Методы и средства передачи информации (Лекция №3)

рисунке изображены три кривые, соответствующие трем последовательным моментам времени t1 < t2 < t3 стационарного процесса (установившегося режима в линии) в отсутствии обратной волны. Значения напряжений волны вписываются в область, ограниченную огибающими ± 2A 2 e α x . На рис. 3.4 показаны три кривые соответствующие временным зависимостям в трех сечениях х1 < х2 < х3 линии..

u

+2A1 e −α x 1

+2A1 e −α x 2

+2A1 e −α x 3

−2A1 e −α x 3

−2A1 e −α x 2

−2A1 e −α x 1

x1< x2< x3

x1

x2

x3

2π/ω

π/ω	t

Рис. 3.4 − Временные зависимости волны напряжения в сечениях линии

Приведенные кривые соответствуют стационарному режиму в длинной линии, т.е. момент времени t = 0 соответствует моменту начала наблюдения процесса, процесса который начался сколь угодно давно, прошел стадию переходного процесса и находится в стадии установившееся режима.

Представленные кривые мгновенных значений напряжения в линии относятся к прямой волне. Кривые мгновенных значений токов прямой волны имеют аналогичный вид. Вид кривых напряжений и токов в обратной волне аналогичен представленным кривым, однако отсчет расстояния для неё производится от кон-

11

ца линии вдоль своей оси x ′(против оси х), т.е. затухание обратной волны возрастает с уменьшением координаты х ( ростом координаты x ′).

Рассмотрим вопрос выбора положительного направления напряжений и токов прямой и обратной волн.

Так как оба слагаемых в правых частях равенства (3.7), определяющие напряжение U , входят в формулу с положительными знаками, то вполне естественно, что положительные направления напряжений прямой и обратной волн в «теории длинной линии» (установленных правилах записи уравнений) выбраны совпадающими с положительным направлением напряжения U от прямого провода линии к обратному проводу (рис. 3.2).

Для тока существуют две возможности. Можно оставить оба слагаемых в правой части равенства (3.12) с различными знаками, или же поставить между слагаемыми знак плюс, а минус включить в состав второго слагаемого. В установленных правилах записи уравнений ток I определяют как разность токов прямой и обратной волн, т.е. положительное направление тока прямой волны выбрано совпадающим с положительным направлением тока I на рис. 3.2, а положительное направление тока обратной волны − противоположным положительному направлению тока I .

В соответствии с этим можно записать:

U =U пр +

U

об ;

I = I пр − I об ,

(3.18)

где U пр

= A 1 e

− γx

;

I пр

=

A 1

e

−γ x

;

Z B

U об

= A 2 e

γx

;

I об

=

A 2

e

γ x

.

(3.19)

Z B

Из формул (3.19) следует, что токи и напряжения в волне (и в прямой и в

обратной) связаны между собой законом Ома на волновом сопротивлении:

I пр =

U пр

;

I об =

U

об

.

(3.20)

Z B

Z B

Необходимо заметить, что для напряжения и тока в любом сечении линии

12

U

Z Вх = I ≠ Z B .

где Z Вх− входное сопротивление длинной линии относительно плоскости попе-

речного сечения, в которой определены U и I.

3. Уравнения длинной линии с гиперболическими функциями

Выражения (3.7) для напряжения и (3.12) тока в длинной линии содержат неизвестные комплексные коэффициенты − постоянные интегрирования A 1и A 2 ,

которые можно определить из граничных условий для искомых функций U и I. Для определения двух неизвестных необходимо составить два уравнения, которые можно записать для двух известных напряжений, или токов, или напряжения и тока в каких-то сечениях линии. На практике, известными можно принять значения напряжений или токов на концах линии. Причем, ориентируясь на анализ линии как частный случай четырехполюсника, который в математическом описании представлен в виде матрицы передачи (матрицы [А] для схемы рис. 3.5), известными (т.е. граничными условиями) рационально принять напряжение и ток на конце линии, т.е. на нагрузке линии с комплексным сопротивлением ZН. При

1 I1	2	I 2
U1	[А]	U 2 ZН
1	2

Рис. 3.5 − Эквивалентная схема четырехполюсника с условленными положительными направлениями токов и напряжений

этом система уравнений для схемы рис. 3.5 имеет вид:

U1 = А11 U 2 + А12 I 2 ;

(3.21)

I1 = А 21 U 2 + А22 I 2 ,

где коэффициенты А11, А12 , А 21, А 22 − элементы матрицы передачи [А], а U 2 и I 2 связаны сопротивлением ZН = U 2/ I 2 .

13

Для длинной линии в представлении матрицы передачи при известной нагрузке, формула вида (3.21) оказывается справедливой для любого сечения и связывает напряжение и ток в сечении х с напряжением и током в нагрузке, т.е. с U 2

и I 2, где U 2/

I

2 = ZН .

Получим постоянные интегрирования A 1и A 2 при известных

U 2 и I 2, где

U 2/

I

2 = ZН . В этом случае целесообразно отсчитывать расстояние текущей точки

х от конца линии. Обозначая его через

х , получаем

х = l − х , где l −длина всей

длинной линии.

Тогда из (3.7) и (3.12) найдём:

U = A 1 e − γx + A 2 e γx = A 1 e − γl e γ x ′ + A 2 e γl e − γ x ′ = A 3 e γ x ′ + A 4 e −γ x ′

I =

1

(A 1 e −γx − A 2 e γx )=

A 1

e −γl e

γ x ′ +

A 2

e γl e

−γ x ′ =

A 3

e γ x ′ +

A 4

e −γ x ′ .

Z B

Z B

Z B

Z B

Z B

В полученных уравнениях вместо постоянных интегрирования A 1и A 2 появились

связанные с ними постоянным коэффициентом e γl

новые неизвестные − посто-

янные интегрирования A 3 и A 4 .

Принято, отсчитывая расстояния от конца линии, обозначать их не через х ,

а снова через х. При этом никакой путаницы не внесется, так как в каждом конкретном случае по заданным на концах линии напряжениям и токам U и I видно откуда отсчитывается расстояние. Например, если заданы граничные условия в виде U 2 и I 2, то отсчет осуществляется от конца линии, хотя переменная расстояния обозначается х. С учетом сказанного запишем:

U = A 3 e

γ x

+ A 4 e

−γ x

; I

=

A 3

e

γx

−

A 4

e

−γx

,

(3.22)

Z B

Z B

где A 3 e γ x − прямая волна напряжения;

A 4 e −γ x − обратная волна напряжения.

Найдем постоянные интегрирования A 3

и A 4 из граничных условий на на-

грузке линии. Из формул (3.22) при х = 0

(т.е. e γ0

=1)

получим U 2

= A 3 + A 4 ;

Z B I 2 = A 3 − A 4 . Откуда

14

A 3

=

1 (U 2

+ Z B

I 2 );

A 4 =

1

(

U

2 − Z B I 2 ).

(3.23)

2

2

Подставляя

A 3 и

A 4

в формулы (3.22) для напряжения и тока в любой

точке линии на расстоянии х от конца линии получим:

U ( x ) = 1 (U 2 + Z

B

I 2

)e γ x

+

1

(

U

2

− Z B

I 2 )e −γ x ;

(3.24)

2

2

I ( x ) =

1

U 2

+ I

γ x

1

U

2

− I

−γ x

2

e

−

2

e

.

(3.25)

2

Z B

2

Z B

Формулы (3.24) и (3.25) представляют напряжение и ток в любом поперечном сечении длинной линии в виде суммы прямой и обратной волн. Постоянные интегрирования каждой из волн связаны с напряжением и током на нагрузке.

Группируя члены в правой части и вводя гиперболические функции косину-

са ch γx =

e γ x

+ e −γ x

и синуса

sh γx =

e γ x

− e −γ x

получим:

2

2

U ( x ) =U 2

e

γx +e

−γx

+ Z B

I 2

e γx −e −γx

=

U

2 ch γ x + Z B I 2 sh γ x ;

2

2

(3.26)

e γ x − e −γ x

γ x + e

−γ x

I ( x ) =

U

2

+ I 2

e

U 2

sh γx + I 2 ch γx .

=

Z B

2

2

Z

B

Эти формулы позволяют определить напряжение и ток в любой точке (любом сечении) линии по их значениям в конце линии. Заметим, что аналогичными действиями можно получить связь тока и напряжения в любом сечении линии при известных токе и напряжении в начале линии (на источнике или генераторе синусоидального сигнала). Эти выражения рекомендуется получить самостоятельно. Заметим, что на практике такие соотношения (связанные с граничными условиями в начале линии) практически не применяются, в то время как формулы (3.23) находят широкое применение.

В завершение параграфа заметим, что коэффициенты ch γx ; sh γx ;	sh γx	в
	Z B

выражениях (3.26) являются элементами матрицы передачи [А] отрезка линии с

15

началом в сечении х и окончанием на конце линии (при х = 0, т.е. нагрузке).

4.Характеристики однородной линии

Вданном разделе кратко остановимся на свойствах вторичных параметров

−волновых сопротивлений и коэффициенте передачи, свойственных различным конструкциям длинных линий.

Коэффициенты затухания и фазы определяются из выражения (3.8) и рассчитываются по формулам

α = 12 (Z 0 Y 0 +r0 g 0 −ω2 L 0 C 0 );

					β=		1 (Z		0 Y 0 − r0 g 0 + ω2 L 0 C 0 ),
							2
	где Z 0	=	r0	2		+ ω2 L 0		2		− модуль продольного удельного сопротивления;
	Y 0	=	g 0		2	+ ω2 C 0			2	− модуль поперечной удельной проводимости.
	Коэффициент затухания амплитуд α измеряется в децибелах (понятие вво-
	дится соотношением 20lg									А( x ′)	, где А− амплитуда тока или напряжения, х
										А( x ′+1)

− расстояние в метрах, а (х +1) больше чем х на 1 метр) на метр и обозначается

	дБ	, или в неперах ( ln	А( x ′)		, где А− амплитуда тока или напряжения, х −
	м
			А( x ′+1)
расстояние в метрах, а (х +1)				больше чем х на 1 метр) на метр и обозначается

Нпм .

Коэффициент фазы измеряется в радианах на единицу длины.

Волновое сопротивление Z B = Z B e jθ рассчитывается по формулам (3.10)

и (3.11) и определяет токи прямой и обратной волн по соответствующим напряжениям (см. формулу (3.19)).

Среднее значение модуля Z B для воздушных линий составляет 300…400

Ом, а для кабельных линий 50…80 Ом, т.е. в 6…8 раз меньше. Такое соотношение − следствие того, что для кабелей погонная ёмкость С0 значительно больше, а ин-

16

дуктивность L0 значительно меньше, чем для воздушных линий. Такие соотношения первичных параметров возникают вследствие конструктивных особенностей взаимного положения проводников и применяемых изолирующих диэлектриков. Так, в коаксиальных линиях расстояния между проводниками меньше и диэлектрическая проницаемость изолирующих промежутков выше (относительная диэлектрическая проницаемость ε r ≈ 4…5), что приводит к росту погонной ёмкости и уменьшению полной индуктивности контура, образованного прямым и обратным проводниками и пропорционального площади контура.

Частотные характеристики модуля и фазы волнового сопротивления воздушных и кабельных линий приведены на рис. 3.6. Из формулы (3.10)

Z B = rB + jx B =

(r0 +

j ωL 0 )

(r0

)2 + (ωL 0

)2

j θ

,

( g 0 +

j ωC 0 )

= 4

)2

e

( g 0

+ (ωC 0 )2

где

ω( g 0 L 0 − r0 C 0

)

θ= arctg

,

r0 g 0 + ω

2 L 0 C 0

следует, что при ω= 0 Z B =

r0

, а при ω→∞ Z B

=

L 0

.

g 0

C 0

Z B

		L
	r0	Z B
		C
	g 0

0

−θ

−θ

0

0

ω

Рис. 3.6 − Частотные зависимости модуля и аргумента волнового сопротивления

17

r 0		>	L 0	, что
Как для воздушных так и для кабельных линий всегда			C 0
g 0
объясняется для всех линий незначительной величиной утечки	g 0 и дополни-
тельно в отношении кабельных линий довольно большой емкостью C 0 .
Поскольку практически всегда ωC 0 >> g 0 , аргумент комплекса g 0			+ j ωC 0
в знаменателе выражения модуля волнового сопротивления Z B	близок к 900 и

больше аргумента комплекса r0 + j ωL 0 в числителе, то аргумент θ волнового сопротивления обычно отрицателен.

Из выражения θ следует, что θ = 0 при ω= 0 и ω= ∞, так как это arctg 0= 0. Фазовая скорость волн в линиях определяется, как следует из (3.15) коэф-

фициентом фазы β и равна	v =	ω	=		ω		L 0 C 0 )	. Поэтому при
		β		1	(Z 0 Y 0 − r0 g	0 + ω2
				2

передаче по длинной линии (с такой зависимостью фазовой скорости от частоты) информационного сигнала с определённой временной зависимостью (а следовательно с определенными амплитудно- и фазочастотными характеристиками) фазочастотная характеристика сигнала на выходе линии исказится из-за частотной дисперсии скорости передачи сигнала. Фазочастотные искажения приведут к искажениям формы сигнала на выходе линии. Заметим, что одновременно с фазочастотной, исказится и амплитудно-частотная зависимость выходного сигнала из-за частотной дисперсии модуля волнового сопротивления длинной линии (см. рис. 3.6).

Из сказанного следует, что для неикажающей передачи информации необходимо обеспечить постоянство по частоте фазовой скорости v и волнового со-

	противления Z B .					Этого можно достичь в двух случаях.
	1) Равенство отношений первичных параметров						r0	=	L	0	, или иначе оно же в
							g 0		C	0
	виде:	r0	=	g 0	,	в результате последовательности простых операций
		L 0		C 0

18

v =																																			ω																																			=
	1																																																			r0 g
					r		2										2			L		2			g				2								2		C		2				− L				C										0								2
							0				+ ω											0						0			+ ω										0							0		0													−ω
	2																																																						L 0 C 0
=																																				ω																																			,
1															r	0			2														g		0		2																			r			0		g			0
	L			C																			+ ω2																	+ ω2								−	L		C															− ω2
			0				0												2																		2													0			0
2														L																			C																									L 0 C 0
																	0																		0
а с учетом						r0				=			g			0					:
						L 0							C			0
v =																																							ω																																=
	1																	r			0	2														r			2																						r		0	r	0
			L				C																	+ ω2														0					+ ω			2			− L				C																−ω2
					0			0														2																	2													0
	2																	L 0																																						0				L 0 L 0
																																				L 0
=																										ω																														=
															r				2																								r		2
	1																0
			L		0		C	0															+ ω		2				− L				0	C			0							0			− ω2
																					2																								2
	2														L 0																												L
																																													0
=																														ω																																	,
												r0				2																													r0	2
	1
			L		0		C	0													+ ω2 L					0	C			0		− L					0		C		0							+ ω			2 L				0	C		0
																	2																													2
	2											L 0																																	L 0
приводит к							v =										1					=								c							,		где с − скорость света в вакууме, ε r и µ r
															L 0 C 0												µ r					ε r

− относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среде распространения волны в линии (в первом приближении, диэлектрик, окружающий проводник линии). Видно, что v не зависит от частоты. Такая линия называется «линией без искажений».

	2) Равенства r0 =0 и g 0 =0 также приводят к v =	1	=	c	. Это по-
		L 0 C 0		µ r ε r

лучается простой подстановкой нулевых значений в формулу фазовой скорости v. Такая линия называется линией без потерь и тоже является неискажающей.

19

Заметим, что практически создать ни первую, ни вторую идеальных линий невозможно, можно лишь приближаться к их реализации. Причем на практике проще приблизиться к реализации линии без потерь (т.е. минимизировать потери в линиях).

В воздушных линиях ε r ≈ 1 и µ r ≈ 1 и при отсутствии потерь скорость волн v практически равна скорости света в вакууме с. Для кабелей с относительной диэлектрической проницаемостью изоляции ε r ≈ 4…5 скорость волн в 2…2,5

раза меньше скорости света в вакууме. На рис. 3.7 показана зависимость фазовой скорости от частоты для однородных воздушных и кабельных линий связи. Из рисунка видно, что при частоте f ≥1000 Гц фазовая скорость в воздушных линиях связи с медными и биметаллическими проводами почти достигает скорости света в вакууме, в то время как в линиях со стальными проводами и в коаксиальных линиях она при частоте f ≈ 1500 Гц ещё примерно вдвое меньше скорости светс в вакууме.

v×10−3км/с

300 c ≈300·103км/с

200		1
				2
100
				3
											f
0
						640	1280			10240	Гц
10	20	40	80	160	320			2560	5120

Рис. 3.7 − Частотные зависимости фазовой скорости: 1− двухпроводные медные и биметаллические линии; 2 − двухпроводные стальные линии; 3 − телефонные кабели и коаксиальные линии

Для справки, в воздушных электропередачи на промышленной частоте f = 50 Гц ( при периоде Т = 20 мс) длина волны λ = vT ≈ cf = 6000 км, а на частоте

f = 1 ГГц , т.е. 109 Гц, в воздушной двухпроводной линии с фазовой скоростью волны в вакууме − λ = 0,3 м.

20