dist_8

	СЭЛ	≈ СКЛАССИЧ			Т	.	(8.2.5)
					ТF
	• Эффективная масса электрона
	m* =		h2
				.			(8.2.6)
			d 2 E / dk 2

Полупроводники

•Удельная проводимость собственных полупроводников

γ = en(bn + bp ),

(8.2.7)

где e − элементарный заряд; n − концентрация носителей тока электронов и дырок; bn и bp − подвижности электронов и дырок соответственно.

•Напряжение на гранях прямоугольного образца при эффекте Холла, холловская разность потенциалов

UH = RH Bja ,	(8.2.8)
где RH – постоянная Холла; B – магнитная индукция;	j – плотность тока;

a– ширина пластины (образца).

•Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, германий, кремний и др., обладающих носителями тока одного вида (n или p)

R

=

3π

1

,

(8.2.9)

H

8 en

где n – концентрация носителей тока.

•

Удельная проводимость полупроводников

−

E

γ = γ

0

e 2kT

,

(8.2.10)

где

γ0 – константа, слабо меняющаяся с температурой; Т – температура;

E – ширина запрещенной зоны (энергия активации); k – постоянная Больцмана.

•Температурный коэффициент сопротивления полупроводников

	α =	dρ	;	α =	E	,	(8.2.11)
		ρdT			2kT 2

где ρ – удельное сопротивление полупроводника.

Квантовая теория теплоемкости

•Энергия гармонического осциллятора

	ε		= (υ +	1	) hω .	( υ = 0, 1, 2, ...),			(8.2.12)
		n
			2
	где υ – колебательное квантовое число, h =						h	– перечёркнутая постоянная
							2π

Планка, ω – циклическая частота колебаний

•Средняя энергия колебания

ε =	1	hω +	hω		(8.2.13)
			hω
2				−1
			e kT

здесь и далее k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура

•Теплоемкость кристалла в теории Эйнштейна

	∂U =	3Nhω					hω		hω
C =						e kT				,	(8.2.14)
		hω			2				kT 2
	∂T
		e	kT	−1

где U – внутренняя энергия, N – число атомов.

•Максимальная частота нормальных колебаний

ω	m	= u 3	6π2 n .	(8.2.15)

где n – концентрация атомов, u – фазовая скорость волны в кристалле.

•Наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле:

λ		=	2πu	≈	2		≈ 2d .	(8.2.16)
	min
			ωm		3 n

где d – расстояние между соседними атомами в решетке.

• Внутренняя энергия

	9nh	ωm	3		dω
U = U0 +		∫	ω
						.	(8.2.17)
	ω3			hω
	m	0	e kT		−1

•Энергия нулевых колебаний кристалла

U		=	9nhωm	.	(8.2.18)
	0
		8

•Характеристическая температура Дебая

T		=	hωm	.	(8.2.19)
	D
			k

•Выражение для теплоемкости примет вид

	T	3	xm	e	x	x	4	dx
			∫
C = 9nk										.	(8.2.20)
					x	−			2
TD			0	(e				1)

•В формуле (8.2.20) x = hωkT , а xm = hωm kT = TD T .

8.2.2. Общие методические указания

Квантовые статистики

Основной задачей физической статистики является подсчет числа состояний, занимаемых системой.

При решении задач на квантовые статистики следует иметь в виду, что:

•квантовые частицы принципиально неразличимы;

•они обладают собственными механическими моментами – спинами. Спин характеризуется квантовым числом S ;

•частицы с полуцелым спином называются фермионами и к ним применима квантовая статистика Ферми-Дирака;

•частицы с целым спином называются бозонами и к ним применима квантовая статистика Бозе-Эйнштейна;

•для частиц с полуцелым спином необходимо учитывать принцип Паули: в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица.

Приступая к решению задачи, выясните – в каком состоянии – вырожденном или невырожденном находится газ. Помните, что увеличение числа частиц в системе отдаляет переход вырожденного газа в невырожденный газ. Критерием является соотношение между числом возможных состояний и числом частиц в системе:

•если число возможных состояний больше числа частиц, такая система представляет собой невырожденный газ;

•если число частиц в системе соизмеримо с числом состояний, система называется вырожденной. Характерный признак такой системы – в процессах возбуждения участвует только небольшая часть частиц,

принадлежащих системе.

Электроны в металле – типичный пример вырожденного газа. Поскольку они имеют полуцелый спин, на них распространяется принцип Паули, в соответствии с которым на каждом уровне находится только один электрон. При абсолютном нуле (Т = 0 К) последним энергетическим уровнем

окажется уровень с энергией EМАК , соответствующей максимальной кинетической энергии электрона. Эта энергия называется энергией Ферми

ЕF . Энергия Ферми определяет температуру вырождения TF электронного газа в металлах kTF = EF .

Энергетический спектр электронов в металле дискретный: на единичный интервал энергий приходится конечное число состояний, хотя их число невероятно велико. Такой энергетический спектр называется квазинепрерывным.

Тепловые свойства твердых тел

При решении задач необходимо учитывать следующее:

•В квантовой теории теплоемкости рассматривается коллективное движение всех частиц кристалла. Оно носит характер стоячих механических волн, их называют нормальными колебаниями. Нормальное колебание можно представить как гармонический осциллятор с соответствующими атрибутами: частотой ν , массой

=+ 1 =

т, энергией Еϑ υ hν , где υ 0,1,2,.........

2

•Тепловое возбуждение нормального осциллятора рассматривается в квантовой теории теплоемкости как возникновение квазичастиц, получивших название фононов. Спин фононов равен нулю. Они являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Химический потенциал для системы бозонов равен нулю ( = 0).

•В кристалле возникают колебания, максимальная частота которых

ωD , определяемая межатомным расстоянием в кристалле d или,

другими словами, видом вещества.

•Характеристическая температура Дебая ΘD определяется условием

hωD = kΘD , где h = h − перечеркнутая постоянная Планка. Она

2π

определяет интервал температур, в котором колебания атомов в кристалле становятся независимыми, а следовательно, справедлива классическая теория теплоемкости твердых тел, т.е. выполняется закон Дюлонга и Пти.

•Приступая к решению задач необходимо выяснить, какая теория справедлива: квантовая (Т < ΘD ) или классическая (T > ΘD ).

•Если твердое тело – металл, теплоемкость электронного газа можно не учитывать, поскольку при температурах, определяемых условием

(TF > T > ΘD ), в тепловом движении участвует лишь незначительная часть электронов.

•Если необходимо выполнить точные расчеты, разумно

воспользоваться формулой для соотношения молярных

теплоемкостей электронного газа – Cэл и теплоемкости решетки –

Среш :

Cэл	=	3		kT	.
Среш		2 EF

Полупроводники

•Решая задачи в разделе – «Полупроводники» нужно помнить, что носители электрического тока в полупроводниках подчиняются классической статистике, так как концентрация их мала.

•В собственных полупроводниках при любой температуре концентрации электронов и дырок равны.

•В примесных полупроводниках соотношение следующее: в полупроводнике п - типа доминируют электроны, а р - типа - дырки.

•Проводимость любого полупроводника обусловлена и тем и другим типом носителей.

8.2.3. Алгоритм решения задач в разделе «Электронная теория металлов»

1.Выяснить, действительно ли носители электрического заряда находятся в вырожденном состоянии.

2.Выписать соответствующие формулы для расчета: энергии Ферми, концентрации носителей, плотности электронных состояний и т. д.

3.В большинстве задач требуется вычислить определенный интеграл.

4.Прежде чем это сделать, перейдите к одной переменной и найдите пределы интегрирования.

5.Возьмите интеграл.

6.Проведите вычисления.

7.Запишите ответ.

8.2.4.Примеры решения задач в разделе «Электронная теория металлов»

Пример 8.2.1. Полагая, что средняя энергия электрона равна 3/5 энергии Ферми, оцените давление электронного газа в металле. Расчет провести для алюминия.

Дано:

< ε >= 3 EF

5

Определить: p =?

Решение

1.Давление электронного газа находим, воспользовавшись основным уравнением молекулярно-кинетической теории

p =	2	n < ε > ,	(1)
3

где n – концентрация частиц; < ε > – средняя энергия движения одной частицы.

2.Энергия Ферми и концентрация электронов связаны между собой соотношением

E = h2 (3π2n)23 , (2)

F

2me

где me – масса электрона; n – концентрация электронов.

3.Концентрация электронов в алюминии в три раза больше концентрации атомов, поскольку валентность алюминия равна 3. Концентрацию атомов алюминия найдем по формуле

n = ρ	NA	,	(3)
	A
где ρ – плотность алюминия; NА – число Авогадро;			А – атомная масса.

4. Подставим (3) в (2), а затем (2) в (1), с учетом условия задачи получим

2

N

A

3 h2

N

A

2 3

ρh2 N

A

N

A

2 3

p =

ρ

3π 2ρ

=

3π

2ρ

.

3

A 5 2m

A

5m A

A

Эта формула – решение в общем виде.

5.Произведем вычисления. Из таблицы выпишем плотность алюминия

ρ=2700 кг/м3. Атомная масса алюминия равна А =27 10-−3кг/моль.

p =		2,7 10	3 (1,05 10−34 )2						6,02 1023
		5	9,1 10−31						2,7 10−2
			2,7 10	3	6,02		10			23		2 3
	3(3,14)2											= 1,34 1011 Па.
						−2
			2,7 10

Ответ: р =1,34 1011 Па.

Пример 8.2.2. Кусок металла (медь) объемом V = 20 м3 находится при температуре T = 0 К. Определить: 1) максимальную энергию ЕF (энергию

Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле при T = 0, приняв, что на каждый атом меди приходится по одному электрону; 2) число

п свободных электронов, энергии которых заключены в интервале от

0,9ЕF до ЕF ; 3) среднюю кинетическую энергию < ε > свободных электронов.

Дано:	СИ
V =20 см3,	20 10-6м3
Т =0 К,

E = (0,9EF EF ) .

Определить: ЕF =?, п =?, < ε >=?.

Решение

1. Максимальная кинетическая энергия ЕF , которую могут иметь электроны

в металле при абсолютном нуле, связана с концентрацией свободных электронов соотношением

E = h2 (3π2n)23 , (1)

F

2me

где h – перечеркнутая постоянная Планка; me – масса электрона.

2. Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

n = ρ	NA	,	(2)
	A

где ρ – плотность меди; NA – число Авогадро; A – атомная масса.

3. Подставляя выражение концентрации в формулу (1), получим решение в общем виде для энергии Ферми

		=	h2			N	A		2 3
E				3π	2ρ			.		(3)
	F
			2me			A

Подставив числовые значения, произведем вычисления и тем самым найдем энергию Ферми:

E		=	(1,05 10−34 )2		3 3,142	8,9 103	6,02	1023		2 3	Дж =
	F			−31					−3
			2 9,1 10				64	10

=1,18 10−18 Дж = 7,4 эВ.

4.Число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале от 0,9ЕF до EF , найдем интегрированием

n =

= 1 6π2

EF

1 2m

3 2

1 2m

3 2 EF

∫

e

E1 2dE =

e

∫E1 2 dE =

4π

2

h

2

4π

2

h

2

0,9E

F

0,9E

F

2m

3 2

1

2m

3 2

(E3 2 − 0,9E3 2 )=

e

=

e

E3 2

EF

h2

0,9EF

6π2

h2

F

F

=

0,1 2m

e

3 2

=

0,1 2m

E

F

3 2

E3 2

e

.

6π2 h2

F

6π2 h2

Мы получили решение в общем виде.

5. Подставим числовые значения и получим концентрацию электронов, энергии которых заключены в интервале энергий от 0,9ЕF до EF :

	0,1			2 9,1 10−31 1,18 10			−18 3 2
n =									эл м3	=
				(1,05 10
	6 3,14	2			−34	2
						)

=6,83 1027 элм3.

6.Для определения средней кинетической энергии dn(E) свободных

электронов воспользуемся известным соотношением

EFf

<ε >= 1 ∫Edn(E). n 0

7.Подставив функциональную зависимость dn(E) и выполнив преобразования, получим:

1

EF

1

2m

3 2

1

2m

3 2 EF

< ε >=

∫E

e

E1 2 dE =

e

∫E3 2dE =

n

2π

2

h

2

2π

2

n

h

2

0

0

=

1

2m

e

3 2 E5 2

2

=

1

2m

e

3 2

E5 2 .

F

2π2n h2

5

5π2n

h2

F

8. Учтем, что E

=

h2

(3π2n)2 3

. Перепишем эту формулу в виде

F

2me

E

F

=

h2

.

(3π2n)2 3

2me

(4)

(5)

9. Объединим (5) с выражением (4), получим решение в общем виде для средней энергии электронов:

1

2m

e

3 2

1 3π 2n

3

< ε >=

E5 2

=

E5 2

=

E

.

(6)

5π

2 n

h2

F

5π2 n EF3 2

F

5

F

10. Подставим в (6) численное значение энергии Ферми и получим среднее значение энергии:

< ε >= 3 7,4= 4,44 эВ. 5

Ответ: 1) EF = 7,4 эВ;

2) п = 6,83 1027 эл/м3 ; 3) < ε >= 4,44 эВ.

8.2.5. Алгоритм решения задач в разделе «Зонная теория полупроводников»

Выяснить, какой полупроводник: собственный или примесный.

Для примесного проводника определить тип проводимости: электронная или дырочная.

Записать формулы для расчета электропроводности. Обычно используется формула температурной зависимости удельной проводимости.

При определении подвижности носителей необходимо выписать только требуемую формулу.

Дополнить указанные выше основные соотношения дополнительными формулами и законами, например, по эффекту Холла, внутреннему фотоэффекту и т.д.

Получить решение в общем виде. Провести вычисления.

Записать ответ.

8.2.6. Примеры решения задач в разделе «Зонная теория полупроводников»

Пример 8.2.3. Рассчитать ширину запрещенной зоны E носителей тока в теллуре, если при нагревании от T1 = 300 К до T2 = 400 К его проводимость возрастает в η = 5 раз.

Дано:

Т1 =300 К,

Т2 =400 К,

η = 5.

Определить: E =?

Решение

1. Теллур является полупроводником, его собственная проводимость γ зависит от температуры T по закону

γ = γ	0	e− E 2kT ,	(1)
где γ0 − величина, слабо меняющаяся с температурой;			E − ширина
запрещенной зоны; k − постоянная Больцмана.

2. Используя соотношение (1), запишем проводимость теллура при температурах

T1 и T2 :

γ

1

= γ

0

e−

E 2kT1

;

(2)

γ

2

= γ

0

e−

E 2kT2

.

(3)

3. Разделив выражение (3) на (2), имеем:

E

1

1

γ

−

2

= e

2k

T

T

1

2

.

(4)

γ1

4. После логарифмирования

γ

2

E

1

1

ln

=

−

.

(5)

γ1

2k

T1

T2

5. Найдем ширину запрещенной зоны из выражения (5), т.е. получим

решение в общем виде:

E = 2k

T1 T2

ln

γ2

.

(6)

T

−T

γ

1

2

1

6. Рассчитаем ширину запрещенной зоны:

E = 2 1,38 10−23

300 400

ln5=

400 − 300