Методы и средства передачи информации (Лекция №3)

5. Входное сопротивление длинной линии

Напряжения U(х) и токи I(х) в сечениях линии связаны между собой сопротивлением Z(x), которое называется входным сопротивлением линии. Входное сопротивление эквивалентно сосредоточенному сопротивлению, которым можно заменить отрезок линии от сечения х до конца линии вместе сопротивлением,

подключенным к нему (сопротивлением нагрузки ZН). Входное сопротивление связывает напряжение и ток в сечении х длинной линии соотношением

Z ВХ

=

U ( x )

.

I ( x )

Из (3.27) с учетом (3.26) получим:

Z ВХ

=

U ( x )

=

U

2 ch γx + Z B I 2 sh γx

= Z B

I

( x )

U

2

sh γx + I 2

ch

γx

Z B

= Z B

Z H + Z B

th γx

.

Z B

+ Z H

th γx

(3.27)

U 2
ch γx		+ Z	B	th	γx
	I 2
						=
U 2
ch γx		th γx + Z
	I 2				B

(3.28)

	Иногда полезно применять иные выражения для определения входного со-
противления линии.
	Из формулы (3.28) следует:
− при	Z H =∞ (т.е. при холостом ходе на выходных зажимах)
	Z ВХ X = Z B	1		= Z B cth γx ;		(3.29)
		th γx
− при	Z H =0 (т.е. при коротком замыкании ходе на выходных зажимах)
	Z ВХ K = Z B	0 + Z B th γx			= Z B th γx .	(3.30)
		Z B	+ 0 th γx

Тогда из (3.28), (3.29) и (3.30) получим:

21

Z ВХ = Z B

Z H + Z ВХ K

= Z B

Z H + Z ВХ K

.

Z B

1

+ Z H

Z ВХ X + Z

H

th γ x

(3.31)

Из

формул

(3.29)

и

(3.30)

следует,

что

Z B =

Z ВХ X Z ВХ K ;

th γx =

Z ВХ K

.

Z ВХ X

6. Коэффициент отражения волны

При произвольном сопротивлении нагрузки из выражений (3.23) получим:

A

1

(U

+ Z

I

)=

1

U

2

+ Z

1

(Z

+ Z

);

=

=

(3.32)

3

2

2

B

2

2

B

2

H

B

I

2

A

1

(U

− Z

I

)=

1

U

2

− Z

1

(Z

− Z

).

=

=

(3.33)

4

2

2

B

2

2

B

2

H

B

I

2

Выражение (3.33) указывает на не нулевую обратную волну в линии при

Z H ≠ Z B .

Величину обратной волны в любом сечении линии можно определить, введя так называемый комплексный коэффициент отражения волны, или, короче говоря, коэффициент отражения n~ , определив его в общем случае как отношение ком-

плексов напряжений или токов обратной и прямой волн в любой точке линии:

−γx

U 2

−Z B

~

A 4 e

U 2

−Z B I 2

−2 γx

I 2

−2

γx

Z H −Z B

−2 γx

n

=

=

e

=

e

=

e

. (3.34)

A 3 e γx

U 2 + Z B I 2

U 2

+Z B

Z H +Z B

I 2

Из формулы (3.34) следует:

~

Z H −Z B

−2 γx

~

−2 γx

n

( x ) =

e

=n

( 0 ) e

,

Z H + Z B

~

где n ( 0 ) − коэффициент отражения от нагрузки (при х = 0), который принято обозначать отдельным идентификатором − n 0 .

22

С учетом введенных понятий напряжение в любом сечении линии можно записать в виде:

U

обр

( x )

~

( x )

( x ) (1

( x ) )=

U ( x ) =U

( x ) +U

( x ) =U

1 +

=U

+ n

пр

обр

пр

U пр

пр

( x )

=

U

пр ( 0 )e γ x (1 + n 0 e −2 γ x )=

U

пр ( 0 ) (1 e γ x + n 0 e −γ x ),

где U пр

( 0 ) − комплексное напряжение прямой волны на нагрузке линии.

Ток в любом сечении линии можно записать в виде:

I обр

( x )

~

I ( x ) = I

пр

( x ) − I

обр

( x ) = I

пр

( x )

1 −

= I

пр

( x ) (1

− n

( x ) )=

I пр

( x )

= I пр ( 0 )e γ x (1 − n 0 e −2 γ x )= I пр ( 0 ) (1 e γ x − n 0 e −γ x ),

где I пр ( 0 ) − комплексное значение тока прямой волны на нагрузке линии.

Заметим, что при наличии обратной волны часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной. Поэтому мощность, выделяющаяся в сопротивлении нагрузки, будет меньше, если считать, что мощность источника остается неизменной. Таким образом, наличие обратной волны уменьшает коэффициент полезного действия длинной линии.

В завершении параграфа выразим входное сопротивление длинной линии через коэффициент отражения.

U ( x )

U

пр

( 0 ) (1 e γ x

+ n

0

e −γ x

)

1 e γ x

+ n

0

e −γ x

)

Z ВХ =

=

= Z

(

=

B

I ( x )

I пр ( 0 ) (1 e γ x − n 0 e −γ x

)

(1 e γ x − n 0 e −γ x

)

e

γ x

(1 + n 0 e

−2

γ x

)

(1 + n 0 e

−2

γ x

)

~

= Z B

= Z

B

= Z B

(1 + n )

.

e

γ x

(1 − n 0 e

−2

γ x

)

(1 − n 0 e

−2

γ x

)

~

(1 − n )

7. Согласованная нагрузка линии

Если в конце линии включено сопротивление нагрузки, равное волновому,

	т.е. Z H =	U 2	= Z B , обращаясь к формулам (3.23), находим, что	A 3 =U 2 и
		I 2

23

A 4 = 0 , т.е. n 0 = 0 , отраженная волна не возникает. Такую нагрузку называют согласованной нагрузкой, а режим в линии называют согласованным режимом.

В согласованном режиме: U ( x ) =

U

пр ( x ) =

U

пр

( 0 )e γ x

=

U

2 e γ x , так

как U обр

( x ) =

U

обр

( 0 ) =0 , а U 2

=

U

пр ( 0 ) +U обр ( 0 ) =U пр

( 0 ) ., Аналогич-

но, с

учетом

I обр

=0 для тока

получаем

: I ( x ) = I пр ( x ) = I пр ( 0 )e γ x

=

U 2

e

γ x

= I 2

e

γ x

. Отсюда следует

U ( x )

=

U 2

=

U

1

= Z B ,

т.е. в согласо-

Z B

I ( x )

I 2

I

1

ванном режиме для любого поперечного сечения линии отношение комплексов

U ( x )

I ( x )

равно волновому сопротивлению (это подтверждает закон Ома для волны,

так как в согласованном режиме и напряжение и ток в любом сечении линии определяются только прямыми волнами.

Следствия:

1) Режим работы генератора, питающего согласованную линию, не изменится, если в любом сечении её разорвать и вместо отрезанной части линии включить сопротивление, равное волновому.

2)Входное сопротивление согласованной линии в любом сечении равно волновому.

3)Полагая начальную фазу напряжения в конце линии равной нулю, т.е. U 2 =

U 2, запишем на основании U 2 ( x ) =U пр ( x ) ; I ( x ) = I пр ( x ) мгновенные зна-

чения напряжения и тока в любом сечении линии:

u ( x , t )

=

U 2 m e

αx

sin

(ω +β

x

);

i ( x , t )

=

U 2 m

e

αx

sin (

ω +β

x

−θ

)

.

(3.35)

t

t

Z B

Полученные соотношения изображены на рис. 3.8. Точки пересечения оси абсцисс с кривыми напряжения и тока сдвинуты на расстояния θ/β, причем со-

гласно сказанному выше величина θ отрицательна. Поэтому, применяя термины, справедливые, строго говоря, только для синусоидальных (гармонических) процессов, можно сказать, что ток опережает напряжение по фазе на угол | θ |. На-

24

пряжения в различных точках линии различаются не только по амплитуде, но и по фазе. Аналогично и ток в различных точках линии различаются не только по амплитуде, но и по фазе.

u, i

e α x

v

i u

0

х

v

θ

β

Рис. 3.8 − Мгновенные значения напряжения и тока в любом сечении согласованной линии с потерями

4) Мощность, проходящая через какое-либо сечение линии,
P =UI cos θ=	UI	e 2 αx cosθ.	(3.36)
	Z B

Эта мощность уменьшается по мере удаления от начала линии, так как на каждом элементе длины линии поглощается мощность

dP =	UI	e 2 αx cosθdx = (r0 I 2 + g 0 U 2 )dx ,	(3.37)
	Z B
равная сумме потерь	в продольном сопротивлении проводов и в поперечной

проводимости изоляции между ними на единицу длины dx линии. Равенство средней и правой частей соотношения (3.37) можно показать после формальных

25

преобразований, если в средней части равенства (3.37) заменить

U 2

e αx ;

U

e αx ;

Z B

α; Z B ; θ их значениями из равенств

U ( x ) =

U

2 e γ x ;

I ( x ) = I 2 e γ x ;

α =

1

(Z 0 Y 0 + r0 g 0 −ω2

L 0 C 0 );

2

β=

1

(Z 0 Y 0 − r0 g 0 + ω2

L 0 C 0 );

2

Z B

= rB + jx B =

(r0 + j

ωL 0 )

=

(r0 )2 + (ωL 0 )2

e

j θ

;

( g 0 + j ωC 0 )

4

( g 0 )2 + (ωC 0 )2

θ= arctg

ω( g 0 L 0 − r0 C 0 )

,

r0 g 0 + ω

2 L 0 C 0

с учетом равенства cosθ= 1 + cos 2 θ .

2

Процесс доказательства равенства (3.37) − сложный процесс.

Однако, из физических соображений, очевидно, что погонные потери мощности определяются только «омическими потерями» и поэтому они должны быть равны (3.27).

Мощность, передаваемая по согласованной линии называется естественной, или натуральной мощностью.

5) Энергетические свойства длинной линии характеризует параметр − коэффициент полезного действия η. Получим его в результате следующих действий.

Мощность сигнала убывает при передаче вдоль линии от значения P1 =U 1 I 1 cosθ в начале линии до значения P2 =U 2 I 2 cosθ в конце линии. От-

сюда, применяя известные выражения для напряжения и тока в согласованной линии, получим:

P1 =U 1 I 1 cosθ=U 2 e αl I 2 e αl cosθ=U 2 I 2 e 2 αl cosθ= P2 e 2 αl .

26

Тогда	η=	P2	=e	−2 αl	.
		P
		1

6) В согласованной линии с потерями (т.е. при наличии погонных потерь, связанных с продольным удельным сопротивлением и поперечной удельной проводимостью, но когда отсутствует отраженная волна) временная зависимость (т.е. форма) сигнала все равно искажается при передаче от генератора к нагрузке. Этот эффект связан с частотной зависимостью фазовых скоростей волн, соответствующих спектральным (т.е. разным по частоте слагаемым − соответственно Фурье представлению − полезного сигнала) составляющим сигнала.

Кроме того, в линиях с потерями причина искажений полезного сигнала связана и с частотной зависимостью волнового сопротивления, что приводит к частотной зависимости сдвига фаз между током и напряжением в волне.

В следующей лекции мы исследуем способы уменьшения частотной зависимости сигналов при передаче их по длинным линиям.

27