5.13 Квантование аналоговых сигналов по времени

Если нижняя частота спектра , то квантование по времени осуществляется по теореме Котельникова.

Теорема Котельникова во временном представлении.

Если функция не содержит составляющих с частотой вышеГц, то она полностью определяется последовательностью ее значений в точках, которые отстоятся на расстояниесек. одна от другой.

Сформулированное предложение является теоремой отсчетов во временном представлении. Факт, что выражается теоремой – невозможность независимых значений сигнала, отделенных один от другого в среднем интервалами, меньше чем , - был известен и раньше в применении к технике генерации.

Перейдем теперь к доказательству теоремы, в ходе которого выясним условия, при которых она удовлетворяется.

Пусть является спектром функции. Тогда

; .

Ввиду того, вне полосы , это выражение примет вид

.

Рассмотрим значения , которые удовлетворяют условию

,

где - положительные или отрицательные числа. Для этих моментов времени выражение принимает вид

.

Совокупность значений при всех положительных и отрицательных значениях определяет все коэффициенты ряда Фурье для.

Следовательно, этими значениями определяется и сама функция. Поскольку вне отмеченного интервала функция предусматривается тождественно равной нулю, совокупность значений полностью определяет, что в свою очередь однозначно определяет. Теорема доказана. Существует одна и только одна функция со спектром, ограниченным частотой, которая в точках отсчета, отстоящих насек., принимает заранее заданные значения. Найдем теперь аналитическое выражение для функции, заданной ее значениями в точках отсчета.

В первую очередь расположим функцию , заданную на отрезкев ряд Фурье

,

где

.

Следовательно,

.

Из приведенных уравнений видно, что

.

В результате интегрирования получим

.

Следовательно, будет справедливо выражение

;

.

С помощью полученного равенства может быть определена всюду по ее значениям в точках отсчета.

Это выражение может быть записано в следующем виде

,

где - функция отсчета.

Функция отсчета обладает рядом простых и важных свойств. Она равняется единице в одной точке отсчета и нулю во всех других точках. Спектр этой функции равномерный.

Графическая иллюстрация теоремы Котельникова (рис. 5.45) может быть сведена к следующему. Пусть дана непрерывная функция (рис. 5.45 а). Значения функции в дискретных точках отсчета, отстоящих одна от другой на , показаны на рис. 5.45 б.

Элементарная функция Котельникова имеет взначение, равное значению первого отсчетавравна значению второго отсчета и так далее (рис. 5.45 г, д, е). В остальные отсчетные моменты времени эти функции равны нулю. Сумма элементарных функцийдает исходную непрерывную функцию(рис. 5.45 ж).

Теорема Котельникова используется и в частотном представлении. Эта теорема формулируется следующим образом.

Если функция тождественно равна нулю вне интервала, то ее спектроднозначно определяется последовательностью его составляющих точек, отстоящих друг от друга на.

Докажем это.

Спектральное представление функции имеет вид

.

Разложим функцию в ряд Фурье в интервале от до

,

где ,

где .

Следовательно, .

Подставим это выражение в формулу для

.

После интегрирования получим

,

где .

Это выражение запишем в виде

.

Теорема доказана.

Теорема Котельникова применяется при квантовании по времени непрерывного сигнала если его спектр располагается в области и ширина спектра. Для узкополосных сигналов характерно неравенство, где- несущая частота. Поскольку при этом, непосредственно применять теорему Котельникова нецелесообразно. В этом случае перед квантованием сигнала по времени осуществляют преобразование спектра этого сигнала с целью переноса его в область низких частот.

Рис. 5.45 К пояснению теоремы Котельникова

Контрольные вопросы

1. Какая помехоустойчивость называется потенциальной?

2. Сущность критерия максимума апостериорной вероятности.

3. Суть критерия максимума отношения правдоподобности.

4. Общее выражение для вероятности ошибки при приеме двоичных сигналов.

5. Алгоритм оптимального приемника Котельникова.

6. Алгоритм корреляционного приемника.

7. Структура приемника с согласованными фильтрами.

8. Написать общее выражение для вероятности ошибки при потенциальной помехоустойчивости.

9. Написать выражение для вероятности ошибки при потенциальной помехоустойчивости сигналов с АМ, ЧМ и ФМ.

10. Написать общее выражение для плотности вероятности закона Релея.

11. Методика вывода выражения для вероятности ошибки при некогерентном приеме АМ сигнала.

12. Методика вывода выражения для вероятности ошибки при некогерентном приеме ЧМ сигнала.

13. Получить выражение для вероятности ошибки при приеме ФМ сигнала.

14. Метод формирования опорного напряжения при приеме ФМ сигнала.

15. Метод формирования и приема сигналов с относительной ФМ.

16. Суть двукратной относительной ФМ.

17. Объяснить метод приема сигналов при использовании ФМ с минимальным сдвигом.

18. Как формируется модуляционный код при АОФМ?

19. Суть квадратурной амплитудной модуляции (КАМ).

20. Изобразить сигнальное созвездие при КАМ-4, КАМ-8 и КАМ-16.

21. Области применения широкополосных сигналов.

22. Почему при использовании широкополосных сигналов повышается помехоустойчивость?

23. Как функционирует радиоканал, основанный на использовании псевдослучайной перестройки рабочей частоты?

24. Как формируется широкополосный сигнал?

25. Области применения широкополосных сигналов.

26. Принципы функционирования многоканальных цифровых систем.

27. Какой канал канал называется основным цифровым?

28. Пояснить методику получения выражения для ряда Котельникова.

29. Доказать теорему Котельникова.