3.Основные инвариантные свойства.

1.Точка проецируется в точку (рис.2). Проецирующий луч всегда пересекает плоскость только в одной точке, например, точки A,C,B(рис.2). Исключение: если высота точки равна высоте центра проецированияS, то центральная проекция точки будет бесконечно удаленной точкой – называемой несобственной точкой. В этом случае проецирующий луч будет параллелен плоскости проекций, например, точкаD(рис.2).

2.Прямая проецируется в прямую. Прямая АВ и центр проецирования S( рис.6) образуют плоскость, которая пересекаясь с плоскость проекций П по прямой. Исключение: если направление проецирующего луча совпадает с самой прямой, то проекцией прямой будет точка. Например,A1A2=AS, то проекцией прямой будет точкаap. Точки А1иA2называютсяконкурирующимив отношении видимости к плоскости П. Видимой будет точка, находящаяся ближе к наблюдателю, т.е. точкаA1(рис.2).

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой. , например, точка NнаAB(рис.6).

Параллельное проецирование сохраняет свойства центрального и обладает дополнительными свойствами:

4.Если прямые параллельны в пространстве, то их проекции параллельны, например, прямая ABпараллельнаCD(рис.7).

Лекция1-4

5.Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков, например, точка Nделит отрезокABи его проекцию в заданном отношении (рис.6).

6.Отношение отрезков параллельных прямых равно отношению проекций этих отрезков.

7.Проекця геометрического образа по величине и форме не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций.

Ортогональному проецированию, помимо перечисленных выше, принадлежит еще одно свойство:

8. Проекция отрезка не может быть больше самого отрезка, например, отрезки ABиCD(рис.6).

4.Свойства проекций плоских углов. Теорема о проецировании прямого угла.

Из выше перечисленных свойств можно перейти к важной теореме, далее часто используемой в ортогональном проецировании.

Рис.8 Рис.9

«Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения». ( Запомнить!)

Доказательство:

Пусть сторона АВ прямого угла ВАС параллельна плоскости проекций, например (рис.8). Спроектируем угол ВАС ортогонально на плоскость П и докажем, что угол В1А1С1 прямой. АВ параллельна П. АВ и ее проекция А1В1 лежат в одной проецирующей плоскостиАВВ1А1, из чего следует, что АВ и А1В1 - параллельные прямые. На рис.9.

прямая АА1 перпендикулярна П, а значит АА1 перпендикулярнаА1В1 и АВ перпендикулярна АА1. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна к двум прямым АА1 АС1,следовательно она перпендикулярна и к плоскости САА1. Но тогда А1В1 также перпендикулярна к плоскости САА1. Поэтому прямая А1В1 перпендикулярна к прямой А1С1, то есть угол В1А1С1- прямой. Естественно теперь задать вопрос об изменении величины произвольного угла при его ортогональном проецировании. Легко можно доказать, что проекции острого и тупого углов могут равняться проектируемому углу не только при условии параллельности плоскости угла, а, следовательно, и его сторон, плоскости проекций.