7. Случайная величина.

Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств.

.Дискретная случайная величина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)

Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала( масса тела, рост студентов).

Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их возможные значения прописными буквами:

Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины можно задавать в виде:

1).Таблицы

2). Графика

3) Функции распределения.

Дискретная случайная величина.

1).Таблица: Ряд распределения(может быть конечным или бесконечным)

X	x1	x2	…	…	…	xn
P(x)	P(x1)	P(x2)				P(xn)

Так как события X=x₁, X=x₂…. попарно несовместны и составляют полную группу событий, следовательно

2).График: многоугольник распределения.

x₁ x₂ x_n

P(x₂)

P(x₁)

P(x_n)

3).Функция распределения F(x₀)– это вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие или равные x_0.

1). F(x) неубывающая: F(x₂)≥F(x₁) если x₂≥x₁

2).F(-∞)=0; F(+∞)=1

x₁ x₂ x_n

Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал:

Пример:

X	2	4	6	8	10
P(x)	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
F(x)	0,1	0,3	0,7	0,9	1

F(4)=P(X≤4)=F(2)+F(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=F(2)+F(4)+F(6)+F(8)=0,1+0,2+0,4+0,2=0,9

P(4<X≤8)=F(8)-F(4)=0,9-0,3=0,6

Непрерывная случайная величина.

1).Таблица: Интервальный ряд распределения.

X	Δx1	Δx2				Δxk
P(Δx)	P(Δx1)	P(Δx2)				P(Δxk)

Где к – количество интервалов.

2).График: Гистограмма.

3).Функция распределения.

1 F(X)

0

1). F(x) неубывающая: F(x₂)≥F(x₁) если x₂≥x₁

2).F(-∞)=0; F(+∞)=1

4). Функция плотности распределения f(x): (только для непрерывной случайной величины).

Найдём предел:

Обозначим: . это функция плотности распределения.

То есть функция распределения F(x) является первообразной для функции плотности распределения f(x).

Площадь под кривой

1). f(x) неотрицательная функция (f(x)≥0).

2). Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.

3).Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:

4). Условие нормировки: площадь под кривой равна единице.

8. Числовые характеристики (параметры) случайной величины.

1). Математическое ожидание. Это среднее значение случайной величины.

Дискретная случайная величина.

При n→∞ W(x₁)→P(x₁)

W(x₂)→P(x₂)

W(x_k)→P(x_k)

=

.

Пусть проведено n испытаний,

случайная величина приняла значение

x₁ -- m₁ -- раз,

x₂ -- m₂ -- раз,

…………………..

X_k -- m_k -- раз,где

К -- количество различных значений,

m_i -- частота значения x_i.

m₁+m₂+…+m_k=n

Среднее арифметическое :

Непрерывная случайная величина.

2). Дисперсия (рассеивание). Это математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X от её математического ожидания.

Дискретная случайная величина.

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой:

Если X и Y независимые случайные величины,то

Непрерывная случайная величина.

Размерность дисперсии (единица измерения)²,поэтому используют: