Boyarshinov_ChM_T3
.pdfАппроксимация решения кусочно-линейными функциями
Стержень, имеющий длину L, разбивается на 4 (для определенности)
равных отрезка длиной h L4 каждый. Для произвольного отрезка xi , xj (рис
3.0, б) температурное поле описывается уравнением (3.0), граничные условия записываются в форме
dT |
= qi , |
dT |
= -qj , |
(3.2) |
dx x=x |
|
dx x=x |
j |
|
i |
|
|
|
где qi , qj – тепловые потоки на внутренних границах конечного элемента.
Построим разрешающие соотношения метода Галеркина (вариант метода
взвешенных невязок, при котором в качестве |
взвешивающих и пробных |
|
функций используются одни и те же функции). |
Первоначально выбираются |
|
кусочно-линейные пробные функции в виде |
|
|
i xj x h, |
j x xi h. |
С использованием этих функций решение задачи на отрезке
разыскивается в виде
Tm = Ti i +Ti i ,
где Ti, Tj – узловые значения искомого распределения температуры.
Невязка уравнения (3.0), получаемая на приближении (3.3), взвешивается с
использованием функций i и j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xj d |
|
dT |
|
W |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
idx =0; |
|||||
|
|
|
x dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
(3.4) |
||||
|
|
|
xi |
|
|
|
dT |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
j d |
|
W |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
jdx =0; |
|||||
|
|
|
xi dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
Первое из этих уравнений преобразуется к виду |
|||||||||||||||
|
|
|
xj |
d |
|
dT |
|
|
|
|
|
xj |
|
||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
m idx |
W idx = 0, |
||||||
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
xj |
d |
λ |
dT |
|
|
|
xj |
|
dT d |
xj |
|||||
|
|
|
m i dx λ |
|
m |
|
i dx W idx=0, |
||||||||
x |
dx |
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
dx |
x |
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
dT |
i |
xj |
|
xj |
|
dT |
|
|
d |
|
|
xj |
||
|
λ |
|
m |
|
λ |
m |
|
|
i |
dx W idx=0. |
|||||
|
|
dx |
|
x |
|
x |
|
dx |
|
dx |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
Поскольку ixi 1, ixj 0, из последнего выражения следует
51
|
|
dT |
|
xj |
dT |
d |
i |
xj |
|
|
|
|
|
m |
λ |
m |
|
|
|
|
|
||
|
λ dx |
dx |
dx dx W idx=0. |
|
|||||||
|
|
|
xi |
xi |
|
|
|
xi |
|
|
|
Учитывая (3.2) и используя представление решения (3.3), приходим к |
|||||||||||
выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi |
xj |
d d |
|
xj |
d j |
d |
|
xj |
(3.5) |
||
Ti |
i |
i |
dx Tj |
|
|
|
i |
dx W idx = 0. |
|||
|
x |
dx |
dx |
|
x |
dx |
dx |
x |
|
||
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
Аналогичные преобразования второго уравнения системы (3.4) приводят к |
|||||||||||
соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qj |
xj |
d d j |
|
xj |
d j |
d j |
xj |
(3.6) |
|||
Ti |
i |
dx |
dx Tj |
|
|
dx |
dx W jdx = 0. |
||||
|
x |
dx |
|
x |
dx |
x |
|
||||
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
В итоге получена систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур Ti и Tj, то есть коэффициентов разложения (3.3) решения по пробным функциям. Подсчитаем интегралы в выражениях (3.5) и (3.6).
|
|
|
|
|
|
|
d |
i |
|
1 |
, |
d j |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
dx |
h |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xj |
d i |
d i |
|
|
|
|
xj |
|
λ |
|
xj |
d j |
d j |
|
xj |
|
|||||
|
x |
dx dx |
dx |
h2 |
x dx h, |
|
x dx |
dx |
dx h2 |
x dx h |
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
xj |
d i |
d j |
|
|
xj |
d j |
d i |
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|||||
|
|
x dx |
dx |
dx x dx |
|
dx |
dx h2 |
x dx h ; |
|
|||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
xj |
W dx=W xj |
x |
j |
x dx Wh |
|
xjW |
dx=W xj |
x x |
dx Wh |
|||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
j |
|
|
h |
|
i |
|
. |
|
x |
|
|
h x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
||
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Подстановка полученных значений в формулы (3.5) и (3.6) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых
коэффициентов Ti и Tj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
i |
T |
|
T |
j |
|
+Wh =0, |
|
|||
|
|
i |
h |
|
h |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Wh |
|
|
|
q |
j |
+T |
|
T |
j |
=0. |
|
||||
|
|
|
i |
h |
|
h |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Удобно эту систему уравнений представить в матричной форме |
|
|||||||||||
h |
h Ti |
qi Wh 2 |
(3.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
. |
||
h |
h Tj |
qj |
2 |
|
52
Процедура ансамблирования конечных элементов
Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений (3.7):
Q0 q2
q2
q3
|
T |
T Wh Q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 h |
2 h |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T1 h T2 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
T2 |
|
T3 |
|
|
Wh |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
q3 |
|
|
h |
h |
|
2 |
q2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T3 h |
|
|
|
|
2 |
q3; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
T2 h |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
T4 |
|
|
Wh |
q3, |
|
|
||||||
q4 |
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 h |
|
2 |
q4; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
T3 h |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
T5 |
|
|
Wh |
|
, |
|||||
q4 |
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
h |
h |
2 |
q4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
Wh Q . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 h |
|
5 h |
|
2 |
1 |
|
Витоге получена система восьми алгебраических уравнений с
одиннадцатью неизвестными T1,T2,T3,T4,T5, q2, q2, q3, q3, q4, q4 . Для замыкания системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса
q2 |
|
0, |
|
q2 |
|
||
|
q3 0, |
(3.9) |
|
q3 |
|||
|
|
0. |
|
q4 |
q4 |
|
Отметим, что внутренние переменные q2, q2, q3, q3, q4, q4 можно исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства (3.9). Так, для двух первых систем уравнений получаем
T |
T |
|
|
Wh Q , |
|||||
|
1 h |
2 h |
|
|
2 |
0 |
|||
|
|
T |
|
|
Wh q |
, |
|||
T |
|
|
|||||||
|
1 |
h |
2 h |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T2 h |
T3 h |
2 |
q2, |
|||
|
|
|
T |
T |
Wh |
q . |
|||
|
|
|
2 |
h |
3 |
h |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Складывая второе и третье уравнения системы, с учетом (3.9) получаем
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh Q , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
h |
|
2 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T2 |
2 |
|
T3 |
|
Wh, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T1 |
|
h |
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
T3 |
|
|
|
|
q3. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выполняя аналогичные преобразования для всех уравнений системы, |
|||||||||||||||||||||||||
приходим к |
системе |
пяти |
уравнений |
|
|
|
относительно |
пяти |
неизвестных |
||||||||||||||||
T1,T2,T3,T4,T5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh Q , |
|
|
||||||
|
|
1 h |
2 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh, |
|
|
|
||||||
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 h |
2 |
h |
|
3 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
T |
|
|
T |
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
Wh, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
h |
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
T3 h |
|
T4 |
|
h T5 h |
Wh, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
T5 |
Wh Q1. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
2 |
|
|
|
||
В матричной форме эта система уравнений имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
h |
h |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 T1 |
Wh 2 Q0 |
|
|||||||||
|
|
2 h |
|
h |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Wh |
|
|
|||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
h |
|
2 h |
h |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Wh |
|
(3.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
T3 |
|
. |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
h |
2 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
h T4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h T5 |
|
Wh 2 Q1 |
|
|
|||||||||||||
Рассмотрим неоднородную систему алгебраических уравнений (3.7), |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
j |
|
= Wh q |
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T |
T |
j |
|
|
= Wh q |
j |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
h |
|
|
h |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко проверить, что ее определитель равен нулю. Точно так же равен нулю определитель системы алгебраических уравнений (3.10). Складывая
покомпонентно оба уравнения последней системы, получаем выражение |
|
qj qi Wh 0, |
(3.11) |
являющееся условием баланса тепла в отдельном конечном элементе: количество тепла, выделившееся за счет внутренних источников, должно быть
54
выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решение которого может рассматриваться как температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения (3.11) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при Wh qi qj ) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо к принудительному отводу тепла из стержня (при Wh qi qj ) и, соответственно, к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения (3.11) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений (3.0) – (3.1), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.
Вырожденность системы уравнений на элементарном уровне (3.7) приводит к вырожденности системы алгебраических уравнений (3.10) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы (3.10) приводит к балансовому соотношению Q0 Q1 WL. Несмотря на некорректность задачи (3.0) – (3.1) рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для нахождения численного решения. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце
~
стержня поддерживается постоянная температура T x 0 T . Для учета этого граничного условия к полученной системе (3.10) следует добавить уравнение
T1 T~
(искомый коэффициент T1, как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q0 на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными T1,T2,T3,T4,T5,Q0 , имеющая ненулевой определитель,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T, |
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q Wh, |
|||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 h |
2 h |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
||
T |
|
T |
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
Wh, |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
2 |
T |
|
|
|
Wh, |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
h |
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T |
|
T |
|
2 T |
|
Wh, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 h |
4 h |
5 h |
Wh |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
|
|
Q1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
T5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
55
На практике уравнение, содержащее неизвестный поток Q0, как правило, исключается из системы уравнений,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T T 2 T |
|
|
|
|
|
Wh, |
|
|
||||||
|
|
1 h |
2 h |
|
3 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T2 h |
T3 h |
T4 h |
|
|
Wh, |
|
|
||||||
|
|
|
|
T3 |
T4 |
2 T5 |
Wh, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
h |
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T4 |
T5 |
|
Q1. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
h |
h |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В дальнейшем, после определения всех узловых температур T1,T2,T3,T4,T5 , |
|||||||||||||||
исключенное из системы уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
T |
T Wh Q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 h |
2 |
h |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
может быть использовано для определения теплового потока |
|
||||||||||||||
|
|
|
Q0 Wh T1 |
T2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
В матричной форме преобразованная система уравнений имеет вид |
|||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 T1 |
|
|
T~ |
|
||||
|
|
2 h |
h |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
h |
|
|
T2 |
|
|
|
|
||||||||
0 |
h |
2 h |
h |
|
0 |
|
|
|
|
|
Wh |
|
|||
|
T3 |
|
. |
||||||||||||
|
0 |
0 |
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wh |
|
|
|
h h T4 |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
h |
|
h |
T |
|
|
Wh 2 Q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
При решении прикладных инженерных задач на границе рассматриваемой области могут быть заданы условия конвективного теплообмена, когда на правом конце стержня тепловой поток равен
Q1 Tx L T ,
где – коэффициент теплоотдачи с поверхности в окружающую среду с температурой T , то есть имеет место граничное условие третьего рода,
dT |
T x L T . |
dx |
x L |
Для включения этого граничного условия в полученную систему уравнений следует выполнить замену в последнем уравнении, учитывая, что
Tx L T5:
56
T |
T |
Wh T T |
, |
|||||
4 |
h |
5 |
h |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
T4 |
|
T5 |
|
|
|
|
Wh |
|
h |
|
|
T . |
|||||
|
|
h |
|
|
|
2 |
|
В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений преобразуется к виду
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
T1 |
|
T~ |
|
|
|
||
|
|
2 h |
h |
0 |
0 |
|
|
|
Wh |
|
|
|
h |
T2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
h |
2 h |
h |
0 |
|
|
|
Wh |
|
|
. (3.11) |
T3 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
0 |
h |
2 h |
h |
|
|
|
Wh |
|
|
|
|
T4 |
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
h h T |
|
Wh 2 T |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м; мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали = 70 Вт/м град, температура окружающей среды T 20o , T~ 100o , = 30 Вт/м2 град. Система уравнений принимает вид
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
T1 |
100 |
|
||
|
|
560 |
280 |
0 |
0 |
|
|
|
25 |
|
280 |
T2 |
|
|
|
||||||
|
0 |
280 |
560 |
280 |
0 |
|
|
|
25 |
|
T3 |
|
. |
||||||||
|
0 |
0 |
280 |
560 |
|
|
|
|
25 |
|
|
280 T4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
280 |
310 |
|
|
|||
T5 |
|
612,5 |
||||||||
Решение этой системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T1 = 100, |
T2 = 10557/112, T3 = 619/7, T4 = 9241/112, T5 = 153/2 |
в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи
|
T 5 x2 319 x 100.. |
||
|
7 |
14 |
|
Величина теплового потока на левом конце стержня |
|||
Q0 |
Wh T1 |
T2 |
1595 Вт/м2 . |
|
2 |
h |
h |
Используя точное решение задачи, определяем производную
dT 10 x 319, dx 7 14
и, подставляя x = 0, находим точное значение теплового потока
57
dT
Q x 0 dx x 0 1595 Вт/м2 .
Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
Для решения той же задачи (3.0) – (3.1) воспользуемся квадратичной аппроксимацией в пределах одного конечного элемента xi , xj с центральной
точкой xk. Как и в предыдущем случае, решение раскладывается по пробным функциям
|
|
|
|
|
|
|
|
Tm Ti i |
|
Tj j |
Tk k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.12) |
||||||||||||||||
имеющим вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x x |
j |
x x |
k |
, |
|
j |
2 x x x x |
k |
, |
|
4 x x x x |
j |
|
. |
||||||||||||||||||||||
i |
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
h2 |
i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Невязка уравнения (3.0), получаемая на решении (3.12), взвешивается с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
использованием тех же функций i, j и k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
d |
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m W |
dx 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
d |
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
jdx 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
d |
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m W |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем первое из этих уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
xj |
|
d |
|
dT |
i |
|
|
|
|
xj |
dT d |
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
dx |
|
|
|
m |
|
|
|
i dx W idx 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
dx dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
xj |
|
xj |
|
dT d |
i dx |
xj |
W idx 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m i |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
xi |
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
qj i xj |
qi i xi |
|
|
xj |
|
dT |
|
d |
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
i dx |
W idx 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что i |
x 1, |
i |
x |
0, и используя разложение (3.12), приходим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
d |
|
d |
|
|
|
|
xj |
|
d j |
|
d |
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
d |
|
d |
i dx |
xj |
|
|
|
||||||
qi Ti |
|
|
i |
|
i dx Tj |
dx |
|
|
i dx Tk |
|
k |
|
W idx 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
x |
dx dx |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
dx |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
58
Выполняя аналогичные преобразования с оставшимися выражениями в (3.13), приходим к системе уравнений
|
|
|
|
xj |
d |
|
|
d |
i dx Tj |
xj |
|
d j |
d |
|
|
|
|
xj |
|
d |
|
|
d |
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
qi Ti |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i dx Tk |
|
|
k |
|
|
|
i dx W idx 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
dx |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
d |
|
|
d j |
|
|
|
|
xj |
|
d j |
d j |
|
|
|
xj |
|
d |
|
|
d j |
|
xj |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx Tj |
|
|
dx |
Tk |
|
|
|
dx W jdx 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
qj Ti |
|
|
|
|
i |
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
k |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
dx |
|
|
|
|
xi |
|
dx |
|
|
xi |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xj |
|
d |
i |
|
d |
k |
|
|
|
|
xj |
|
d j |
d |
k |
|
|
|
|
xj |
|
d |
k |
d |
k |
|
xj |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx Tj |
|
dx |
|
|
dx |
Tk |
|
|
|
|
|
|
dx W kdx 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
dx |
dx |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
Подсчитаем значения интегралов в полученных выражениях. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
2 |
|
2x x |
|
x |
|
, |
d j |
|
|
2 |
2x x |
x |
|
, |
|
d |
k |
|
4 |
2x x x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
h2 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
h2 |
|
i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
d i d i |
|
|
|
|
4 xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx dx |
dx h4 |
x 2x xj xk dx |
|
|
3h , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
d j d j |
|
|
|
4 xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
dx |
|
dx h4 x |
2x xi xk dx |
|
3h , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
d k d k |
|
|
|
16 xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx dx |
dx |
|
|
h4 |
x |
2x xi xj dx |
|
|
|
3h , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
d i |
|
d j |
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
d j d i |
|
|
4 xj |
2x xj xk 2x |
xi xk dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
dx dx |
|
dx x dx dx |
|
dx h4 |
x |
3h , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
d i d k |
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
d k |
d i |
|
|
|
8 xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi xj dx |
|
8 |
|||||||||||||||
x |
dx dx |
dx x |
|
|
dx |
dx |
dx h4 |
x 2x xj xk 2x |
|
3h , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
d k |
d j |
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
d j |
d k |
|
|
|
8 xj |
2x xi xk 2x |
xi xj dx |
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||
x |
dx dx |
dx x |
dx dx |
dx h4 |
x |
|
3h , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W idx 2W2 |
x xj x xk dx Wh, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
h |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W jdx 2W2 |
x xi x xk dx Wh, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
h |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4W2 |
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W kdx |
x xi x xj dx 2Wh . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Подстановка найденных значений приводит к системе уравнений
q |
i |
T |
7 T |
j |
T |
8 Wh = 0, |
||||||||
|
i |
3h |
|
3h |
k |
3h |
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ti |
|
Tj |
7 |
Tk |
8 |
|
Wh |
= 0, |
||||
qj |
3h |
3h |
3h |
|
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ti |
8 |
Tj |
8 |
Tk |
16 |
|
2Wh |
= 0. |
||||
|
|
3h |
3h |
3h |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта же система в матричной форме принимает вид
7 3h |
3h |
||
|
3h |
7 3h |
|
|
|||
|
|
||
|
8 3h |
8 3h |
|
|
8 3h T |
|
|
q |
Wh 6 |
|
|
8 3h |
Ti |
|
|
qi |
Wh 6 |
(3.14) |
|
j |
|
j |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Wh 3 |
|
||
16 3h Tk |
|
|
Суммируя все уравнения этой системы получаем
0 qi qj Wh,
уже известное условие теплового баланса (3.11).
Пример 3.2. Рассмотрим задачу из примера 3.1 с теми же исходными данными. Пусть весь стержень аппроксимируется одним конечным элементом. Будем считать, как и в предыдущем случае, что на его левом конце задана
~
температура T x 0 T, а на правом – граничные условия третьего рода
dT |
T x L T . |
dx |
x L |
Для рассматриваемого случая система уравнений приводится к виду
|
1 |
0 |
|
|
7 3L |
3L |
||
|
8 3L |
8 3L |
|
0 |
T |
|
|
|
T~ |
|
|
|
8 3L |
|
Ti |
|
|
T WL 6 |
, |
||
|
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2WL 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16 3L Tk |
|
|
Для принятых L, W, , T ,T~ и эта система уравнений принимает вид
|
1 |
0 |
0 |
T |
|
|
|
100 |
|
|
70 3 |
30 490 3 |
560 3 |
Ti |
|
|
600 50 |
3 |
|||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
560 3 |
560 3 |
1120 |
3 T |
|
|
|
200 |
3 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
и имеет решение Ti=100 (левый конец стержня), Tj = 153/2 (правый конец), Tk = 619/7 (центр стержня). С учетом вида пробных функций (3.2) решение запишется в виде
Tm Ti i Tj j Tk k |
5 x2 |
319 x 100. |
|
7 |
14 |
Полученное выражение является точным решением этой задачи.
60