romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

Омский институт Российского государственного торгово-экономического

университета

Омский государственный технический университет

Р.К.Романовский А.М.Романовская

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (теория и задачи)

Омск-2003

ББК 22.171 Р69

Романовский Р.К., Романовская А.М. Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи).– Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003.– 172 с.

Рецензент:

Директор Омского филиала Института математики СО РАН, д.ф.-м.н., профессор Топчий В.А.

Утверждено научно-методическим Советом от 25.09.2003 г. протокол №1

Редакционный совет:

Авдейчикова Е.В., к.т.н., доцент, заведующая кафедрой коммерции и

маркетинга. Власов Р.Г., к.ф.н., доцент, проректор по научной работе. Ковалев В.И., к.э.н., доцент, заведующий кафедрой финансов и кредита. Круковский Я.В., к.э.н., заведующий кафедрой информатики и математики. Кувалдина Т.Б., к.э.н., доцент, заведующая кафедрой бухгалтерского учета и аудита. Покровский Г.Е., к.э.н., доцент, заведующий кафедрой экономики. Тумашова З.И., к.э.н., доцент, проректор по учебной работе. Шелонцева Л.Н., к.филол.н., доцент,

заведующая кафедрой ин. Языков.

Учебное пособие содержит изложение основ теории вероятностей и математической статистики в рамках учебной программы по высшей математике для технических и экономических вузов. Теоретический материал иллюстрируется примерами. Найдена простая методика разъяснения ряда узловых понятий.

Пособие содержит большой набор задач для использования на практических занятиях, в том числе задачи экономического содержания, а также варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.

СРомановский Р.К.,

Романовская А.М., 2003 г.

СОмский институт РГТЭУ, 2003 г.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .........................................................................................................	5
§ 1. Предмет теории вероятностей.........................................................	5
§ 2. Краткий исторический очерк..........................................................	7
Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей............	13
§ 1. Классическое определение вероятности......................................	13
§ 2.Элементы комбинаторики..............................................................	15
§ 3. Действия над событиями................................................................	18
§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.........................	20
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса .......................	24
§ 6. Схема с повторением испытаний (схема Бернулли) .................	26
Глава 2. Случайные величины ................................................................	30
§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины..................	30
§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины..........	32
§3. Математическое ожидание дискретной случайной величины 33
§4. Дисперсия дискретной случайной величины..............................	36
§ 5. Закон распределения и числовые характеристики
непрерывной случайной величины ....................................................	38
Глава 3. Основные законы распределения........................................	45
§1. Биномиальный закон.......................................................................	45
§2. Равномерный закон..........................................................................	46
§3. Закон Пуассона..................................................................................	47
§4. Показательный закон ......................................................................	49
§5. Нормальный закон...........................................................................	53
Глава 4. Совместные распределения случайных величин .............	55
§1. Закон распределения случайной точки дискретного типа на
плоскости..................................................................................................	55
§2. Закон распределения случайной точки непрерывного типа на
плоскости..................................................................................................	57
§3. Ковариация двух случайных величин..........................................	60
Коэффициент корреляции ....................................................................	60
§4. Совместное распределение нескольких случайных величин.
Многомерный нормальный закон.......................................................	66
Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы.........................	68
§1. Закон больших чисел в форме Чебышева....................................	68

3

§ 2. Теорема Бернулли...........................................................................	72
§ 3. Центральная предельная теорема ...............................................	74
Глава 6. Элементы математической статистики.................................	77
§ 1. Предмет математической статистики.........................................	77
§ 2. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд.
Гистограмма относительных частот..................................................	78
§ 3. Выборочная функция распределения .........................................	80
§ 4. Выборочные оценки параметров случайной величины.
Основные требования к оценкам........................................................	81
§ 5. Состоятельные несмещенные оценки для математического
ожидания, дисперсии, ковариации .....................................................	82
§ 6. Два распределения, связанные с нормальным законом..........	84
§ 7. Квантиль распределения...............................................................	86
§8. Доверительные интервалы для математического ожидания и
дисперсии.................................................................................................	86
§ 9. Общая схема проверки гипотез по данным опыта...................	88
§ 10. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
величины по данным опыта................................................................	89
§ 11. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия ........	91
§ 12. Метод наименьших квадратов (МНК) ......................................	92
Дополнения .................................................................................................	94
I. Образцы решения типовых задач ...................................................	94
II. Задачи для самостоятельного решения ......................................	118
III. Задания для контрольной работы..............................................	148
Приложения ..................................................................................................	3
Библиографический список.......................................................................	5

4

Введение

§ 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности в массовых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах.

1.Проводится испытание – бросается монета. Если испытание проводится один раз, то предсказать его исход – выпадение герба или цифры – невозможно, здесь царит случай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс условий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых испытаний. Замечательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет примерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испытаний. Этот прогноз подтверждается многократными проверками, проводившимися в разное время учёными. Так, французский учёный Ж.Л.Л.Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; шведский учёный К.Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпадал в 12012 случаях; и так далее.

2.Пусть испытание состоит в бросании игральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумерованы цифрами 1–6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длинной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше бросаний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, состоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, представляет собой один из универсальных законов природы, получивший название закона больших чисел. Теория вероятностей

5

представляет собой математическую модель этого закона. Вводимое в самом начале этой теории понятие "вероятность случайного события" и связанные с ним правила позволяют дать строгую математическую формулировку закона больших чисел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случайного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым – подходы к прогнозированию результата этих испытаний. Методы прогнозирования по массовым случайным явлениям, развиваемые в теории вероятностей, широко применяются в настоящее время в различных областях науки и практической деятельности человека.

Данное учебное пособие написано на основе курсов лекций, прочитанных одним из авторов в Омском государственном техническом университете, другим автором в Омском филиале Московского государственного университета коммерции. Основная задача, которую ставили перед собой авторы, – не стремясь к максимальной строгости и охвату материала, предложить простую методику разъяснения ряда трудных для понимания узловых понятий и идей теории вероятностей. Надеемся, что эта задача отчасти выполнена.

В дополнениях I-III приведены образцы решения типовых задач, набор задач для использования на практических занятиях и варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей широкого профиля, может быть использовано в качестве элементарного руководства инженерами и экономистами, применяющими в своей деятельности методы теории вероятностей.

6

§ 2. Краткий исторический очерк

Истоки теории вероятностей теряются в глубине веков. Еще в древнем Египте собирались статические данные о народонаселении. Этот факт говорит о том, что уже тогда была замечена возможность практических выводов по результатам массовых случайных явлений. Однако многие столетия дальше сбора статистических данных дело не шло. В этот период никаких специальных методов не возникает, идет накопление материала.

В XVI веке появление работ Д. Кардано и Н. Тарталья1 знаменует собой первый шаг в развитии вероятностных представлений. В работах этих ученых впервые формулируются простейшие задачи из области азартных игр.

На роль случайностей в измерениях впервые обратил внимание великий Галилей2. И хотя он не дал аналитического анализа оценки ошибок наблюдений, многие высказанные им положения оказали большое влияние на выработку основных понятий теории ошибок и теории вероятностей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей можно условно разбить на 4 периода3.

Первый период начинается с середины XVII века и продолжается до начала XVIII в. Он характеризуется возникновением теории вероятностей как науки.

1Д. Кардано (1501–1576) и Н. Тарталья (1499 – 1557) – известные итальянские математики эпохи Возрождения.

2Галилей (1564 – 1642) – великий итальянский физик и астроном. Открыл законы колебания маятника и падения тел, изобрел телескоп, при помощи которого сделал ряд выдающихся открытий в астрономии.

В1633 г. в Риме был подвергнут суду инквизиции, вынудившему его отречься от учения о вращении Земли вокруг Солнца.

3Периодизация истории теории вероятностей проводится в соответствии с работой Д. Е. Майстрова "Теория вероятностей (исторический очерк)", М. 1967

7

До середины XVII в. не было никакого общего метода решения вероятностных задач. Однако следующие 50 лет ознаменовались выдающимися достижениями в этой области. В разработку вопросов теории вероятностей были вовлечены крупнейшие ученые того времени. В первую очередь здесь следует назвать Паскаля4, Ферма5 и Гюйгенса6. В своих трудах они уже широко использовали теоремы сложения и умножения, ввели понятие математического ожидания, а также выяснили фундаментальное значение для теории вероятностей понятий зависимости и независимости случайных событий.

В 1657г. Гюйгенс пишет первую книгу по теории вероятностей "О расчете в азартных играх". Примечательно его высказывание: "… при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Итак, в рассматриваемый период теория вероятностей превращается в науку. Она начинает использоваться для решения важных практических задач, находит свои первые применения в демографии (наука о народонаселении),

страховом деле и теории ошибок.

Начало второго периода связано с появлением в

4Б. Паскаль (1623–1662) – французский ученый, оставивший значительный след в математике, физике и философии. Свои исключительные способности проявил в раннем возрасте, к 18 годам был уже автором ряда трудов и изобретений.

5П. Ферма (1601–1665) – французский математик, один из замечательнейших ученых своего времени. Вместе с Ньютоном и Лейбницем его можно считать одним из изобретателей дифференциального исчисления, а вместе с Декартом он по праву делит славу одного из основателей аналитической геометрии.

6Гюйгенс (1629–1695) – голландский математик, физик и астроном. Является одним из основателей волновой теории света.

8

1713г. книги Я.Бернулли7 "Искусство предположений". В этой работе была строго доказана одна из важнейших теорем теории вероятностей, которая является простейшей формой закона больших чисел. Эта теорема утверждает, что относительная частота события при достаточно большом числе испытаний сходится в определенном смысле к вероятности этого события. Теорема Бернулли позволила придать определенный смысл понятию вероятности и применить теорию вероятностей к самым разнообразным задачам статистики.

Выдающимся ученым Муавру8 и Лапласу9 принадлежит заслуга доказательства одной из простейших форм центральной предельной теоремы. Они впервые ввели в рассмотрение нормальный закон, который играет исключительную роль в самых разнообразных задачах теории вероятностей.

7Яков Бернулли (1654–1705) – швейцарский ученый, принадлежащий к семье, из которой вышло 11 выдающихся математиков. Его знаменитая работа "Искусство предположений" была издана через 8 лет после смерти автора.

8А. Муавр (1667–1754) – английский математик. Кроме работ в области теории вероятностей известен своими трудами по теории рядов

итеории комплексных чисел. Был членом Королевского общества, а также членом Парижской и Берлинской Академий наук.

9П. Лаплас (1749–1827) – выдающийся французский ученый, член Парижской Академии наук, оставил значительный след в различных областях математики и механики. Ему принадлежит фундаментальный труд "Аналитическая теория вероятностей", который сыграл значительную роль в распространении вероятностных идей.

9

Великий немецкий математик К.Ф. Гаусс10 доказал, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону, и тем самым внес неоценимый вклад в теорию ошибок. Он также разработал метод обработки экспериментальных данных, который носит название "Метода наименьших квадратов". Здесь следует также отметить, что вывод нормального закона для случайных ошибок независимо от Гаусса и практически одновременно с ним получил малоизвестный американский математик Р. Эдрейн (1775–1843).

Второй период в развитии теории вероятностей завершается работами Пуассона11, который доказал более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел. Ему также принадлежит заслуга применения методов теории вероятностей к задачам стрельбы. Имя Пуассона носит название один из важнейших законов распределения, который играет большую роль во многих задачах практики.

Следует отметить, что попытка Пуассона и некоторых других ученых применять теорию вероятностей к социальным явлениям вызвала оживленные споры и серьезные возражения в среде математиков и социологов. Появилось большое количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества. Это привело к тому, что к теории вероятностей стали относиться скептически. А если еще учесть, что в это

10К.Ф. Гаусс (1777–1855) – крупнейший немецкий математик, родился в семье бедного водопроводчика. Отличительная черта его творчества – глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой. Работы Гаусса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.

11Пуассон (1771–1840) – знаменитый французский математик. Его перу принадлежит работа "Исследования о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам".

В этой работе содержится доказательство его знаменитой теоремы, которой он дал название "Закона больших чисел".

10