finan

Решение.

n =	S/P	=	ln 1000		= 42 года.
	m ln(1 + jm/m)		4 ln(1 + 0, 167/4)

2.3. Модели операций дисконтирования

Различают математическое дисконтирование и коммерческий (банковский) учет.

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения P на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению S в другой момент времени. Простейшая задача - определение суммы вклада P на основе заданной конечной величины в будущем S через временной период начислений n под заданную, например, простую ставку процентов:

S

P = 1 + ni = S · d,

где d - коэффициент дисконтирования (приведения) по простой ставке процентов d = 1/(1 + ni).

Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке процентов равно:

S

P = (1 + ic)n = S · dc,

где dc – коэффициент дисконтирования (приведения) по сложной ставке процентов dc = 1/(1 + ic)n , а по номинальной ставке процентов jm при начислении процентов m раз в году –

S

P = .

(1 + jmm )mn

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, например векселя банком по цене, которая меньше номинальной указанной в ней суммы. В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму:

P = S − D,

где S - номинальная сумма данного обязательства; P - цена покупки векселя банком; D - дисконт, сумма процентных денег (доход банка).

Процентный доход покупателя векселя банка может определяться по простой годовой учетной ставке:

d% = DS · 100%.

11

Если срок n от даты учета до даты погашения будет составлять часть года, то дисконт определяется по формуле

D = n · d · S = Kt · d · S,

где d - относительная величина простой учетной ставки.

Предъявителю учитываемого денежного обязательства будет выдана сумма:

P = S − D = S(1 − nd) = S · (1 − Kt d).

Дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму P за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, подлежащего к возврату. Поэтому при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой

S =

P

;

1 − nd

при проведении операции по сложной учетной ставке dc –

S =

P

.

(1 − dc)

n

Отсюда можно найти другие показатели операции:

P

ln S

n

n =

; dc = 1

−

r

P

.

ln(1 − dc)

S

В финансовых операциях используется и номинальная годовая учетная ставка f , по которой при начислении процентов m раз в году можно

определить

P

S =

.

mn

(1 − f /m)

Отсюда находят следующие формула расчета показателей операции:

P

ln S

nm

n =

; f = m(1

−

r

P

).

f /m)

m ln(1

−

S

При непрерывном начислении процентов по номинальной годовой учетной ставке f справедливо соотношение

		P
S =					= P e−f ·n,
			f
	lim (1			)mn
	n→∞	− m
		12

из которого следуют следующие формулы:

n =	1	ln	P	; f =	1	ln	P	.
			S
	f				n		S

Формула дисконтирования капитала при непрерывном начислении процентов имеет вид

P = Se−δt.

Пример 1. Определить современную стоимость 10 тыс. руб., которые будут выплачены через три года при условии, что при расчетах применяется ставка сложных процентов, равная 24% годовых.

	Решение.	S
	P =		= 10(1 + 0, 24)−3 = 5.245тыс. руб.
		n
		(1 + ic)

Пример 2. Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3 года продан с дисконтом по сложной учетной ставке 30% годовых. Какова сумма дисконта и современная величина платежа? Как изменятся их значения, если в операции будет использована простая учетная ставка?

Решение.P = S(1 − dc)n = 1000(1 − 0, 3)3 = 343 тыс. руб.; D = S − P = 1000 − 343 = 657 тыс. руб.

P = S(1 − nd) = 1000(1 − 3 · 0, 3) = 100 тыс. руб. D = 1000 − 100 = 900 тыс. руб.

Пример 3. Определить современную величину стоимости векселя на сумму 500 тыс. руб., срок погашения которого наступает через полтора года при непрерывном начислении процентов по ставке 12% годовых.

Решение. P = Se−δn = 500 · e−0,12·1,5 = 417, 635 тыс. руб.

Пример 4. Заемщик должен возвратить кредитору долг в сумме 1 млн. 200 тыс. руб. Первоначальная сумма была выдана заемщику ссудой в размере 1 млн. руб. под 50% годовых, начисляемых по простой учетной ставке. На какой срок заемщику выдавалась ссуда, если K=360 дней?

Решение [13].

P = S(1	−	td/K); t =	S − P	K =	1, 2 − 1			360 = 120 дней или 4 месяца.
			Sd		1, 2	·	0, 5

2.4. Модели сравнения финансовых операций

При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными и надо иметь возможность сравнивать различные виды начисления процентов. Для этого выбирают

13

некий показатель, который является универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем может быть эффективная годовая процентная ставка. Для сравнения контрактов вводят понятие эквивалентности процентных ставок и эффективность процентной ставки.

Определение. Две процентные ставки называются эквивалентными, если применение к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков времени дает одинаковые наращенные суммы.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности, принцип составления которого заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующего преобразования получается соотношение, выражающее зависимость между ставками различного вида.

Простейшим видом финансово-коммерческой операции является однократное предоставление кредитором в долг товара на сумму или суммы P заемщику (дебитору) с условием, что через некоторое время n будет возвращена сумма S. Для оценки эффективности такой операции можно использовать следующие показатели:

относительную величину ставки процента, называемую интересом – i = (S − P )/P ;

относительную скидку, или дисконт –

d = (S − P )/S.

Эти показатели характеризуют приращение капитала кредитора, отнесенное либо к первоначальной сумме (интерес), либо к конечной сумме (дисконт).

Между этими показателями существует связь, которая находится путем совместного решения этих уравнений, откуда можно получить следующие модели:

i = d/(1 − d); d = i/(1 + i).

В операциях иногда вместо дисконта используется дисконт - фактор, определяемый по такой формуле

V = 1 − d = P/S = 1/(1 + i).

Эквивалентные ставки дают одинаковые финансовые результаты или наращенные суммы S на равных промежутках времени n.

Для этих целей используют базовые модели вычисления наращенных

сумм процентных ставок:
);	S = P/(1	−	nd);
S = P (1 + nin			n
S = P (1 + ic) ;	S = P/(1 − dc) ;
	14

S = P (1 + jm/m)nm; S = P/(1 − f /m)mn.

Тридцать моделей связи возможных вариантов сочетания эквивалентных ставок можно найти в книге [14].

При начислении сложных процентов получаем следующее уравнение эквивалентности:

(1 + ic)n = (1 + jm /m)nm,

откуда получим эквивалентную ставку сложных процентов: ie = (1 + jm/m)m − 1,

которая определяет так называемую годовую эффективную ставку сложных процентов (ie), эквивалентную номинальной сложной процентной ставке (j), и не зависит от срока операции n.

Пример 1. Эффективная ставка (ie) составляет 28%, а начисление про-

центов происходит ежемесячно. Рассчитать номинальную ставку (j).

√

Решение. ie = 12( 12 1 + 0, 28 − 1) = 0,2494 или 24,94%.

Пример 2. Рассчитать современную величину платежа и эффективной учетной ставки при учете через 3 года векселя на сумму 100 тыс. руб., дисконтированную поквартально по номинальной учетной ставке 18 %.

Решение. P = S(1 − f /m)mn = 100(1 − 0, 18/4)4·3 = 57, 549 тыс. руб.

(1 − de) = (1 − f /m)m; de = 1 − (1 − f /m)m = 1 − (1 − 0, 18/4)4 = 0, 1682 или 16,82%

3. Модели финансовых потоков

Финансовые потоки (cash flow)являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы человеческой деятельности. Примерами таких потоков являются: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени; погашение банковской задолженности или коммерческого кредита частями и т.п.

При некоторых платежах проценты начисляются на находящиеся в обороте деньги. Здесь возникают две основные задачи: определить наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме рассчитать величину отдельного платежа [15].

Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рентой, или аннуитетом. Это частный случай потока платежей, все члены которого - положительные величины. Примерами аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным бумагам, например, по акциям и т.д. Финансовая рента имеет следующие

15

основные характеристики: член ренты Rj - величина каждого отдельного платежа; срок ренты t - время от начала реализации ренты до момента последнего платежа (бывают и вечные ренты); процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей; S - наращенная будущая сумма ренты, включающая всех члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты; современная (приведенная) величина ренты A - сумма всех членов потока платежей, дисконтированная (уменьшенная) на величину учетной ставки на начальный момент времени ренты.

Ренты подразделяются на постоянные (R1 = R2 = · · · = Rn), и переменные.

По моменту выплат членов ренты различают ренты: постнумерандо (обычные,ordinary), в которых платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, и пренумерандо (due), в которых платежи производят в начале указанных периодов.

Рассмотрим модели потоков ежегодных платежей с начислением процентов на платежи в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке (ic).

Сумма первого платежа S1 с наращенными на него за весь срок процентами определяем из уравнения

S1 = R · (1 + ic)n−1,

где n - количество платежей величиной R.

Для второго платежа, для которого проценты начисляются на один год меньше, соответственно получим

S2 = R · (1 + ic)n−2.

На последний платеж, произведенный в конце последнего n-го года, проценты не начисляются:

Sn = R · (1 + ic)n−n = R.

Тогда для всей наращенной суммы ренты получим

n	n	n
X	X	X
S =	St =	R(1 + ic)n−t = R (1 + ic)n−t.
t=1	t=1	t=1

Коэффициент наращения равен:

n

X

s = (1 + ic)n−t .

t=1

Следует отметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен R, а знаменатель q = (1 + ic) > 1. На этом основании, используя формулу для сум-

16

мы членов геометрической прогрессии, преобразуем полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду

S = R (1 + ic)n − 1 , ic

из которой следует, что коэффициент наращения постнумерандо равен:

spro = (1 + ic)n − 1 . ic

Для каждого платежа современное значение определяется формулой

1

At = R (1 + ic)t .

Современная приведенная величина всей ренты будет определяться выражением

nn

XX

A =	At = R(1 + ic)−t = a · R,
t=1	t=1

где a является коэффициентов приведения ренты и определяется формулой для суммы геометрической прогрессии с параметрами

b1 =	1			, q =		1	,
		1 + ic				1 + ic
в соответствии с которой находим
n	( 1			)t = 1 − (1 + ic)−n .
apro =
X
t=1			1 + ic			ic

Следовательно, получим выражение для приведенной величины ренты

A = R 1 − (1 + ic)−n . ic

Полученные модели позволяют определить, например, величину отдельного платежа

R =	S · ic	=	A · ic	.
	(1 + ic)n	− 1	1 − (1 + ic)−n

Если платежи выплачиваются p раз в году, годовой платеж равен R, а проценты начисляются m раз в год по ставке jm , то наращенная сумма

ренты составит

S = R (1 + jm/m)nm − 1 . p (1 + jm /m)m/p − 1

17

Если платежи R выплачиваются через каждые r лет (r > 1), а сложные проценты по годовой ставке ic начисляются в течение n лет, то

S = R (1 + ic)n − 1 . (1 + ic)r − 1

Современную величину ренты можно определять так:

S

A = (1 + jm/m)mn .

При непрерывном вычислении процентов по ставке δ наращенная сумма ренты определяется по формуле [13]:

eδ·n − 1

S = R · eδ − 1 .

В моделях пренумерандо (начисление процентов в начале каждого года) по сложной процентной ставке коэффициенты наращения и приведения должны быть умножены на величину (1 + ic):

spre = spro · (1 + ic), apre = apro · (1 + ic).

Пример 1. Есть два варианта инвестирования средств в течении 4 лет: в начале каждого года под 26% годовых или в конце каждого года под 38%. Ежегодно вносится 300 тыс. руб. Сколько денег окажется на счете в конце 4-го для каждого варианта?

Решение.

Spre = 300 (1 + 0, 26)4 − 1 1, 26 = 2210, 53тыс. руб. 0, 26

Spro = 300 (1 + 0, 38)4 − 1 = 2073, 74тыс. руб. 0, 38

Пример 2. Клиент в течение 5 лет делает вклады в банк под сложную процентную ставку 20% годовых. Вклады делаются:

а) в начале каждого квартала; б) в начале каждого месяца.

Определить величину накопленной к концу 5-го года суммы, если сумма взносов за год равна 10 тыс. руб.

Решение. В первом случае число взносов N =20, размер каждого квартального взноса равен 2,5 тыс. руб. Ставка j/4 = (1+ic)1/4 −1=0,046635 (4,66%).

S = 2, 5 1, 04663520 − 1 · 1, 046635 = 83, 506 тыс. руб. 0, 046635

18

Во втором случае число взносов равно N = 60, размер каждого месячного

взноса равен 0,833 тыс. руб. Ставка j/12 = (1 + i)1/12 − 1=0,01531 (1,53%).

S = 0, 833 1, 0153160 − 1 · 1, 01531 = 82, 222 тыс. руб. 0, 01531

Пример 3. Клиент делает в банк накопительные вклады с взносами в размере 2,5 тыс. руб. в конце каждого квартала; к концу срока накоплена сумма 83,506 тыс. руб.; процентная ставка равна 4,6635%. Определить количество взносов.

Решение.

(1 + i)n − 1

ln(

Si

+ 1)

ln(

83,506·0,046635

+ 1)

S=R

(1+i);

n=

R(1+i)

=

2,5(1+0.046635)

=20 лет.

ln(1 + i)

ln(1 + 0.046635

i

Пример 4. Рассматриваются два варианта покупки дома: заплатить сразу 99 млн. руб. или платить в рассрочку по 940 тыс. ежемесячно в течении 15 лет. Определить, какой вариант предпочтительнее, если ставка процента - 8% годовых.

Решение.

A = R	1 − (1 + j/m)−nm	= 940	1 − (1 + 0, 08/12)−12·15	= 98362, 16 тыс. руб.
	j/m		0, 08/12

4. Погашение долгосрочной задолженности равными платежами

Погашение долга частями наиболее часто встречающийся в практике деятельности коммерческих организаций способ выполнения обязательств заемщика перед кредитором.

Рассмотрим вариант уплаты равными платежами, которые делаются через равные промежутки времени. Предполагается, что заемщик взял ссуду, равную A рублей и обязался вернуть долг, сделав n равных срочных уплат через равные промежутки времени по ставке сложных процентов ic за каждый промежуток времени.

Отличительной чертой метода является то, что сумма процентных платежей уменьшается, а сумма платежей по погашению основного долга растет.

Последовательность срочных уплат является рентой, имеющей n членов, современная ценность которой равна A. Величина каждого платежа определяется формулой [13]

	R =	A	;	a =		ic
		a			1 − (1 + ic)−n
				19

Тогда:

•величина суммы погашения долга в t-ом периоде составит:

	bt = R − At · ic = bt−1 · (1 + ic), t = 1, 2,n· · · , n;
	b	1	= R	A	r = A /s	, s	n	=	(1 + ic)	− 1	;
									r
				− 1 ·	1 n
	• остаток долга на начало года:

At+1 = At − bt = Dt · (1 + r) − A,

•сумма погашенного долга на начало года (St ):

St = b1 · st−1,

где st−1 – коэффициент наращения постоянной годовой ренты за период t − 1 год.

Пример 1. Согласно кредитному договору клиент банка получил кредит в сумме 10 млн. руб. на срок 3 года по ставке 12% годовых с условием погашения задолженности равными срочными ежегодными платежами. Рассчитать суммы срочных годовых уплат заемщика, погашения долга и процентов по кредиту.

Решение. A=10 (млн. руб.); n=3 (года); ic=0,12; a=2,4018.

Срочные годовые уплаты будут равны: R = 10/2, 4018 = 4, 16534 (млн. руб.) Размер погашения долга в этом случае составит:

b1 = 4.16534 − (10 · 0, 12) = 2, 9635 (млн. руб.)

Остаток долга на начало второго года: 10-2,96534=7,03646 (млн. руб);

на начало третьего года: 7,03646-[4,16354-(7,03646 0,12)]=3,7174 (млн. руб.) Суммы погашения долга b2 и b3 равны:

b2 = 2, 96354 · 1, 12 = 3, 3191 (млн. руб.) b3 = 3, 3196 · 1, 12 = 3, 7174 (млн. руб.)

План погашения заемщиком кредита при ежегодных платежах представлен в таблице 1.

Номер	Остаток долга	Сумма	Сумма вы-	Сумма
года	на начало года	срочной	платы про-	погашения
		уплаты	центов	основного
				долга
1	2	3	4	5
1	10,00000	4,16534	1,2000	2,9635
2	7,03646	4,16534	0,8444	3,3191
3	3,7174	4,16534	0,4462	3,7174
Итого		12,49062	2,4906	10,0000
		20