Методы и средства передачи информации (Лекция №12)

расстоянии 0,1 мм от неё и найти мощность, поглощаемую 1 м² поверхности пластины.

	Решение.	При решении задачи учитываем, что проводящая среда безгра-
ничное полупространство, т.е. отраженная волна			отсутствует. Это необходимо
учесть при расчете поля.
	Независимо от размера среды постоянная		распространения электромаг-
нитной волны в металле p = jωµ 0 µ r σ. Подставляем в эту формулу числовые

данные, в том числе и относительную магнитную проницаемость меди µ r =1.

Получаем

p =	j 2 π 10 6 4 π 10 7 1 5 , 6 10 7 = 21030e j 45 0 =14900 + j 149001/м.
Итак,		p =β+ jβ, где действительную часть называют постоянной затуха-

ния и обозначают символом α, а значение мнимой части – постоянной распространения обозначают β. В любой проводящей среде они численно равны друг другу. В нашей задаче α = 14900 1/м = 14,9 1/мм; β = 14900 рад/м = 14,9 рад/мм.

Условная глубина проникновения (её чаще называют просто глубиной проникновения) z 0 =1/ α =1/14900 = 0 , 67 мм.На этом расстоянии амплитуда бе-

гущей волны убывает в e раз. Волновое сопротивление

Z в = ( jωµ 0 µ r

21030e

j 45

0

/ (5 , 6

10

7

)=3 , 76

10

−4

e

j 45

0

)/ σ = p / σ =

Ом.

Оно имеет индуктивных характер.

Фазовая скорость с = ω/β = 2π ·10 /14900 = 422 м/с. Длина волны λ = 2π/β = 2π /14900 = 4,22 ·10 м = 0,42 мм.

На расстоянии z от поверхности

E = E 0 e − pz = E 0 e − αz e − jβz ,

H = H 0 e − pz = H 0 e − αz e − jβz

при связи между E 0 и H 0 : H 0 = E 0 / Z в такой же как и H = E / Z в для волны. В данном случае

11

	E 0 = E 0 m /			2 = 2/	2 =1 мВ/м
и	H 0 =10	−3		3 , 76 10	−4	e	j 45	0	= 2 , 66e	− j 45	0
			/								А/м.

Соответствующие выражения мгновенных значений имеют вид
E ( z ,t ) = E 0 m	e − αt	sin( ωt −βz ),	H ( z ,t ) = H 0 m e − αt sin( ωt −βz − 45 0 ).
На поверхности полупространства
H 0 m = 2 , 66	2 =3 , 76 А/м и H ( z ,t ) =3 , 76e − αt sin( ωt − 45 0					).
При z = 0,1 мм α z = 14,9·0,1=1,49. β z =1,49 рад = 85,4 º.
Соответственно
E ( 0 ,1; t ) = 2 e −1 , 49 sin( ωt −85 , 4 0 ) = 0 , 32sin( ωt −85 , 4 0				) мВ/м,
H ( 0 ,1;t ) =3 , 76 e −1 , 49 sin( ωt −85 , 4 0 − 45 0 ) = 0 , 84sin( ωt −130 , 4 0						) A/м.
Объемная плотность тока J = σE. Поэтому у поверхности (при z = 0)
J ( 0 ,t ) =5 , 6 10 7		2 10 −3 sin ωt = 7 , 92 10 4 sin ωt A/м 2 ,
a при z = 0 ,1 мм
J ( 0 ,1;t ) =1, 78 10 4 sin( ωt −85 , 4 ) A/м 2 .
Мощность p 0 , поглощаемая 1м²			полупространства,	равна вещественной
части комплексного вектора Пойнтинга
			p 0 = Re П = Re E 0	, H 0	на поверхно-

сти. В бегущей волне векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и их векторное произведение равно по величине произведению Е и Н. В данном случае на

поверхности полупространства E =1 10 −3

В/м; H = 2 , 66 e − j 45 0

A/м. Поэтому

p 0

10

−3

2 , 66e

− j 45

0

=

2 , 66 10

−3

cos( −45

0

) =1, 88 10

−3

Вт/м.

= Re

Перейдем к оценке первичных и вторичных параметров линий передачи с учетом поверхностного эффекта.

12

2.Первичные и вторичные параметры линий передачи с учетом поверхностного эффекта

Рассмотрим, как влияет поверхностный эффект на погонные параметры двусвязных линий передачи. Рассмотрение проведем на примере оценки параметров коаксиальной линии передачи, так как, ориентируясь на результаты этого анализа, можно будет оценить влияние поверхностного эффекта и в случае двухпроводной линии. Сразу заметим, что свойства односвязных линий передачи (а,

L 0

именно, волноводов) будут рассмотрены отдельно, учитывая специфику этих линий.

	Решим следующую задачу.
		Пусть коаксиальная линия имеет	медную жилу диамет-
	Задача 12.2.
ром
2r1 =5 мм. Внутренний диаметр медной оболочки 2r2			=10 мм , а внешний её

диаметр2r3 =12 мм.Определить сопротивление токопровода на одном метре его длины при частоте 1 МГц.

Решение. Сопротивление коаксиального кабеля на единицу длины опреде-

ляется выражением

	Z пог = Z ж + Z об + jωL 0 ,
где Z ж	иZ об – погонные комплексные сопротивления соответственно жилы и
	оболочки;
L 0	– погонная воздушная (внешняя) индуктивность, обусловленная магнит-
ным потоком, замыкающимся между жилой и оболочкой.
Частоте 1 МГц соответствует условная глубина проникновения электро-

магнитной волны в медь z 0 =1/ b = 0 , 067 ммсм. задачу 12.1). Это во много раз

меньше,	чем	радиус жилы ( r1 / z 0 =5/ 0 , 067 = 75 ) и толщина оболочки
( r3 −r2	) / z 0	= ( 6 −5 ) / 0 , 067 =15. Поэтому при расчете сопротивления в этих

проводящих средах можно считать поверхностный эффект сильно выраженным,

13

а волну – плоской, подобной плоской волне в пластине. При этом сопротивление цилиндрического проводника, приближенно описывается соотношением

Z =	1+ j	ωµ a	=	1+ j	,	(12.16)
	u	2 σ		u z 0 σ

где u – периметр поперечного сечения проводника.

Выражение (12.16) получается в результате расчета мощности, поступающей через поверхность проводника единичной длины (поток вектора Пойнтинга через площадь поверхности проводника, равную площади его цилиндрической поверхности на единице длины). При выводе выражения учитываем:

П r

= Z в H

2

2

jωµ a

2

jωµ 0

1

;

П = E ,H

= E z H α

α

= H α

σ

= H α

σ

H α =

I

;

πr

2

P = S Пr = 2 πr 1 Пr = 2 πr

I 2

jωµ 0

=

I 2 (1+ j ) ωµ 0

= ZI 2 .

(2 πr ) 2

σ

2 πr

σ

В нашем случае периметр жилы равен 2 πr1

внутренний периметр оболоч-

ки (так как именно через него в оболочку проникает волна) равен 2 πr2 . Таким образом, выражения для Z ж иZ об найдены.

Для расчета L 0 полагаем, что по жиле идет ток I. Индукция созданного им магнитного поля направлена (в каждой точке пространства между жилой и оболочкой) перпендикулярно радиусу, а поток индукции, связанный с током I определяется выражением

r2

r2

I

I

r2

Ф = ∫µ 0 H α dr = ∫µ

dr =µ 0

0

ln

,

2 πr

2 π

r1

r1

r1

откудаполучим

L 0

=

Ф

=

µ

0

ln

r2

.

I

2

π

r1

С учетом полученных результатов

Z пог

=

(1 + j )

+

(1+ j )

+ jωµ 0

ln

r2

.

2 πr1 z 0

2 πr2 z 0

r1

14

Численный результат для данной задачи

Z пог = 0 , 017 (1+ j ) +0 , 0085 (1+ j ) + j 1, 61 Ом/м = 0 , 0255 + j 1, 64 Ом/м.

Из полученных данных видно, что при высокой частоте внутренняя индуктивность проводников незначительна по сравнению с их внешней («воздушной») индуктивностью. Физическое объяснение этого факта можно связать с эффектом вытеснения тока к поверхности и, соответственно, уменьшением напряженности магнитного поля внутри сечения проводника.

	Теперь сравним активное и реактивное сопротивления токопровода на час-
тоте	1 МГц	с его сопротивлением постоянному току. Сопротивление постоян-
ному	току	на	одном метре		длины токопровода R0 =1/ (Sж σ)+1/ (Sоб σ),
где S ж = πr1		2 и S об = π(r3		− r2	)2 − поперечные сечения жилы и оболочки .
	При σ =5 , 6 10 7 См/м,			r1	= 0 , 0025 м, r2 = 0 , 005 м, r3 = 0 , 006 м
величина R 0		= 0 , 00143 Ом.
	Активное сопротивление при 1 МГц больше этой величины в 0,0255 /
0,00143 = 18 раз,			а полное сопротивление (т.е. модуль комплексного сопротив-
ления) примерно равное ωL больше этой величины в 1,64/0,00143 = 1147 раз.
	Заметим, что аналогичное действие поверхностный эффект оказывает на
погонные первичные параметры и двухпроводной линии.
	Полученные результаты позволяют сделать выводы, справедливые для
двусвязных (и многосвязных)				линий передачи:

1)вследствие поверхностного эффекта с ростом частоты, растет погонное омическое сопротивление линий, пропорционально корню от частоты;

2)погонная индуктивность линии практически не меняется и определяется внешней индуктивностью;

3)отношение погонных индуктивного сопротивления к омическому растет

сростом частоты пропорционально корню от частоты.

Эти свойства двусвязных линий, наряду с отмеченной в предыдущей лекции границе применения коаксиальных линий на высоких частотах, указывают на необходимость применения на высоких частотах односвязных линий переда-

15

чи. Учитывая принципиальную невозможность применения к этим структурам интегральных понятий ток и напряжение, необходимо рассмотреть алгоритмы описания процессов передачи сигналов по таким линиям.

3.Особенности моделей длинных линий односвязных структур линий передачи

В отличие от двусвязных линий, в односвязных структурах нет видимых позиций для введения интегральных характеристик напряжения (поперечного) и тока (продольного), как, например, это сделано в двухпроводной линии или коаксиальной линии. Это препятствует возможности введения первичных параметров таких структур. Кроме того, введение вторичных параметров односвязных структур с применением традиционных для двусвязных линий соотношений между током и напряжением также невозможно ввиду отсутствия последних. Тем не менее, в ряде справочной литература, особенно старых изданий (например, А.Л. Фельдштейн, Л.Р.Явич, В.П.Смирнов Справочник по элементам волноводной техники. М.: Советское Радио, 1967, 652 с., с. 92), применяются частные определения волновых сопротивлений, предназначенные для ограниченных областей применения, как например, волновое сопротивление по напряжению и току ρUI , введенное как отношение максимальной амплитуды напряжения Um к ам-

плитуде суммарного продольного тока в широкой стенке, и т.п. Эти изыски в настоящее время не имеют практического значения, так как на практике при расчете процессов передачи сигнала по волноводной линии достаточно ориентироваться на известные структуры полей и их взаимосвязь, а также связь их амплитуд с источниками сигнала. При этом можно, при необходимости, ввести понятие волнового сопротивления как отношения поперечной составляющей напряженности электрического поля к поперечной составляющей напряженности магнитного поля в договорной точке поперечного сечения волноводной структуры.

Так, в волноводе прямоугольного поперечного сечения с низшей ТЕволной, т.е. это волной Н10, у которой отсутствует вариация составляющей поля

16

вдоль оси у, а структура полей соответствует системе формул (10.58) в лекции №10:

E ym

=

π

π

− jαz

;

a

Dsin

x e

a

α

πα

π

− jαz

H xm

=

E ym

=

Dsin

x e

;

ωµ

aωµ 0

a

0

H zm

==

k 2 − α 2

F zm =

k 2 − α 2

π

− jαz

(10.58)

− jωµ 0

− jωµ 0

D cos

a

x e

E xm

= 0 ;

H ym = 0 ,

где постоянная распространения α

2

=k

2

π

2

и λкр 10

=2 a,

−

a

волновое сопротивление можно ввести (по некоторой

аналогии с волной в сво-

бодном пространстве, см. предыдущую лекцию) как отношение

π

π

x

− jαz

E ym

D sin

e

ωµ

=

a

a

=

0

.

(12.17)

H xm

πα

π

− jαz

α

aωµ 0

D sin

a

x

e

Полученное соотношение имеет размерность Ом и

справедливо и для от-

ношение амплитуд составляющих поля и

для их значений в любой точке попе-

речного сечения. Тем не менее, само это понятие в этом, или ином варианте не имеет практического применения при расчете волноводных структур.

Иное дело − определение постоянной затухания электромагнитной волны, распространяющейся вдоль волновода. Она определяет потери мощности полезного сигнала. Для определения этого затухания нет необходимости вводить погонные первичные параметры, аналогичные двусвязным линиям. Достаточно следовать аналогии рассмотрения волн в проводящих средах. Погонные потери энергии в волноводах определяются тепловыми потерями за счет потока мощности, направленного внутрь стенок, т.е. определяемого как поток вектора Пойнтинга в направлении перпендикулярном направлению распространения волны в линии.

17

Потери энергии обычно малы и можно (в первом приближении) считать, что они не вызывают изменения поперечной структуры поля. Но постоянная распространение становится комплексной величиной. Тогда, переобозначив введенную в лекции №10 постоянную распространения α продольной зависимости поля наγ (при этом прежняя α станет называться β), запишем:

γ = α + jβ.

(12.18)

При этом продольная зависимость поля аналогично волне в проводящей среде описывается множителем:

e − γz = e − αz e − jβz ,

где подобно тому, как это принято для волн в безграничной среде, α называется коэффициентом затухания, а β− коэффициентом фазы. Общий вид коэффициен-

та затухания может быть найден из энергетических соображений.

Исходим из того, что средняя мощность волны пропорциональна вещественной части комплексного вектора Пойнтинга и, следовательно, изменяется по

закону e −γz (e −γz )
	= e −γz e −γ z = e −2 αz , т.е. P = P0 e −2 αz ,	(12.19)

где Р0 − мощность в сечении z = 0.

В силу закона сохранения энергии для любого участка направляющей сис-

темы ∆z справедливо равенство: ∆P + ∆Pп = 0 ,

(12.20)

где ∆P − изменение мощности волны; ∆Pп− теряемая мощность.

Рассматривая бесконечно малый участок линии ( ∆z →0 ), запишем:

∆P = dP ∆z .

dz

Отсюда с учетом (12.19):

d (P0

e −2 αz )

∆P =

∆z = −2

αP∆z .

(12.21)

dz

Точно так же:

∆Pп

=

dPп

∆z = p п ∆z ,

(12.22)

dz

где p п = lim

∆Pп

− мощность потерь, отнесенная к единице длины системы.

∆z→0

∆z

18

Внося формулы (12.21) и (12.22) в уравнение баланса энергии на участке (12.20), получаем следующее выражение коэффициента затухания:

α =	p п	.	(12.23)
	2 P

Как уже говорилось, практически наблюдаемые потери обычно ещё не приводят к заметному изменению поперечной структуры поля, поэтому величина Р вычисляется по формуле для линии без потерь:

P = 12	∫E τm H τm ds ,	(12.24)
	S

где E τ и H τ − поперечные составляющие электромагнитного поля, которые для низшего типа волны в прямоугольном волноводе (для волны Н10) есть E ym и

H xm .

Поэтому для волны Н10 формула (12.24) запишем в виде
P = Z2B ∫(Hτm )2ds = Z2B ∫(H xm )2ds =				1	∫(Eym )2ds ,	(12.24а)
				2ZB
	S		S		S
где фигурируют амплитуды, определенные без учета потерь, S – поперечное се-
чение, а Z B =	ωµ	0	согласно формуле (12.17).
	α
Мощность потерь p п складывается из двух частей:
			p п = p пд + p ппр ,			(12.25)

одна из которых связана с процессами в диэлектрике ( p пд ), а другая в проводни-

ке ( p ппр).

Соответственно этому на две части распадается и коэффициент затухания

(12.23):		α = α д			+ α пр ,			(12.26)
			p пд			p ппр
где	α д =			и	α пр =		.	(12.27)
			2 P			2 P

До тех пор пока справедливы предпосылки, приводящие к формуле (12.24),

19

частичные коэффициенты затухания p пд и p ппр выступают как независимые ве-

личины и вычисляются раздельно.

Затухание, обусловленное потерями в диэлектрической среде − потери в

диэлектрике, отнесенные к единице длины системы, определяются выражением

д

1

ε

0

ε

′′ω

∫

2

1

ε

0

ε′′ω

∫

2

r

r

p п = lim

E m dV

=

∆z

E m dS

,

∆z

2

∆z

2

∆z→0

∆V

S n

где S n − поперечное сечение линии;

ε′r′

− мнимая часть комплексной относи-

тельной диэлектрической проницаемости

ε r

= ε′r

− jε′r′ = ε′r

− j

σ

материа-

ε 0 ω

ла, которая включает проводимость материала диэлектрика (заметим, что и потери на поляризацию диэлектрика, растущую с ростом частоты) и которая определяет мощность «электрических потерь» в среде выражением

Pпд

= 12

∫

j m2

dV = 12

∫σE m2 dV =

ωε

0 ε′′r

∫E m2 dV .

(12.28)

σ

2

∆V

∆V

∆V

Далее, α д

=

Z B

ε′′r ω

∫E m2 dS =

ωε

0 ε′′r

∫( E m2 n

+ E mz2 ) dS ,

2

2

S n

S n

где E m2 n и E mz2 − поперечная и продольная компоненты электрического поля.

Объединяя этот результат с формулами (12.23) и (12.24), получаем:

			ωε 0 ε′′r				∫E mz2 dS
							S n
	α д	=			1	+		.	(12.29)
			2				2
							∫E m n dS
							S n

Если направляемая волна не имеет продольной компоненты электрическо-

го поля ( E mz = 0 ), то α д =	Z B ε 0 ε′r′ω				.
		2
Конкретизируя эту формулу для волны Н10, получим:
	α д	=	ωε 0 ε′r′µ 0			.
					2 β

(12.30)

(12.31)

20