, которое верно для любого n=1,2….Значит > для все номеров n=1,2…
Б) Найдем предел общего члена ряда: ==0.
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
51. |
56. |
52. |
57. |
53. |
58. |
54. |
59. |
55. |
60. . |
3. Функциональные ряды
3.1. Понятие функционального ряда.
Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:
.
Придавая определенное значение, получим числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от : .
Определяется она в области сходимости равенством
, где
- частичная сумма ряда.
3.2. Степенные ряды.
Степенным рядом называется ряд вида
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.
Числоназывается радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится.
Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:
,
т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при .Отсюда следует, что если существует предел
,
то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.
Если , то степенной ряд сходится в единственной точке .
На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.
Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
.
Решение. Найдем радиус сходимости ряда:
.
Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.
Приимеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.
Приимеем расходящийся ряд: .
Ответ: областью сходимости исходного ряда является промежуток .
Задание 7. Найти область сходимости степенного ряда.
61. |
66. |
62. |
67. |
63. |
68. |
64. |
69. |
65. |
70. |
Ответы:
1) , 2) , 3) ,4) , 5) , 6) , 7) ,8) , 9) , 10) , 11) да, 12) да, 13) да, 14) нет, 15) нет, 16) да, 17) да, 18) нет, 19) нет, 20) да, 21)сх-ся , 22) расх., 23) расх., 24) расх., 25) сх-ся, 26) сх-ся, 27) расх., 28) расх., 29) сх-ся, 30) сх-ся, 31) расх., 32) сх-ся, 33) сх-ся, 34) расх., 35) сх-ся, 36) расх., 37) сх-ся, 38) расх., 39) расх., 40) расх., 41) расх., 42) сх-ся, 43) сх-ся, 44) сх-ся, 45) сх-ся, 46) сх-ся, 47) сх-ся, 48) расх., 49) сх-ся, 50) расх., 51) абс.сх. , 52) усл.сх., 53) усл.сх., 54) усл.сх., 55) абс.сх., 56) абс.сх., 57) абс.сх., 58) абс.сх., 59) усл.сх., 60) усл.сх., 61) (-2;2], 62) , 63) , 64) (-4;4), 65) [-3;1), 66) [-1;5], 67) (-6;2), 68) (-2;1), 69) , 70) (0;4)