pbook17

60.Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте

его сечение плоскостью BKL, где K — середина ребра

AA1, а L — середина ребра CC1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

61.Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на ребрах BB1, AA1 и AD.

62.Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точки M и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку K грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

63.Приведите пример, когда сечением куба является пятиугольник. Докажите, что сечением куба не может быть правильный пятиугольник.

64.Разбейте куб на шесть равных тетраэдров (достаточно аккуратного чертежа).

Указания, решения, ответы

56. Указание. Рассмотрите вспомогательное сечение, проходящее через вершину пирамиды и середины двух противоположных

сторон основания. Ответ. 25S/16.

Практика 6

Вклассе (5 номеров)

65.На трех ребрах B1C1, AA1 и AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R.

Постройте след секущей плоскости QR на плоскости

AA1D.

66.В гранях AA1B1B, BB1C1C и ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R. Постройте след секущей плоскости PQR на плоскости

ABC.

67.На прямой, содержащей ребро BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, взята точка P такая, что BP : B1P = 3 : 1, в грани CC1D1D взята точка Q — центр этой грани, и на ребре AD взяты точки R1, R2, R3 и R4 — такие, что

DR1 = R1R2 = R2R3 = R3R4 = R4A. Постройте сечение

параллелепипеда плоскостью PQD.

11

68.В условиях предыдущей задачи постройте сечение парал-

лелепипеда плоскостью PQR1.

69.На трех ребрах BB1, C1D1 и AD параллелепипеда

ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R —

середины этих ребер, а на диагонали A1C параллелепипеда взята точка S такая, что A1S : A1C = 1 : 4. Постройте многоугольник MPKQLR, являющийся сечением заданного

параллелепипеда, а затем постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S и прямую

MP.

Дома (7 номеров)

70.На трех ребрах B1C1, AA1 и AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R. Постройте след секущей плоскости PQR на плоскости

AA1.

71.В гранях AA1B1B, BB1C1C и ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R. Постройте след секущей плоскости PQR на плоскости

AA1B1.

72.На прямой, содержащей ребро BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, взята точка P такая, что BP : B1P = 3 : 1, в грани CC1D1D взята точка Q — центр этой грани, и на ребре AD взяты точки R1, R2, R3 и R4 — такие, что

DR1 = R1R2 = R2R3 = R3R4 = R4A. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQA.

73.В условиях предыдущей задачи постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR2.

74.Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда

ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на диагонали B1D1, точка Q — на ребре AB, а точка R — на ребре CC1. Постройте сечение параллелепипеда плос-

костью PQR, если отношения B1P : B1D1, AQ : AA1 и

CR : CC1 имеют соответственно следующие значения: 1 : 3,

1 : 3 и 2 : 3.

75.На поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки P, Q и R следующим образом: точка P лежит иа

диагонали DC1,	точка Q — на диагонали A1D, а точка
R — на прямой	AB. Постройте сечение параллелепипеда

12

плоскостью PQR, если отношения DP : DC1, DQ : DA1 и

AR : AB имеют соответственно следующие значения: 1 : 2,

1 : 2, 1 : 2.

76.На поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки P, Q и R таким образом, что точка P лежит на

ребре A1B1, точка Q — на диагонали A1D, а точка R — на ребре BC. Плоскостью PQR параллелепипед рассекает-

ся на два многогранника. Постройте сечение нижнего из этих многогранников плоскостью PRS, если точка S ле-

жит на прямой BB1 и отношение BS : BB1 имеет значение

1 : 2.

13