курсовая

Введение.

1. Что изучает аналитическая геометрия? Основной метод аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических предметов аналитическим способом (с помощью формул).

Основным методом аналитической геометрии является метод координат. Суть метода во взаимно-однозначном соответствии между точками плоскости (пространства) и парами (тройками) вещественных чисел.

2. Координаты на плоскости. Связь между ними.

Декартовая система координат.

Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось (ось ординат); горизонтальная – ось (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка на плоскости определяется двумя числами , называемыми координатами . Точки расположены на плоскости в соответствии с своими координатами (М(х,у)).

Полярная система координат.

Полярная система координат состоит из точки, которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси. Тогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением(М).

Переход от полярных к декартовым и обратно.

Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах. Так, если точка имеет в декартовой системе координаты , а в полярной – , то , . Отсюда следует и обратное выражение ,.

3. Что такое линия на плоскости? Как задать линию на плоскости? Что называется уравнением линии на плоскости? Текущие координаты. Виды уравнений линии. Как найти точки пересечений двух линий.

Линия на плоскости-множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством.

Положение линии на плоскости определяется уравнением (равенством), связывающим координаты точек линии.

Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение F(х;у)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Координаты Х и У в уравнении линии рассматриваются как координаты переменной точки, лежащей на линии. В уравнении линии они называются текущими координатам.

F(x;y)=0-уравнение линии

X;y-текущие координаты

Виды уравнений линии:

• Параметрические уравнения линии

Х=Х/t

Y=Y/t где х и у координаты точки М (х,у),лежащей на линии. Они зависят от переменной t-параметра.

• Векторное уравнение линии

r=r/t,где t-скалярный параметр. Каждому значению t соответствует радиус-вектор.

Точка пересечения двух линий.

Две линии заданы уравнениями: F(x,y)=0; Ф(х,у)=0.

Чтобы найти точки пересечения, надо решить систему, состоящую из этих уравнений. Каждая пара чисел будет определять точку пересечения.

1.Вводная часть:

Что такое полярная система координат? Как построить точку в полярной системе координат? Как определить координаты точки в полярной системе координат? Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R. Какие линии заданы уравнениями и , записать их в декартовых координатах.

Полярная система координат- система, которая состоит из точки, которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси.

Чтобы построить точку в полярной системе координат, нужно:

• От оси отложить угол α

• Провести луч

• Отложить количество нужных единиц

Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (М ).

Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R: r=R

Линии, заданные уравнениями и , называются линиями окружности в полярной системе координат.

2. Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах. Преобразования прямоугольной системы координат. Канонические уравнения кривых второго порядка. Как общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду?

Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах: A11x^2+2A12xy+A22y^2+2A31x+2A32y+A33=0

Преобразования прямоугольной системы координат:

Переход от одной системы координат к другой, которая осуществляется с помощью формул перехода, позволяющих по существующим координатам, определить ее координаты в другой.

Канонические уравнения кривых второго порядка:

• Элипс: x^2/a^2+y^2/b^2=1

• Гипербола: x^2/a^2-y^2/b^2=1

• Парабола: y=2px

Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду можно двумя способами:

1. Выписать коэффициенты перед а11,2а12,а22,2а32,а33.

2. Составить инвариант: а11*а22-а12^2>0-элиптический вид

а11*а22-а12^2 <0-гиперболический тип

а11*а22-а12^2=0-параболический тип

3. а11*а22-а12^2≠0-элиптический или гиперболический тип

Определить центр линии 2-го порядка из системы

А11x0+f12y0=-a13

A12x0+a22y0=-a32 O’(x0;y0)

4. Записать формулы перехода и подставить их в исходное уравнение, при этом коэффициенты при квадратах текущих координат останутся те же, коэффициенты при 1-ой степени надо пересчитать свободный член.

х=х’+x0

y=y’+y0

a11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0

5. Избавиться от слагаемого со смешанным произведением, для этого повернем Оху на угол α.

1 способ поворота:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы коэффициентов

-составим характеристическое уравнение

-найдем направление осей новой системы координат. Оси направлены по собственным векторам матрицы коэффициентов.

2 способ поворота:

α=1/2arctg a11-a22/2а12

Формулы перехода

X’=x”cosα-y”sinα

Y’=x”sinα+y”cosα

Подставим в уравнение а11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0

3. Общая схема исследования функции.

• Находим область определения и точки разрыва ( там, где функция не существует)

• Определяем четность/нечетность функции.

Если f(-x)=f(x)- функция четная и график симметричен относительно Оу

Если f(-x)=-f(x)-функция нечетная и график симметричен относительно начала координат

Периодичность f(x+T)=f(x),если не выполняется, то функция общего вида.

• Точки пересечения с осями координат.

С Ох при у=0 (решаем уравнение f(x)=0)

C Oy при x=0 (решаем уравнение f(0))

• Асимптоты:

Вертикальные: х=а-асимптота,где точка разрыва х=а-точка разрыва, если limf(x)=∞,при х, стремящемся к а±0

Наклонные: y=kx+b

K=limf(x)/x,при х, стремящемся к ±∞-число

B=lim[f(x)-kx],при х, стремящемся к ±∞-число, если к=0, то y=b-вертикальная,наклонная,горизонтальная.

• Производные

• Промежутки возрастания, убывания (монотонности), точки экстремума графика функции.

Критические точки: стационарные f’(x0)=0

F’(x0)- не существует

• Промежутки выпуклости,вогнутости и точки перегиба графика функции.

Линия y=f(x)-выпуклая на [a,b]необходимо и достаточно, чтобы f”(x)<0

Линия y=f(x)-вогнутая на [a,b]необходимо и достаточно, чтобы f”(x)>0

• Другие точки, уточняющие график функции.

4. Как построить линию, заданную параметрическими уравнениями?

Чтобы построить линию,заданную параметрическими уравнениями, нужно исключить параметр t из системы. Мы получим уравнение линии в декартовой системе координат.

Каждому значению параметра T из заданного промежутка [a;b] соответствуют определенные значения Х и У (вычисляемые по формулам ), которые и определяют положение точки (x;y) в системе координат Oxy.

Для построения линии, заданной параметрическими уравнениями, выбирают достаточное количество значений параметра t, вычисляют соответствующие значения x;y. Затем на координатной плоскости отмечают точки, которые потом соединяют непрерывной линией.