Boyarshinov_ChM_T3

k

xx

k xy

k

xz

d

Fx kd

Fx kd ,

x

m

y

m

z

m

F

yx

yy

yz

d

Fy kd

Fy kd ,

(4.11)

k

k

k

x

m

y

m

z

m

F

k

zx

k zy

k

zz

d

Fz kd

Fz kd ,

x

m

y

m

z

m

F

где k 1,m . Вводятся матричные обозначения

xx

xx

m

m

F1

F1

k

0

0

yy

m

yy

m

zz m

zz m

F

m

xy

,

m

xy

,

F F2 ,

F2 ,

k 0

k

0 ,

m

m

yz

yz

F3

F3

0 0 k

m

m

xz

xz

m

m

0

0

0

0

1 =

1

=

0

2

0

... ,

0

, 2

= 1 , 3

, 4 =

0

, 5

= 2 ,

6 =

,

0

0

0

0

2

1

k

x

0

0

k

y

0

k

z

Bk

0

k

y

0

k

x

k

z

0

,

(4.12)

0

0

k

z

0

k

y

k

x

с помощью которых систему уравнений (4.11) можно записать в матричной форме

Bk m d = k F d k F d ,

k 1,m.

(4.13)

F

Физические уравнения

Для упруго деформируемого тела связь между напряжениями и

деформациями имеет вид закона Гука1
ij ij 2G ij ,	(4.14)

где xx yy zz – объемная деформация; и G – коэффициенты Ляме,

которые могут быть определены с помощью коэффициента Пуассона и

1 Гук Роберт [18.7.1635 – 3.3.1703] – английский ученый, один из основателей Лондонского королевского общества. С 1665 преподавал в Лондонском университете в должности профессора. Основные труды выполнены в области физики и астрономии. Начал разработку основ математической теории упругости.

71

модуля Юнга1 E, E 1 1 2 ,							G E		2 1 .
Для рассматриваемого случая выражения (4.14) принимают вид
xx 2G xx yy zz								E		1 xx yy zz ,
							1 1 2
				E
	yy 1 1 2 xx 1 yy zz ,
	zz			E			xx yy 1 zz ,
			1 1 2
xy 2G xy G xy				E		xy ,	yz		E		yz ,	zx	E		zx.
			2 1					21				2 1
Полученные выражения могут быть записаны в матричной форме,
					m D m ,
где
		2 1				2		2			0	0			0
			2		2 1			2			0	0			0
	E		2			2	2 1				0	0			0
D
	2 1 1 2		0			0		0		1 2		0			0	.
		0				0		0			0	1 2			0
			0			0		0			0	0
														1 2

Для учета возможных температурных деформаций за счет теплового расширения следует иметь в виду, что полная деформация определяется суммой

ij

ije

ij T ,

T T ,

– коэффициент температурного расширения материала, T – температура, отсчитываемая от некоторого начального значения, объемная деформация определяется выражением

xx yy zz exx eyy ezz 3 T e 3 T .

В этом случае связь (4.14) между упругими напряжениями и деформациями представляется в виде:

1 Юнг Томас [1773 – 1829] – английский ученый, один из основоположников волновой теории света. Сформулировал принцип интерференции, высказал идею о поперечности световых волн. Объяснил аккомодацую глаза, разработал теорию цветового зрения. Ввел модуль упругости, названный его именем. Наибольший вклад внес в акустику, астрономию, расшифровку египетских иероглифов.

72

ij e ij 2G ije 3 T ij 2G ij ij T

ij 2G ij ij 3 2G T .

Вводя обозначение
		1
		1
R T	E	1
		T ,
	1 2	0
		0
		0
соотношения (4.1) можно записать в матричном виде,
m D m R T .			(4.15)

Геометрические уравнения

Вектор перемещений точек сплошной среды раскладывается по системе пробных функций,

						m
um						ui i
					i 1
		u1 1	v1 2	w1 3 u2		m		. (4.16)
um vm					4 v2 5 w2 5	vi i
w					m
	m					i 1
					wi		i
					i 1

Установим матричную форму связи (4.2) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений,

xx

u

m

yy

v

m

, zz

w

m

i ,

x

ui

i ,

y

vi

i

z

wi

z

i 1

x

i 1

y

i 1

u

v

m

u

i

m

v

m

xy

i

i

i

u

i

i v

i ,

y

x

y

x

y

i

i 1

i 1

i 1

x

w

v

m

v

,

u

w

m

i w

yz

w

i

i

zx

u

i

i .

y

z

i

y

i

z

z

x

z

i

x

i 1

i 1

Полученные выражения в матричной записи

73

	i		x		0		0
		0		i		y	0		u
					0		i
m	0							z	i
m y				x			0	vi
i 1		i			i			w
	0					z	y		i
			z		i		i
	i				0		i	x
с помощью обозначений (4.12) можно представить в форме
				m
		m Bi T u i .								(4.17)

i 1

Теперь, подставляя последовательно (4.15) и (4.17) в выражение (4.13), получаем систему линейных алгебраических уравнений,

m		Bk	D Bi T			k	F d k	F d Bk R Td ,	k 1,m, (4.18)
				d u i =
i 1					F

относительно коэффициентов ui, vi и wi разложения функции перемещения в ряд по пробным функциям (4.5). Решение этой системы уравнений позволяет находить поля перемещений (4.16), деформаций (4.17), определять напряженное состояние тела, используя выражение (4.15).

Ансамблирование конечных элементов

Пусть два конечных элемента имеют общую сторону (рис. 4.0, а).

wi	wi		wi
	vi	vi	vi
ui	Fz ui		ui
			Fx
	Fy	Fy
	Fx
			Fz
	а		б

Рис. 4.0. Конечные элементы, имеющие общую сторону (а); ансамблирование конечных элементов в единую композицию (б)

74

При объединении двух конечных элементов (рис. 4.0, б) в единую композицию учитывается условие их механического взаимодействия1. Это означает, что интегралы по поверхности ГF в уравнениях (4.18) для двух соседних элементов будут различаться лишь знаками. Поэтому при почленном сложении уравнений неизвестные усилия взаимодействия Fx, Fy , Fz и Fx, Fy , Fz (силы, являющиеся внутренними для системы этих элементов) будут исключены из уравнений. Коэффициенты, находящиеся при одинаковых узловых перемещениях (в рассматриваемом случае – ui, vi и wi), будут складываться.

Для всего ансамбля конечных элементов, покрывающего исследуемую область, в результате ансамблирования все внутренние усилия будут исключены из результирующей системы линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге в нее войдут лишь самые внешние поверхностные нагрузки, задаваемые граничными условиями вида (4.3).

Плоско-деформированное состояние

В плоско-деформированном состоянии находятся тела, форма и размеры поперечного сечения, условия нагружения которых не зависят от одного из направлений. Размер тела в этом направлении велик, и продольной деформацией можно пренебречь. В качестве примера рассматривается длинный брус (рис. 4.1, а), находящийся на твердой горизонтальной площадке под действием вертикальной нагрузки, не изменяющейся вдоль оси z. Форма и размеры его поперечного сечения вдоль этой же оси не изменяются.

y

	y
	x
Г	p	Гp
z	0	x
а	б

Рис. 4.1. Схема плоско-деформированного состояния (а) и форма поперечного сечения тела (б)

1Согласно аксиоме статики, два тела взаимодействуют с силами, равными по величине

инаправленными в противоположные стороны.

75

Для рассматриваемого случая, как показывают экспериментальные наблюдения, продольная деформация пренебрежимо мала, и можно считать,

что

zz

0.

Кроме

того,

из

анализа

геометрических

условий следует, что

xz

0, yz

0. С учетом этих допущений из соотношений закона Гука (4.14)

для упругого деформирования получаются выражения

E

1

E

1

,

xx

1 1 2

xx

yy ,

yy

1 1 2

xx

yy

E

yy ,

E

xy,

0,

0

.

zz

1 1 2

xx

xy

2 1

xz

yz

С другой стороны, из того же закона Гука следует

zz

zz xx yy .

E

E

И, в силу zz 0,

zz xx yy ,

то есть компонента zz тензора напряжений не является независимой величиной. В этом случае матричное соотношение (4.15) представляется в виде

			xx m					E	21
	m			yy						2
					m			21 1 2
				xy						0
					m

2

21

0

0		xx					1
			m			TE 1
0		yy						, (4.19)
			m			1 2
1 2		xy					0
			m

		2 1		2	0				1
D	E		2	2 1	0	,	R	E 1 .
	2 1 1 2							1 2
			0	0
					1 2				0

Учитывая, что xz 0, yz 0 и решение задачи не зависит от переменной z, в системе разрешающих соотношений (4.11) остаются лишь два уравнения

k

xx

k

d

F

k

d

F

x

d ,

x

m

y

xy m

x

k

k yx

k yy

d

F

Fy kd

Fy kd ,

k 1,m.

x

m

y

m

F

В матричной форме эти уравнения записываются в виде, аналогичном выражению (4.13). Вид матрицы { m} определен выражением (4.19), а также используются обозначения

76

B

x

0

y

,

0

,

F

F

k

k

k

k

k

x

,

0

k

y

k

x

0

k

Fy

Связь компонент тензора деформаций и вектора

определяется в виде, аналогичном выражению (4.17), где

B T

i

x

0

u

ui

.

0

i

y

,

i

i

vi

y

i

x

i

Fx
F	.

Fy

перемещений

С учетом введенных обозначений окончательно система алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения имеет вид, аналогичный выражению (4.18). Необходимо отметить, что при интегрировании по области и границе Г,

	f x, y d	f x, y dxdydz L	f x, y dxdy L f x, y d ,
		p	p
f x, y d f x, y dxdydz L			f x, y dxdy L f x, y d ,
		p	p

причем во всех слагаемых системы уравнений (4.18) появляется общий множитель L, равный размеру рассматриваемого тела в направлении оси z, который можно сократить. Иными словами, интегрирование в дальнейшем производится только по области p поперечного сечения и по контуру p

границы (рис. 4.1, б).

Пусть реализация разрешающих соотношений производится на треугольных конечных элементах с линейной интерполяцией решения внутри каждого из них,

um ui i uj j uk k ,

vm vi i vj j vk k.

где i, j, k – номера вершин произвольного конечного элемента, пробные функции i, j, k определены выражениями (2.5). В матричной форме эти выражения представим в виде

u

0 u

0 u

0 u

r ur .

i

i

j

j

k

k

v

0

i vi

0

j vj

0

k vk

r i,j,k

Соответственно, матрицы [Br], r = i, j, k имеют вид

B

i

0

i

, B

j

j

0

j

,

B

k

0

k

,

i

0

i

j

k

0

k

i

0

j

k

система уравнений (4.18) преобразуется к форме

77

	Bs D Br T		d ur s F d s F d Bs R d ,															s i, j,k.			(4.20)
r i,j,k		p		p						p				p
Вычисляются значения матриц, входящих в эту систему уравнений:
			E			i	0				2(1 )			2			0	i		0
		T								i		2	2(1 )				0				d
Bi D Bi d			2(1 )(1 2 )				i											0		i
p						0			i			0		0		1 2			i	p
																				i
			ESp	2	2	1 2 1 2
					i				i			2		i		i		,
		2(1 )(1 2 )							i				1 2 2 2				1
							i					i				i

Bi D Bj T d

ES

2

1

1 2

p

i

j

i

j

p

2(1 )(1 2 )

2 j i i j 1 2

Bi D Bk T d

ES

p

2

1

1 2

i

k

i

k

p

2(1 )(1 2 )

2 k i i k 1 2

Bj D Bi T d

ES

2

1

1 2

p

j

i

i

j

p

2(1 )(1 2 )

2 i j j i

1 2

Bj D Bj T d

ESp

2

2

1 2

2 j 1 j

p

2(1 )(1 2 )

j j

Bj D Bk T d

ES

2

1

1 2

p

k

i

k

j

p

2(1 )(1 2 )

2 k j k i 1 2

Bk D Bi T d

ES

p

2

1

1 2

k

i

i

k

p

2(1 )(1 2 )

2 i k k i 1 2

Bk D Bj T d

ES

2

1

1 2

p

k

j

j

k

p

2(1 )(1 2 )

2 j k k j 1 2

T

ESp

2 2 1 2 1 2

Bk D Bk d

2(1 )(1 2 )

k

k

p

k k

2 i j j i 1 2

1 2 2

,

j

i

j

1

i

2 i k k i 1 2

1 2 2

,

k

i

k

1

i

2 j i i j 1 2

1 2 2

,

j

1

j

i

i

j j

2

,

1 2 2 2 1

j

j

2 j k k j 1 2

1 2 2

,

k

j

k

1

j

2 k i i k 1 2

1 2 2

,

k

1

k

i

i

2 k j j k 1 2

1 2 2

,

j

k

j

1

k

k k

2

;

1 2 2 2 1

k

k

			F
i F d				x	i d ,
		Fy i
p			p
	i	F d		Fx i
						d ,
				Fy i
p			p

			F
k F d x				k	d ,
			Fy k
p		p
	j F d		Fx j
					d ,
			Fy j
p		p

			F
k F d				x		k	d ;
			Fy k
	p		p
	k F d		Fx j
				j	d ;
			Fy
p		p

78

ETS

ETS

Bi R d

Bj R d

j

p

i

,

p

,

p

1 2

i

p

1 2

j

Bk R d	ETS	p		k
					.
p	1 2		k

При выводе этих выражений принято, что в пределах конечного элемента модуль упругости Е, температура T, коэффициенты Пуассона и температурного расширения материала постоянны; Sp – площадь p-го треугольного конечного элемента. Вводятся матричные обозначения

uivi

ujup ,vj

ukvk

Fx i
Fy i
F
	x		j
Fp				d ,
p Fy j
F
	x		k
F	y
			k

Fx i E iT

Fy i E iT

F E T

F x j j

p p Fy j E jT

Fx k E kTFy k E kT

1 21 2

1 2

1 2 d ,

1 2

1 2

Bi D Bi T

Kp Bj D Bi T

p B D B T

k i

B D B	j	T	B D B T
i				i	k
Bj D Bj T			Bj D Bk T				d ,
B D B		T	B	k	D B	T
k	j				k

где {up} – вектор всех узловых перемещений p-го треугольного конечного элемента, [Kp] – матрица жесткости для этого же конечного элемента. Теперь система уравнений (4.20) для одного конечного элемента представляется в форме (суммирование по индексу p не производится)

Kp up Fp Fp .

Пример 4.1. Рассматривается осадка длинной стальной полосы с квадратным поперечным сечением размером 2 2 м2, зажатой между двумя гладкими горизонтальными плитами (рис. 4.2). Каждая из плит осаживается на величину . Требуется определить, на какую величину сместятся боковые стороны этой полосы в результате деформирования.

Так как форма поперечного сечения является симметричной, можно рассматривать лишь четверть исследуемой области (рис. 4.2, б). Кинематические граничные условия указаны на том же рисунке. Поскольку плиты, деформирующие полосу, абсолютно гладкие, трение между ними и стальной полосой отсутствует, касательные усилия на контактной поверхности равны нулю. На свободной боковой поверхности полосы отсутствуют как нормальные, так и касательные нагрузки.

Для упрощения анализа алгоритма определения напряженнодеформированного состояния объекта рассматриваемая часть поперечного сечения полосы аппроксимируется только двумя конечными элементами, как это показано на рис. 4.2, б.

79

y

y

x

0x

а

б

Рис. 4.2. Геометрическая схема осадки длинной полосы (а) и схема кинематических граничных условий (б)

Пробные функции для первого треугольного элемента, показанного на рис. 4.3, определены в виде

		1 1 y,		3 x,	4 y x.
y	Fy2
	4 узел	F2	3 узел				3 узел
	Г2	x
Fy1	1 элемент		Fy3	Fy3			Fy4
F1	Г1 Г3		F3		F3	Г3	F	4
x			x		x		x
							Г4
					2 элемент
	1 узел		1 узел			Г5	2 узел
						Fy5		x
							F5
							x

Рис. 4.3. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)

С помощью этих функций формируется матрица жесткости первого конечного элемента,

80