- •Н.И. Николаева функции нескольких переменных
- •Часть 3
- •Оглавление
- •Глава 6. Функции нескольких переменных
- •Частные производные
- •Полный дифференциал функции двух переменных. Условие дифференцируемости
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная по заданному направлению. Градиент
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей лагранжа
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
- •Библиографический список
- •Для заметок
Производная по заданному направлению. Градиент
Как известно, производная функции одной переменной характеризует скорость ее изменения при изменении. Поэтому, очевидно, частная производная функциипо переменнойхарактеризует скорость изменения этой функции в результате изменения, или, по-другому, в направлении оси, а частная производная по– скорость изменения функции в направлении оси. Однако, в каждой точке плоскости, кроме этих двух направлений, существует еще бесконечное множество других, и во многих случаях представляет интерес скорость изменения, или производная функции, по любому заданному направлению.
|
Рассмотрим функцию . На произвольно направленной осив плоскостиXOY выберем фиксированную точку и переменную точку(рис. 12).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точкепо направлению называется.
Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке в направлении.
Выведем формулу вычисления производной по направлению. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат зафиксирована точка – произвольная, а направлениеобразует с положительным направлениемугол(рис. 12). Обозначим. Тогда, поэтому функцияна выбранном направлении фактически зависит от одной переменной(рис.13). Поэтому в соответствии с определением
.
Пусть теперь
– функция трех переменных,– фиксированная,– произвольная точка и– направляющие косинусы заданного
направленияв пространстве. Тогда, очевидно,
|
и . (6.5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции в точкеназывается вектор.
Если обозначить – единичный вектор направления, то, очевидно, производная по направлению (6.5) – скалярное произведениеи:
.
Так как , то, поэтомудостигает максимума в том случае, когда. Это означает, что указывает на направление наискорейшего возрастания функции в точкеM. При этом скорость наибольшего возрастания в данной точке равна .
Итак, градиентом скалярной величины называется вектор, который по численному значению и направлению характеризует наибольшую скорость изменения величины.
З
z
|
Вектор указывает, в каком направлении надо двигаться, чтобы крутизна подъема из точкибыла наибольшей.
ПРИМЕР. Вычислить производную по направлению вектора функциив точке, если. Найти направление наискорейшего возрастания этой функции в точке.
Найдем частные производные первого порядка в точке :
.
Найдем вектор заданного направления и его направляющие косинусы:
.
Производная по направлению . Это означает, что движение в направлении вектораиз точки, лежащей на поверхности, будет подъемом (высота будет увеличиваться).
Направление наискорейшего возрастания функции в точке –.