stat

стационарные и не стационарные. При анализе динамических рядов исходят из следующего уровни ряда представляют в виде составляющих :

Yt = TP + Е (t)

где ТР – детерминированная составляющая определяющая общую тенденцию изменения во времени или тренд.

Е(t) – случайная компонента, вызывающая колеблимость уровней.

19.Характеристики динамики по уровням ряда и их значения в анализе

Для анализа динамических рядов используются различные показатели и характеристики, их

принято разделять на показатели (характеристики) по уровням ряда и характеристики по ряду в целом.

К характеристикам по уровням относятся абсолютные приросты :

Базисные:

t / 0 Yt Y0

Yt – текущий уровень ряда

Y0 – базисный (начальный) уровень ряда Цепные:

t / t 1 Yt Yt 1

Темпы роста базисные:

Tp

Yt

100

t / 0

Y0

Цепные:

Tp

t / t 1

Yt

100

Yt 1

Tnp

Yt Y0

100 (

Yt

1) 100 Tp

100

t / 0

Y0

Y0

t / 0

Темпы прироста базисные :

Цепные:

Коэффициенты роста – базисные:

Tnp			Yt	Yt 1	100 (	Yt	1) 100 Tp		100
	t / t 1							t / t 1
				Yt 1		Yt 1

Yt 1

Цепные:

Tp Кр 100
Абсолютное содержание одного процента роста:
			1				Yt Yt 1				Y
A		t / t Yt					Кp				t
Кtpt / t 1						Yt		t / 0			Y
	Tпп		t 1				Yt 1
									100
		tY/ t 1

Yt 1 0,01 Yt 1 100

Таким образом содержание одного процента роста это сотая часть предшествующего уровня или

базисного уровня если t = 1.

Между рассмотренными показателями имеет место соотношение:

T
t / t 1 T / 0 YT Y0
t 1
T	YT
Крt / t 1 КрT / 0
t 1	Y0

20. Характеристики динамики по динамическому ряду в целом и их использование для сглаживания рядов и получения точечных прогнозных оценок.

Для анализа динамических рядов используются различные показатели и характеристики, их принято разделять на показатели (характеристики) по уровням ряда и характеристики по ряду в целом.

Показатели для ряда в целом:

Средний уровень ряда определяется для интервального ряда как простая среднеарифметическая:

			T		T
			Yt		Yt
	Y		t 0		t 0
			T 1		n

Для ряда моментных показателей как средняя хронологическая:

Y0

Y Y

YT

Y0

Y Y

YT

2

1

2

2

2

1

2

2

Y хр

T

n

Средний абсолютный прирост определяется:

T

T

t / t 1

t / t 1

T / 0

Yt Y0

t 1

t 1

T

n 1

T

T

Средний темп роста:

T

YT

Крt / t 1

Tp 100

T

100

T

КрT / 0

100

T

t 1

Y0

Средний абсолютный прирост и средний темп роста (коэффициент роста) могут быть

использованы для получения точечных прогнозных оценок.

Сглаживание:

Используется уравнение тенденции динамики – тренд. И рассмотрим линейную форму тренда:

ˆ

Y0 t

Y

t 1,T

Y – уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой

Y0 – начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t

- среднегодовой абсолютный прирост Прогноз на основе среднего абсолютного прироста:

ˆ

YT l YT l l 1,2 L

l – шаг прогноза или период упреждения

L – длина прогноза Ограничения для прогноза:

L T/3 (L T/4)

T –предыстория , L – прогноз

Прогноз на основе среднего коэффициента роста:

Используется для сглаживания тренд в форме степенной кривой

ˆ				t
Yt	Y0 К р
Прогноз:
ˆ					l
YT l	YT К р

21. Скользящее среднее

Сглаживание или механическое выравнивание динамического ряда, сводится к замене фактических уровней расчетными имеющими меньшую колеблимость. Это позволяет тенденции развития проявить себя более наглядно. Один из наиболее простых методов сглаживания заключается в расчете скользящих (подвижных) средних.

Метод скользящей средней, суть этого метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е.

постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Для динамического ряда Yt t = 0,1,…T определяется период сглаживания m (число уровней) обычно нечетное . m < n = T + 1

Вычислив среднюю для первых m уровней

Y0, Y1, …, Ym-1

Переходят к вычислению средней уровней

Y1, Y2, …, Ym

Затем уровней

Y2, Y3, …, Ym+1

Таким образом интервал из m уровней для которого рассчитывается среднее, как бы скользит по

динамическому ряду с шагом (для интервала) равным единице.

Если m нечетное

m 3 то m = 2 p + 1 , p = m-1/2/

Скользящее среднее определяется как простая арифметическая средняя:

			t p			t p
			Yj			Yj
			j t p			j t p
	Y	j
			2 p 1			m

Таким образом число скользящих средних на 2p меньше числа n = T + 1, т.е. числа уровней динамического ряда.

Чем больше период сглаживания, тем в общем случае наглядней проявляется тенденция, но вместе с тем (особенно для коротких динамических рядов, может оказаться чувствительной потеря

информации). Расчет скользящей средней при большом числе уровней может осуществляться по рекуррентной формуле:

Y t Y t 1 m1 (Yt p Yt ( p 1) )

При этом для первых m уровней рассчитывается скользящая средняя которая принимается в данной рекуррентной формуле за Yt-1 . Таким образом последующая скользящая средняя уменьшается на одну m – ную выходящего из интервала уровня и увеличивается на одну m – ную вновь входящего в данный ряд уровня. Упрощение расчета может осуществляться также с использованием кумулятивной суммы уровней. Uj – сумма уровней от начального до j. Кроме простых скользящих средних, используют также взвешенные скользящие средние при вычислении которых каждому уровню входящему в интервал сглаживания придаются веса, которые вычисляются из условия сглаживания симметричными кривыми с вершиной в середине интервала в виде полиномов второй, третьей степени и более высоких степеней.

Существует еще экспоненциальное среднее, в которых «веса» экспоненциально убывает по мере удаления в предысторию процесса это позволяет отражать влияние последних изменений уровней динамического ряда, что часто используется в прогнозирование.

22. Аналитическое выравнивание динамических рядов. Виды кривых роста (моделей тренда).

Аналитическое представление (сглаживание) динамического ряда дает возможность, во-первых использовать для анализа динамики методы дифференциального исчисления (max, min, точки перегиба и т.д.) и во-вторых осуществлять прогнозирование путем экстраполяции ряда.

t = T + l – получать точечные и интервальные оценки, их вероятностные характеристики. При аналитическом выравнивании решается задача: выбор формы модели ряда, оценка параметров а0, а1 …

на основе эмпирических данных, оценка адекватности модели и точности.

Цели аналитического выравнивания:1)определение вида функционального уравнения. 2)нахождение параметров уравнения. 3)расчет выровненных уровней отображающих тенденцию ряда динамики.

Основная цель - определение зависимости.

Наиболее распространенные модели трендов:

1. Линейный тренд

Yt a0 a1 t

Линейный тренд хорошо отображает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. (тенденция динамики урожайности для масштаба области и т.д.)

2. Полином второй степени (параболическая форма тренда):

Yt a0 a1 t a2 t2

Выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением.

3. Полином третьей степени

Y a a t a t2									a t3
4.	t	0		1				2	3
		Гиперболическая
Y a					a1
	t	0			t
5.
		Экспоненциальная
Y a				ta1
	t	0
6.		Логистическая кривая
	Yt			1
			ea	bt 1
Где a и b –параметры тренда

e – основание натуральных логарифмов

Цели аналитического выравнивания:1)определение вида функционального уравнения. 2)нахождение параметров уравнения. 3)расчет выровненных уровней отображающих тенденцию ряда динамики.

Динамический ряд представляется в виде:

Yt	f (t,a0	,a1	)	- модель тренда

23. Метод наименьших квадратов для оценки параметров трендовой модели

Для оценки параметра выбранной модели используют различные методы наиболее часто применяют так называемый метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу параметры оцениваются из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений по модели тренда от эмпирических (фактических) данных минимальный. Во многих случаях применение МНК приводит к системе линейно относительно оцениваемых параметров (а0, а1 …) уравнений (они получается путем взятия частных производных приравнивание их к 0).

После того как вычислены параметры (а0, а1 …) определяют расчетные значения по модели тренда и отклонения от эмпирических данных:

~

Yt f (t, a0 , a1 )

~

E(t) Yt Yt

Случайная компонента E (t) представляет собой также динамический ряд, который называют рядом остатков.

24. Анализ трендовых моделей на адекватность и точность.

исследование случайной компоненты позволяет сделать вывод об адекватности модели.

Модель считается адекватной если:

1.Математическое ожидание случайной компоненты равно 0.

2.Остаточная компонента обладает свойством случайности, испытывается гипотеза о случайности остатков с использованием метода «поворотных точек» (метод пиков)

3.Отсутствия автокорреляции в ряду остатков или независимость остатков. Используется критерий ДарбинаУотсона .

4.Нормальность распределения в ряду остатков. Используется R / S – критерий («размах – стандарт»).

Точность модели оценивается по среднеквадратическому отклонению расчетных значений от эмпирических данных и по средней относительной ошибки аппроксимации

1

E(t)

100

Eотн

n

Y

t

Если Еотн 5% , то точность считается хорошей, точность можно считать удовлетворительной (использовать модель для прогнозирования) если Еотн < 15%

Линейный тренд

Yt	a0		a1 t
Система уравнений МНК:
a0n a1 t y
			1		t2			y t
0
a		t a

Даже для линейного тренда рекомендуется предварительно центрировать динамический ряд, т.е. перенести начало координат в середину. Тогда t (а также суммы всех нечетных степеней) будет равна 0 и система приобретает вид:

a0n y
	1		t2			y t
a

И параметры системы вычисляются по следующим формулам:

a0 Y n

Y t

Если число уровней четное, то предварительно осуществляют центрирование ряда.

25. Использование трендовых моделей для прогнозирования.

С использованием трендовой модели определяем точечные прогнозные оценки (ориентиры), используется уравнение тренда

Вычисляем: t = n + l Yn+l

n – соответствует последнему уровню динамического ряда

L – длина прогноза (max количество шагов, на которое осуществляется прогноз) l = 1 – прогноз на один шаг

Чтобы прогноз путем экстраполяции тренда был корректным необходимо чтобы длина прогноза не превосходила трети длины предыстории L T/3 (по другим оценкам L T/4)

Найдем среднеквадратическое отклонение от тренда

	~			E(t)2
SY	(Yt Yt	)2
	n m			n m

Где m – число связей, налагаемых уравнением тренда, при линейном m = 2 (а0, а1) n – m - число степеней свободы

Среднеквадратичная ошибка прогноза определяется:

Sпрогноза SY kl

Где kl – величина зависящая от 3-х факторов :

-от вида уравнения тренда (линейный, нелинейный тренд)

-от числа уровней ряда n

-от периода упреждения l

Для линейного тренда величина kl определяется:

k			1	1		(n l tср )2
	l			n		(t tcр )2

Предельная ошибка прогноза определяется как t кратное среднеквадратической ошибки прогноза:

YT l t Sпрогноза

или

YT l t SY kl

Где t - коэффициент доверия, определяемый по таблице t распределения Стьюдента в зависимости от доверительной вероятности (уровня значимости) и от числа степеней свободы.

26. Индивидуальные индексы.

Индекс (Index) означает указатель, показатель.

В статистике индекс – это относительная величина, характеризующая изменения во времени и в пространстве уровня изучаемого общественного явления (процесса), или степень выполнения плана.

Индивидуальные индексы характеризуют соотношение отдельных элементов совокупности.

Индивидуальный индекс обозначается буквой 0 определяется методом сопоставления двух величин, характеризующих уровень исследуемого статистического процесса или явления во времени или в пространстве, т. е. за два сравниваемых периода. Период (уровень которого сравнивается) называется отчетным, или текущим, периодом и обозначается подстрочным знаком «I», а период, с уровнем которого проводится сравнение, называется базисным и обозначается подстрочным знаком «0», если при внутрифирменном планировании сравнение проводится с планом. Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый период обозначается соответственно подстрочным знаком «0», «1», «2», «3» и т. д.

В статистике количество обозначают буквой «q», цену – «р», себестоимость – «z», затраты времени на производство единицы продукции – «t».

1.индекс физического объема продукции:

где q 1и q 0– количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах. Данный индекс характеризует изменение физического объема продукции во времени, в пространстве, если сравнивать производство одного и того же вида продукции за один и тот же период времени, но по разным объектам (заводам, территориям и т. д.), и плана, если фактический выпуск сравнивать с плановым заданием;

2.индекс цен:

где р 1 и р 0 – цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах;

3. Индекс себестоимости:

где z 1 и z 0– себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах;

4.Индекс трудоемкости:

где t 1 и t 0 – затраты времени в отчетном и базисном периодах на производство единицы продукции. Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

Индивидуальные индексы по существу – это относительные величины динамики, выполнения плана или сравнения. Индекс выражается в виде коэффициентов и в процентах.

26.Индивидуальные индексы.

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней называется индивидуальным индексом, если не имеет значение структура изучаемого явления (i).

Расчет индивидуальных индексов прост. Их определяют вычислением отношением двух индексированных величин.

Например, если уровень товарооборота Q в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного периода сравнивается с аналогичным показателем базисного периода, то получаем индекс выручки.

iQ=Q1/Q0 (1)

разность между числителем и знаменателем формулы (1) представляют собой абсолютное изменение выручки.

Q=Q1-Q0 (2)

Оно показывает на сколько денеж.ед. изменилась выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным. Аналогично опред. индивидуальные индексы для любого интересующего показателя. Сумма выручки опред. ценой товара (р) и количеством (физическим объемом или объемом продаж натуральном выражении q).

Q=p*q ip=p1/p0 (3) iq=q1/q0 (4)

Произведение индекса цены и индекса кол-ва даст нам индекс выручки. iQ=ip*iq (5)

бабушка торговала семечками по 5руб. за кулек, продала 50 кульков (вчера). По 7руб. 20 кульков (сегодня).

ip=7/5=1,4