Курс лекций_Спец. разд. ВМ_Вар. исчисление

В этом случае уравнение Эйлера имеет вид Fy (x, y) = 0 . Это уравнение не

дифференциальное, а конечное, т. е. его решение не содержит произвольных постоянных. Нас интересуют такие его решения, которые удовлетворяют условиям (2). Остается только проверить это. Рассматриваемая вариационная задача имеет решение лишь в исключительных случаях, когда граничные точки окажутся на этой кривой.

1

Пример. J[ y] = ∫ y(2x − y)dx , y(0) = 0, y(1) = 3 .

0

Уравнение Эйлера 2x − 2 y = 0 , y = x . И, следовательно, эта линия не проходит через точку (1,3) .

5.2. Функция F зависит от y′ линейно, т. е. F = M (x, y) + N (x, y) y′. Составим уравнение Эйлера:

∂M +	∂N y′−	d	N (x, y) = 0	,
∂y	∂y	dx

или

∂M + ∂N y′− ∂N − ∂N y′ = 0 , ∂y ∂y ∂x ∂y

∂M − ∂N = 0 . ∂y ∂x

Это снова конечное уравнение, и вариационная задача, как правило, не

имеет решения. Исключением

будет лишь

случай,

когда

∂M

=

∂N

,

т. е.

∂y

∂x

выражение M (x, y)dx + N (x, y)dy

является полным дифференциалом некоторой

функции, но тогда

J[ y] =

b

∂M

−

∂N

b

∂M

∂N

y′ dx =

dx −

dy

∫

∂y

∫

∂y

∂x

.

a

∂x

a

Здесь интеграл не зависит от пути интегрирования, поэтому вариационная задача теряет смысл.

Примеры.

1

1)	J[ y] = ∫( y2 + x2 y′)dx ,	y(0) = 0, y(1) = a .
	0
Уравнение Эйлера 2x − 2 y = 0 , y = x . И лишь при a =1 на этом решении
может реализоваться экстремум функционала.
	1
2)	J[ y] = ∫( y2 + 2xyy′)dx ,	y(0) = 0, y(1) = 2 .
	0
		11

Уравнение Эйлера			2 y −		d	2xy = 0 , y − y = 0 . Следовательно, выражение
					dx
y 2dx + 2xydy есть полный дифференциал функции.
			2				2			2 = 4 .
	J[ y] = ∫( y2dx + 2xydy) = ∫d (xy2 ) = xy2
			0				0			0
5.3. Функция	F		зависит				только от	y′, т. е. F = F ( y′) . Здесь
Fy = Fxy′ = Fyy′ = 0 и уравнение Эйлера принимает вид Fy′y′( y′) y′′(x) = 0 .
Получаем, если Fy′y′( y′) = 0 ,							то левая часть уравнения зависит лишь от y′,
значит, его решения есть			y′ = ki . Следовательно					y = ki x + C . Если же y′′ = 0 , то
аналогично y = C1x + C2 .
1
	1 + y′2 dx , y(0) = 0, y(1) = 2 .
Пример. J[ y] = ∫
0

y = C1x + C2 , C1 = 2, C2 = 0 , y = 2x .

5.4.Функция F не зависит от y , т. е. F = F (x, y′) .

Уравнение Эйлера

−

d

F

y′

(x, y′) = 0 ,

следовательно

F

y′

(x, y′) = C

. Это

dx

1

дифференциальное уравнение первого порядка,

которое явно не содержит y .

Например, если его удастся разрешить относительно y′ и получить

y′ = ϕ(x, C )

,

то затем интегрированием находится и общее решение y = y(x, C1, C2 ) .

1

2

Пример. J[ y] = ∫( y′ + x2 y′2 )dx ,

y(1) = 0, y(2) =1.

1

C1 −1

−

d

(1 + 2x2 y′) = 0 ,

1 + 2x2 y′ = C

, y′ =

, или y′ =

C2

, y = −

C2

+ C

3

.

dx

1

2x2

x2

x

Подставляя граничные условия, получаем C

= C

= 2 , тогда y = −

2

+ 2 .

2

3

x

5.5. Функция F не зависит от x , т. е. F = F ( y, y′) . Уравнение Эйлера

Fy − d Fy′( y, y′) = 0 , dx

Fy − Fy′y y′ − Fy′y y′′ = 0 . Покажем, что это первый интеграл уравнения F − Fy′ y′ = C .

Действительно, если продифференцировать указанное равенство, получим

12

d (F - Fy′ y¢)= Fy y¢ + Fy′ y¢¢ - Fy′y y¢2 - Fy′y′ y¢y¢¢ - Fy′ y¢¢ = dx

= Fy y¢ - Fy′y y¢2 - Fy′y′ y¢y¢¢ = y¢(Fy - Fy′y y¢ - Fy′y′ y¢¢)

Причем, уравнение F - Fy′ y′ = C не зависит явно от x , то оно может быть интегрировано путем разрешения относительно y′ и разделения переменных, или путем введения параметра.

Пример. Решим задачу о брахистохроне.

T[ y(x)] =		1	a	1+	y¢	2 dx	, y(0) = 0, y(a) = A .
			∫
		2g			y
			0

1+ y¢2					1			2 y¢
			- y¢			×			= C
	2gy				2gy		2 1+ y¢2

1 + y¢

2 - y¢2

= C 2gy ,

1 + y¢2

y(1+ y¢2 ) = 2C .

1

Введем параметр y¢ = ctg j , тогда y = 2C sin 2 ϕ = C (1- cosϕ ) .

2

1

2

1

Дифференцируя таким образом, найденный y , и, подставляя в предыдущее

равенство, получаем 2C × 2sin j cos j

×

1

×

dj

= ctg j ,

1

2 2

2

dx

2

откуда

2C ×sin 2 j dj = dx ,

1

2

C1 ∫ (1 - cos j)dj = x , x = C1(j - sin j) + C2 .

Окончательно получаем, что

x = C1(j - sin j) + C2 ,

y = C1(1- cos j) .

Учитывая граничные условия, имеем C2

= 0 .

x = C1(j - sin j) , y = C1(1- cos j) .

Это параметрические уравнения циклоиды.

5.6.В заключении рассмотрим квадратичный функционал

b

J[ y] = ∫ ( p(x) y′2 + q(x) y2 + 2 f (x) y)dx , y(a) = A, y(b) = B .

a

Имеем:

2q(x) y + 2 f (x) - d 2 p(x) y¢ = 0 , dx

2q(x) y + 2 f (x) − 2 p′(x) y′ − 2 p(x) y′′ = 0 ,

или

13

p(x) y′′ + p′(x) y′ − q(x) y = f (x) .

Данное уравнение Эйлера оказывается линейным неоднородным уравнением второго порядка. Его решение является суммой y = C1 y1 + C2 y2

общего решения однородного уравнения и y* частного решения неоднородного уравнения. Частное решение находится либо по методу вариации произвольных постоянных, либо по методу неопределенных коэффициентов [7].

1

Пример. J[ y] = ∫ ( y′2 + y2 + 2xy)dx , y(0) = 0, y(1) = 1.

0

Уравнение Эйлера имеет вид y′′ − y = x , его решение y = C1e x + C2e− x − x .

	Подставляя граничные условия, получаем C1 = −C2 =					2	=	1
						e − e−1		sh1
		ex − e− x
	Имеем, что y =		− x = 2	sh x	− x .
		sh1		sh1

6.Обобщения простейшей задачи.

6.1.Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Исследуем на экстремум функционал

b
′	′′		(n)		(x))dx		(4)
J[ y] = ∫ F (x, y(x), y (x), y (x),..., y
a
при следующих граничных условиях:
y(i) (a) = A , y(i)	(b) = B ,	i =					(5)
				0, n − 1.
i	i

Искомая функция здесь одна, но функционал зависит от производных высших порядков. Поэтому в граничных условиях задаются значения искомой функции и ее производных до (n −1) -го порядка включительно.

Будем предполагать, что функция имеет непрерывные частные производные до (n + 1) – го порядка включительно по всем своим аргументам, а допустимые функции y(x) Cn[a, b] .

Теорема. Для того чтобы функционал (4) приграничных условиях (5)

достигал

на функции y(x)

экстремума,

необходимо,

чтобы эта

функция

удовлетворяла уравнению Эйлера-Пуассона

Fy −

d

Fy′ +

d 2

Fy′′ −

d 3

Fy′′′

+ ... +

d n

F

( n) = 0 .

(6)

dxn

dx

dx2

dx3

y

Доказательство. Введем в рассмотрение однопараметрическое семейство

функций

~

зависящих от параметра

α . Здесь

функция

y (x) = y(x) + αη(x) ,

η(x) Cn [a, b], η(a) = η(b) = 0 .

При достаточно малых α это семейство будет

14

принадлежать окрестности	1-го порядка	функции y(x) , а	кривые	~
				γ ,
соответствующие функциям	~	будут допустимыми кривыми.
	y (x) = y(x) + αη(x)
Определим вариацию функционала (4) аналогично тому, как это делалось в
п.3.
dJ = ∫b [Fy × h + Fy′ × h¢ + Fy′′ × h¢¢ + ... + Fy (n) × h(n) ]dx .
a
Необходимое условие экстремума δJ = 0 .
Интегрируя n раз δJ	по частям и, учитывая граничные		условия	для

функции η(x) , получаем уравнение (6).

Уравнение Эйлера-Пуассона является в общем случае дифференциальным уравнением 2n -го порядка. Его общее решение содержит 2n произвольных постоянных, которые можно определить из 2n граничных условий (5).

Пример. Требуется определить форму изогнутой упругой цилиндрической балки, в поле силы тяжести, закрепленной на концах.

Потенциальная энергия такой балки описывается функционалом

l

1

m( y¢¢)

2

E[ y(x)] = ∫

+ ry dx ,

2

−l

где μ, ρ- некоторые положительные константы.

′

= 0 .

Граничные условия: y(±l) = 0, y (±l)

Определение формы балки сводится к отысканию минимума функционала

E[ y] . Запишем уравнение Эйлера-Пуассона:

Fy -

d

Fy

′ +

d 2

Fy′′ = 0 ,

dx2

dx

r +

d 2

1

×

2 y¢¢

=

0

,

dx

2

2

m

y IV = - ρ

,

m

y = - r

x4

+ C x3 + C

2

x2 + C

x + C

4

.

m 24

1

3

Подставляя граничные условия, получаем

y = -

ρ

(x2 - l 2 )2 .

24m

6.2. Функционалы, зависящие от нескольких функций.

Исследуем на экстремум функционал

b

J[ y1, y2 ,..., yn ] = ∫F (x, y1, y2 ,..., yn , y1¢, y2¢,..., yn¢)dx

(7)

a

при следующих граничных условиях:

15

yi (a) = Ai , yi (b) = Bi ,	i =						(8)
		0, n -1 .
Т. е. функционал зависит от выбора кривой в пространстве большего числа
измерений.
	= yi (x),		i =
Требуется найти такую систему функций yi					0, n -1 , на которой
функционал (7) принимает экстремальное значение.
Будем предполагать, что функция F имеет			непрерывные				частные

производные по всем аргументам до 2-го порядка включительно, а допустимые

функции yi

= yi (x) Î C[a, b] .

Теорема.

Для

того чтобы

функционал

(7)

достигал

на функциях

yi = yi (x),

i =

экстремума,

необходимо,

0, n -1

чтобы

эти

функции

удовлетворяли системе уравнений Эйлера:

Fy

−

d

F

′

= 0,

1

dx

y′

1

−

d

Fy′ ′ = 0,

Fy

(9)

2

dx

2

...

−

d

′ = 0.

Fyn

Fy′

dx

n

Доказательство.

Будем

варьировать

только

одну

из

функций

yk (x) ,

оставляя

остальные

функции

неизменными.

Т.

е.

рассмотрим

значение

~

функционала

на

допустимых

кривых

= yi (x) + ahi (x),

i = 0, n -1,

где

yi

hi (x) Î C1[a, b] ,

hi (a) = hi (b) = 0 ,

близких к кривым

yi = yi (x)

при достаточно

малых

α .

Пользуясь тем,

что

функции

hi (x)

произвольны,

положим

hi (x) = 0, i ¹ k ,

~

= y(x) + ahk (x) .

На

таких

кривых

функционал

(7)

а yk

превращается в функционал, зависящий от выбора

только

одной

функции

~

(x) + ahk (x) .

Тогда задача сводится к ПЗВИ,

а необходимое условие

yk = yk

экстремума

–

выполнение

уравнения

Эйлера

для

функции

yk (x) :

Fyk −

d

Fy

′ ′

= 0 . Поскольку k

произвольно и может принимать любые значения

dx

k

от 1 до n , то тем самым теорема доказана.

Система (9) является системой n уравнений второго порядка, поэтому ее решения содержат 2n произвольных постоянных, определить которые можно из 2n граничных условий (8).

В частности, пусть функция F не зависит от x , т.е.

F = F ( y1, y2 ,..., yn , y1′, y2′,..., yn′) .

Если i -тое уравнение системы (9) умножить на yi , i = 1, n и сложить

	d		n	′
полученные уравнения, то получится					Fy′′
		F − ∑ yi
	dx		i =1		i

= 0 . Следовательно, в

16

рассматриваемом случае система уравнений Эйлера имеет первый интеграл (см.

п. 5.5)

F− ∑n yi′Fyi′′ = C .

i=1

Пример. Рассмотрим задачу о брахистохроне в трехмерном пространстве. Ось Oy как и раньше направим в сторону действия силы тяжести, а оси Ox , Oz горизонтально. Время ската описывается функционалом

		1		b	1 + y	′2		+ z	′2
J[ y, z] =				∫						dx ,
		2g					y
				a

y = зависящим от выбора траектории в пространстве z =

Система Эйлера имеет вид:

1

1 + y′2 + z′2

+

d

y′

y3

2

dx

y(1 + y′2 + z′2 )

z′

d

= 0.

dx

y(1 + y′2 + z′2 )

Из второго уравнения следует, что

	z′		= C1 .
	y(1+ y′2 + z′2 )

y(x),

z(x).

=0,

(10)

Составим первый интеграл уравнения, учитывая, что											функция F не
зависит от x (см. п. 5.5):
F − y′F	y′	− z′F	=	1		1			= C	2	(11)
		z′			y		1 + y′2 + z′2

Почленное деление уравнения (10) на уравнение (11) дает z′ = C1 = k , или

C2

z(x) = kx +b , где k и b - постоянные. Отсюда следует, что брахистохрона в пространстве является плоской кривой. Теперь очевидно, что это циклоида (см.

п. 5.5).

6.3. Функционалы, зависящие от функции нескольких переменных. Исследуем на экстремум функционал

J[z(x, y)] = ∫∫F (x, y, z(x, y), zx′(x, y), z y′(x, y))dxdy ,			(12)
D
зависящий от функции двух независимых переменных x , y и значения
функции z = z(x, y) на границе L области D :
z(x, y)		L = ϕ(x, y) .	(13)
17

Требуется	найти ту функцию		z = z(x, y) , на		которой функционал (12)
принимает экстремальное значение.			Уравнение z = z(x, y) описывает некоторую
поверхность	в	пространстве,	а	контур	z		L = ϕ(x, y)	некоторый

пространственный контур. Геометрически задача состоит в том, чтобы среди поверхностей, проходящих через контур L , выбрать ту, на которой функционал достигает экстремума.

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка, а допустимые функции z = z(x, y) также дважды непрерывно дифференцируемы и, кроме того, удовлетворяют граничному условию (13).

Теорема. Для того чтобы функционал (12) достигал на функции z = z(x, y) экстремума, необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению Эйлера-

Остроградского:

Fz − ∂∂x Fz x − ∂∂y Fz y = 0

От ранее полученных уравнений Эйлера оно отличается тем, что является уравнением в частных производных. Среди его решений нужно выбрать то, которое удовлетворяет граничному условию (13).

Если функционал зависит от старшей производной, то функция, реализующая экстремум, удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона.

Пример. Функционал J[z(x, y)] = ∫∫ 1 + z′x		2 + z′y	2 dxdy ,	z		L = ϕ(x, y)		выражает
	D
площадь поверхности, накинутой на контур			L .	Уравнение				Эйлера-
Остроградского	для	этого					функционала
zxx (1 + z 2y ) − 2zxy zx z y + z yy (1 + zx2 ) = 0 описывает		поверхность					минимальной

площади. Физической реализацией таких поверхностей являются мыльные пленки.

7.Простейшая задача Больца.

Пусть функция F (x, y(x), y′(x)) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по совокупности своих аргументов до 2-го порядка включительно. Рассмотрим функционал

b
∫F (x, y(x), y′(x))dx + g( y(a), y(b)) .	(14)
a
Среди всех функций y = y(x) , непрерывных на отрезке [a, b] ,	требуется
найти ту, которая доставляет экстремум функционалу (14).
18

Теорема. Для того чтобы функционал (14) достигал на данной функции экстремума, необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению Эйлера

Fy −

d

Fy′ = 0

(3)

dx

и условиям трансверсальности

Fy′

= g y(a) ,

x

=a

(15)

Fy′

= −g y(b) .

x

=b

Пример. Найти экстремали функционала в задаче Больца

1

J[ y] = ∫( y′2 + y)dx + y 2 (1) .

0

Составим уравнение Эйлера: 1 −

d

(2 y′) = 0 ,

dx

y′′ =

1

,

y′ =

x

+ C1

, или y =

x2

+ C1x + C2 .

2

2

4

Условия трансверсальности:

Fy′ = 2 y′, следовательно 2 y′(0) = 0, 2 y′(1) = −2 y(1) .

Откуда получаем C1 = 0, C2 = − 3 .

4

y(x) = x2 − 3 - искомая экстремаль.

4 4

8.Достаточные условия экстремума.

8.1.Поле экстремалей.

Определение 10. Говорят, что семейство кривых y = y(x, C) образует собственное поле в области D плоскости (x, y) , если через каждую точку этой

области проходит одна и только одна кривая семейства y = y(x, C) .
Определение 11. Угловой коэффициент p(x, y) касательной в точке (x, y)	к
кривой семейства y = y(x, C) называется наклоном поля в точке (x, y) .
Примеры:
а) D : x2 + y2 ≤1 , семейство кривых y = Cex образует в области	D
собственное поле (рис. 2).

19

Рис. 2

б) D : x2 + y2 ≤1 , Семейство кривых y = (x + C)2 в области D собственное поле не образуют (рис. 3).

Рис. 3

Определение 12. Если все кривые семейства y = y(x, C) проходят через некоторую точку (x0 , y0 ) , то говорят, что они образуют пучок кривых с центром в точке (x0 , y0 ) .

Определение 13. Пучок кривых y = y(x, C) образует центральное поле в области D плоскости (x, y) , если кривые пучка покрывают всю область D сплошь, нигде не пересекаются в этой области, кроме центра пучка.

Определение 14. Собственное или центральное поле, образованное семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, называется полем экстремалей.

Определение 15. Говорят, что кривая y = y(x) включена в собственное поле экстремалей, если найдено семейство кривых y = y(x, C) , содержащее при некотором C0 экстремаль y = y(x) и образующее в окрестности этой экстремали собственное поле (рис 4).

Рис. 4
Определение 16. Говорят, что кривая y = y(x)	включена в центральное поле
экстремалей, если найден пучок y = y(x, C) экстремалей		с центром в т. M ,
содержащий при некотором C0 экстремаль	y = y(x)	и образующий в
окрестности этой экстремали центральное поле (рис. 5).

20