электричество и магнетизм лабораторный практимум

f

= f (

x1

,

x2

,

x3

, ...,).

(6)

Среднее квадратическое отклонение этой величины можно выразить через средние квадратические отклонения каждой из переменных

∂f

2

2

∂f 2

2

∂f

2

2

S

=

(S

1 )

+

(S

2 )

+

(S

3 ) + .... +

(7)

f

X

X

∂x3

X

∂x1

∂x2

Отметим, что эта формула получена в предположении, что все случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой.

Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных измерений, существует и другой, который применим в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних условиях. Состоит он в том, что по результатам i – го измерения сначала находится величина fi = f(x1i,x2i,x3i, …), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (4) находится среднее значение величины

f, а по формуле (5) – среднее квадратичное отклонение S f .

Вслучае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратическое отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т.е. сохраняют одну значащую цифру, вторую сохраняют в случае, когда первая равна единице.

Пример 2

Определяется электрическое сопротивление – R. Для этого проводится серия измерений силы тока I в зависимости от приложенного напряжения – U. В табл. П.1 приведена серия измеренных значений I от U.

Таблица П.1

I, A	1,1	1,2	1,3	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
U, B	57,2	64,8	74,1	77,0	81,0	85,0	97,2	104,5	110,0
R, Ом	52	54	57	55	54	50	54	55	55

Требуется найти электрическое сопротивление – R и среднее квадратическое отклонение SR . Обе эти величины измеряются в Ом.

Решение

Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т. е. при измерениях сила тока намеренно менялась в широ-

61

ком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй метод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значений Ri, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой: Ri = Ui /Ii.

Теперь найдем среднее значение электрического сопротивления

=

52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 =

486 = 54,0 Ом .

R

9

9

Зная его, можно вычислить среднее квадратическое отклонение

S

= ∑N (Ri −

)2 N(N −1);

R

R

i=1

S

=

(52 − 54)2 + 3(54 −54)2 +(57 −54)2 +3 (55 54−)2 (50+ 54−)2

=

9(9 −1)

R

= 0,7 Ом.

Ответ

R = 54,0 Ом ; SR = 0,7 Ом при N = 9.

Результатами математической обработки серии измерений, как прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по фор-

муле (4) или (6), среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формулам (5) или (7), и полное число измерений N.

Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой ∆ , нижним индексом указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак ±. Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал, в который с вероятностью 95%, попадает истинное значение измеряемой величины.

В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений ко-

62

торых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае среднее квадратическое отклонение измеряемой величины должно всегда получаться меньше интервала, определяемого систематической погрешностью

S		< θx.	(8)
	x

Невыполнение этого условия обычно бывает связано с промахами, т.е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И, наоборот, его выполнение в более жестком виде

S		<< θx	(8, а)
	x

свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае полная погрешность среднего значения определяется только систематической

∆		= θ x .	(9)
	x

В случае проведения технических испытаний обычно имеют дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых параметров при таких испытаниях связан с различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми измерительными приборами. Среднее квадратическое отклонение, определенное по формулам (5) или (7), включает в себя обе названные причины и поэтому не ограничено интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов, объединяют в полную погрешность

∆		= θ X+ kS		.	(10)
	X		X

В этой формуле k-й коэффициент, зависящий от количества проведенных измерений в серии, будет

N = 5, k = 2,5;

N= 10, k = 2,3;

N= 20, k = 2,0.

Обработка серии измерений и представление результатов. По ре-

зультатам серии измерений нужно по формулам (4) или (6) найти среднее значение, после этого по формулам (5) или (7) – среднее квадрати-

63

ческое отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) и (3) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслучайные.

Измеряемую величину следует считать случайной по своей природе, если при ее измерении возникают неконтролируемые экспериментатором факторы, или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести достоверные измерения.

Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и случайные погрешности нужно сравнить по критерию (8). В качестве полной погрешности, в соответствии с формулой (9), взять систематическую.

Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешности следует объединить в полную по формуле (10).

Результатом серии измерений при любом способе обработки должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой величины. Кроме того, приводят среднее квадратическое отклонение и полное число измерений. Для единичного измерения указывают полученное значение и систематическая погрешность.

Округление результатов. При записи окончательного результата обязательно проводят округление. Сначала округляют погрешность, а затем измеренную величину. Погрешность округляют до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно сохранить следующую. В полученном результате сохраняют последним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность. При этом правила округления результата и его погрешности разные.

1.В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на 1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все последующие цифры нули, или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной.

2.В погрешности округление проводится в большую сторону, если старшая отбрасываемая цифра 3 и более.

Сохранение лишних цифр при записи результата измерения или его погрешности является грубой ошибкой.

64

Пример 3
Неправильно	Правильно
R = 621,54 Ом; θR = 1,27 Oм →	R = 621,5 Ом; θR = 1,3 Oм
t = 16,33333 c; θt = 0,33333 c →	t = 16,3 c; θt = 0,4 c
m = 33,450 кг; θm = 0,277 кг →	m = 33,4 кг; θm = 0,3 кг

Допустимые расхождения между результатами измерений. В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспери-

ментально значение Х с теоретическим или табличным ХТ. В тех случа-
ях, когда выполняется условие
Х – ХТ ≤ ∆ X ,	(11)

расхождение величин Х и ХТ следует считать допустимым, и не требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отчете. Если же условие (11) нарушается, то это свидетельствует об ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин Х и ∆ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу.

Объединение результатов различных измерений. Иногда физическая величина определяется двумя или несколькими разными способами. Если значения получаются разными, то встают вопросы, что взять в качестве окончательного результата, и допустимы ли имеющиеся расхождения экспериментальных значений. Сначала, если это возможно, нужно все результаты сравнить с табличным или теоретическим значением по критерию (11). Однако зачастую такое сравнение невозможно, поскольку в эксперименте, как правило, стремятся определить именно неизвестную величину. Остановимся подробнее на этом случае.

Если разные значения Xi одной и той же величины получены в нескольких независимых опытах, то их надо усреднять с весовыми множителями gi, обратно пропорциональными квадратам полных погрешностей

gi =	(∆ Xi )−2
	∑ (∆ Xi )−2 .	(12)

i

65

Объединенное или среднее взвешенное значение найдем

				= ∑	gi Хi. ,
	Х						(13)
				i
Погрешность среднего взвешенного ∆							можно оценить
						X
∆				= ∑	g∆i Xi .		(14)
		X
				i

В случае, когда все измерения получены с одинаковой точностью, коэффициенты gi одинаковы и равны gi =1/N, где N – число усредняемых значений. В таком случае формула (13) преобразуется в обычную формулу для среднего арифметического, а формула (14) даст ∆ X = ∆ Xi .

Отметим, что весовые коэффициенты gi допустимо вычислять с меньшей точностью, чем сами погрешности. Обычно при вычислении этих коэффициентов принято оставлять один, редко – два знака.

После того, как значения среднего взвешенного и его погрешности найдены, нужно опять вернуться к исходным значениям и проверить допустимость отклонения каждого из них от среднего взвешенного. Для каждого опыта должно выполняться неравенство

Xi −

X

≤ ∆ Xi .

(15)

Если для одного из опытов неравенство (15) не выполняется, то это свидетельствует о допущенной экспериментальной, вычислительной или методической ошибках. В таком случае, либо следует считать, что объединение результатов невозможно, либо нужно повторить обработку, исключив из рассмотрения результаты “ошибочного” опыта.

Пример 4

В двух независимых измерениях электрического сопротивления по-

лучены значения R1	= 1,73 ± 0,18 Ом; R2 = 1,64 ± 0,12 Ом.
Таким образом, ∆ R = 0,18		Ом;∆	R=	0,12 Ом.
	1		2

Найти среднее значение сопротивления и его погрешность.

Решение

Сначала по формуле (12) вычислим весовые множители

(∆ R

)−2

(1 0,18)2

31

0,3;

g1

=

1

=

=

(

R1 )

(

R2 )

2

2

31+ 69

∆

−2

∆

−2

+

(1 0,18)

+ (1 0,12)

66

(∆ R

)−2

(1 0,12)2

69

0,7.

g2

=

2

=

=

(

R1 )

(

R2 )

2

2

31 + 69

∆

−2

∆

−2

+

(1 0,18)

+ (1 0,12)

Теперь по (13) вычислим среднее взвешенное значение сопротивле-

ния R .
R = g1R1 + g2R2 = 0,31,73 +0,7 1,64 0,519=	1,148+	1,667=	1,67 Ом.

Прежде, чем вычислять по (14) полную погрешность ∆ R и давать окончательный ответ, нужно проверить выполнение критерия (15)

R1 − R =1,73 – 1,67 = 0,06 Ом < ∆ R1 , R2 − R =

=1,67 – 1,64 = 0,03 Ом < ∆ R2 .

Неравенство выполняется для результатов обоих опытов, значит усреднение проведено корректно, и можно искать погрешность сопротивления

∆		=	g∆	+ g∆	= 0,3 0,18+ 0,70,12 = 0,054 +0,084 0,14 Ом,
	R		1	R1	2 R2

Ответ

R = 1,67 ± 0,14 Ом .

Графическая обработка результатов измерений. Графики следует строить на миллиметровой бумаге, которая выступает в роли одного из измерительных инструментов.

1.Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией или аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы по возможности использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом.

2.После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины, и в каких единицах откладываются на оси. На

67

осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются.

3.На график обязательно наносятся все экспериментальные точки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешности измеряемых величин.

4.Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зависимости, и для получения градуировочных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая “крестики” погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему соответствовать (рис. 1).

I
6
5			θI
4												θl
3
2
1
		1	2		3						4		5	6		7	8	l

Рис. 1. Образец оформления графика

Графическое определение параметров линейной зависимости. Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f, записывается в виде

f = kx + b ,

( 16)

то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию (рис. 2), нужно руководствоваться следующими правилами:

–прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин;

–число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым;

–экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х.

68

а)	б)	в)
f	f	f
	¦

г)	x	x	x
	f	д) f
	x		x

Рис. 2. Прямая f = kx + b , проведенная через экспериментальные точки:

а– неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах;

д– прямую провести невозможно

Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то отсюда следует, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (16). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую, по графику находят параметры k и b уравнения (16). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3.

Обратим внимание на то, что катеты ∆ х и ∆ f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии.

1. Систематическую погрешность величины b разумно принять, равной значению систематической погрешности θf .

69

f

∆ f

α

∆ x

b

x

Рис. 3. Графическое определение параметров прямой: k = tgα = ∆∆ fx ; b= f( x=0) .

2. Систематическую погрешность величины k разумно принять равной

	θ f			θ	x
θk = k			+				,	(17)
	(∆ f )			(∆
					x)

где ∆ f и ∆ х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематические погрешности величин f и х.

3. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия:

–по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую;

–для нее находят новые значения величин k' и b';

–считают, что Sk = k – k' , а Sb = b – b' .

70