ledenev-a

2

1

Рис. 8.3. Теоретическая (1) и экспериментальная (2) кривые затухания напряжений по глубине основания

(Л.Г. Абрамов, В.К. Дермелев, И.Н. Глуховцев, 1968)

Экспериментальные эпюры напряжений по глубине приведены на рис. 8.3, а теоретические эпюры распределения напряжений и перемещений в основании штампов – на рис. 8.4.

Уравнения технической теории изгиба тонких плит. Пусть срединная плоскость пластинки толщиной h занимает область S с границей L, она расположена в плоскости xOy и нагружена перпендикулярными к ней силами и моментами. Используя гипотезу прямых нормалей Кирхгофа, напряженное состояние может быть выражено функцией W(x, y), определяющей перемещения точек срединной плоскости в направлении оси z, перпендикулярной пластине.

Напряжения вычисляют по формулам:

Ez

¶2W

¶2W

Ez

¶2W

¶2W

s

x

= -

1

+ m

; s

y

= -

1

+ m

;

2

2

2

2

2

1

- m

¶x

¶y

2

1- m

¶y

¶x

txy = -

Ez1

¶2W ;

t yz = -

E(h2 - 4z12 )

¶

Ñ2W ;

1

- m2 ¶x¶y

8(1- m2 )

¶x

E(h2

- 4z

2 )

¶

Ñ2W ;

txz

= -

1

8(1

- m2 )

¶y

171

		E(h2	- 4 / 3z	2 )	Ñ2W -	1
sz	= -		1				W (x, y) ,
		8(1 - m2 )				2

где z¢ – координата точек, в которой определяется напряженное состояние с учетом знака; (x, y) – интенсивность распределенной нагрузки, нормальной к срединной плоскости.

а)

б)

Рис. 8.4. Эпюры осадок (а) и горизонтальных перемещений (б) по оси Ох от действия равномерно распределенной нагрузки по площадке внутри упругого полупространства

(по решению В.В. Леденева, 1980 с использованием уравнений Р. Миндлина)

172

Формулы для определения изгибающих моментов (Mx, My) и крутящих (Mxy, Myx), поперечных сил (Qx, Qy), приходящихся на еди-

ницу длины срединной поверхности в площадках, перпендикулярных к осям x и y имеют вид

h / 2 h / 2 h / 2

M x = ∫−h / 2 sx zdz; M y = ∫−h / 2 sy zdz ; M xy = -M yx = ∫−h / 2 txy zdz ;

h / 2 h / 2

Qx = ∫−h / 2 txz dz; Qy = ∫−h / 2 tyz dz .

После подстановки в эти выражения напряжений и интегрирования получаем:

¶2W

¶2W

¶2W

¶2W

M

x

= -Д

+ m

;

M

y

= -Д

+ m

;

2

2

2

2

¶x

¶y

¶y

¶x

M xy = -M yx

= -Д(1 - m)

¶2W

;

¶x¶y

Qx

= -Д

¶

Ñ2W ; Qy = -Д

¶

Ñ2W ,

¶x

¶y

где Д = -

Eh2

– цилиндрическая жесткость.

12(1

- m2 )

Напряжения можно вычислить через усилия и получить следую-

щим образом:

s

= -

M

x

z ; s

= -

M y

z ; t

= t

-

M xy

z ;

x

y

xy

yx

I

1

I

1

I

1

txz

=

Qx S y

;

t yz

= -

Qy Qx

;

I = h3 /12 .

I

I

Статические моменты S y и Sx относительно осей y и x вычисля-

ют для части единичной площади, расположенной по одну сторону от того уровня, на котором определяются касательные напряжения.

Разрешающее уравнение для изотропных прямоугольных плит постоянной толщины на жестких опорах имеет вид

Ñ2Ñ2W (x, y) = 1 [ p(x, y) + ¶mx (x, y) + ¶my (x, y) .

Д¶x ¶y

173

Для ортотропных плит разрешающее уравнение сводится к виду

¶4W

+ a

¶2W

+ p ¶4W =

p(x, y)

;

¶x4

¶x2 y 2

¶y 4

Дx

a =

2(Д1 + 2Дxy )

b = Дy

;

Дx ;

Дx

Дx =

E¢ h3

E¢y h3

E¢y h3

Gh3

х

;

Дy

=

; Д1 =

; Дxy

=

; H = Д1 + 2Дxy .

12

12

12

12

Для изотропной плиты α = 2; β = 1 .

Пример решения задачи о расчете плит (решение А.П. Пше-

ничника) [58].

Дифференциальное уравнение изотропной плиты на упругом основании с постоянным коэффициентом жесткости:

Ñ2Ñ2W =

-

,

q

r

Д

где Ñ2 =

¶2

+

¶2

; r = C W ; Д =

Eh3

.

¶x2

¶y 2

э

12(1 - m2 )

Аналитические методы расчета строятся, как правило, на основе вариационного принципа Лагранжа. Равновесному состоянию системы соответствует стационарное значение ее полной энергии Э, а признаком стационарности является равенство нулю вариации dэ , соответст-

вующее произвольным бесконечно-малым возможным перемещения системы.

Потенциальная энергия деформирования:

	1	∫	L	∫	B
U =						[Ñ2 E(x, y)]2				+ CэДw2 (x, y) +
2			0		0
							¶2W (x, y)		2		¶2W (x, y) ¶2W (x, y)
+ 2(1- m)										-							.
							¶x¶y				¶x	2		¶y	2

Потенциал воздействий:
V = ∫	L	∫	B		¶W (x, y)		¶s .
			p(x, y) ¶x¶y + ∫ M (s)		¶n	- Q(s)W (x, y)
	0		0

174

Граничные условия для плиты со свободными краями при х = 0,

х = L:

∂ 2W + μ	∂ 2W	= 0 ;	∂3W + (2 + μ)	∂3W	= 0 .
				∂y∂x2
∂x2	∂y 2		∂x3

В основу расчета железобетонных плит во всех стадиях деформирования до исчерпания несущей способности положена теория деформирования железобетона с трещинами, разработанная Н.И. Карпенко (1976). Расчет плит с трещинами сводится к расчету физически нелинейных анизотропных пластин в общем случае анизотропии.

Система физических уравнений, описывающих поведение железобетонных плит с трещинами, имеет вид

K x = − ∂ 2W = B11M x + B12 M y + B13M xy ;

∂x2

K y = − ∂ 2W = B12 M x + B22 M y + B23M xy ;

∂y 2

K

= −2

∂ 2W

= B M

+ B M

+ B M

;

xy

x

y

xy

∂ x

∂ y

13

32

33

∂ 2 M

x + 2

∂ 2W

+

∂

2 M y

= −q ,

∂x2

∂ x ∂ y

∂y 2

где K x , K y , K xy – кривизны;

M x ,

M y , M xy

–

изгибающие моменты;

Bik (i, k = 1, 2, 3) – коэффициенты, значения которых зависят от схемы

трещин, армирования, напряжения деформированного состояния и других физических и геометрических характеристик:

B13 > 0,

B23 > 0

при M xy

> 0 ;

B13 < 0,

B23 < 0

при M xy

< 0 .

Разрешающие уравнения анизотропной плиты имеют вид

∂4W

+ (2

+ 4

)

∂4W

(

∂2W

)2

+

B

B

B

∂x2∂y2

11 ∂x4

12

33

∂y2

2

2

2

4

+ 4

B

∂ W + B

∂ W

∂ W

+ B

∂ W

+ C W = q

(x, y).

4

13

∂x

2

23

∂y

2

∂x∂y

22

∂y

э

э

175

Этому уравнению соответствует функционал

∞

2

2

2

2

2

1

∞

∂ W

∂

W

∂

W

∂

W

∫ ∫

Э(w) =

2

−∞

B11

∂x

2

+ 2B12

∂x

2

∂y

2 + B22

∂y

2

+

−∞

2

2

2

2

2

∂

W

∂ W

∂

W

∂

W

33

13

23

+ 4B

+ 4

B

+ B

dxdy +

∂x∂y

∂x

∂y2 ∂x∂y

2

+

1

∫−∞∞ ∫−∞∞

W 2dxdy − 2∫−∞∞ ∫−∞∞ qэ (x, y)W dxdy,

C3

2

где

= θBik ;

θ –

характеристическая функция.

Bik

1, x Ω, y Ω

или

1, p(x, y) > 0;

θ(x, y) = θ(x, y) =

θ(x, y) =

0, x, y Ω

0, p(x, y) < 0,

где

p(x, y) = 0

–

уравнение линии границы плиты.

Моменты и поперечные силы в плите определяются по формулам:

2

2

2

M

= −

∂

W

+ B

∂

W

+

2B

∂

W

;

B

∂x

∂y

∂x∂y

x

11

2

12

2

13

∂2W

∂2W

∂2W

M = − B

+ B

+

2B

;

∂x

∂y

y

12

2

22

2

23

∂x∂y

∂2W

∂

2W

∂2W

M = − B

+ B

+ 2B

;

∂x

∂y

xy

13

2

23

2

33

∂x∂y

∂3W

∂3W

∂3W

∂3W

Q

= − B

+ 3B

+ (B + 2B )

+ B

;

2∂

∂2

∂

∂y3

x

11 ∂x3

13 ∂

y

12

33

y

23

x

x

∂3W

∂3W

∂3W

∂3W

Q

= − B

+ 3B

+ (B + 2B )

+ B

,

23 ∂

∂

∂

2∂

∂y3

y

13 ∂x3

2

x

12

33

y

22

y

x

где

= B = Д;

= μД;

= Д(1 − μ)

;

= В

= В = В = 0 ;

B

B

В

В

11

22

12

23

2

13

23

32

31

Д –

цилиндрическая жесткость.

176

Для плит со свободными краями вариация функционала Э = U + V удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и граничным условиям.

8.3.ТИПЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1.В зависимости от краевых условий различают следующие типы задач.

Первая основная задача – определить упругое равновесие тела по заданным на его поверхности внешним усилиям.

Вторая основная задача – определить упругое равновесие тела по заданным смещениям точек его границы L.

Основная смешанная задача – определить поля смещений и напряжений, когда на одной части границы тела заданы внешние усилия,

ана остальной – упругие смещения.

2.В зависимости от характера воздействия различают задачи:

–статические и квазистатические: в первом случае деформирование происходит настолько медленно, что инерционными силами пренебрегают, квазистатическое напряженное состояние бывает при постоянных во времени инерционных силах (задачи ползучести при постоянных во времени внешних воздействиях);

–динамические: в уравнениях равновесия учитывают инерционные составляющие объемных сил:

X (t) = ρu(t) , Y (t) = −ρϑ(t) ,		Z (t) = −ρω(t) ;
&&	&&	&&

– температурные: определяют напряжения и деформации при изменении температурного поля; для упругих температурных задач закон Гука имеет вид

1

σ

= kε

δ

+ 2μ

ε

−

δ

ε

− k

(T − T )δ

.

3

ik

jj

ik

ik

ik

jj

a

0

ik

В зависимости от формы тела и расположения нагрузки различают задачи:

–об объемном напряженном состоянии;

–о полном напряженном состоянии;

–о тонкостенных системах (тонких пластинах и оболочках);

–об осесимметричных задачах для тел вращения.

При объемном напряженном состоянии решения определяются следующими системами дифференциальных уравнений:

статические или динамические уравнения

σik ,i + ρgi = 0	или ρui ;
	&&

177

геометрические уравнения

2εik = ui,k + uk ,i ;

физические уравнения

σik = λδik ε jj + 2μεik .

Система содержит 15 уравнений: шесть компонентов тензора напряжений (σ x , σ y , σ z , τxy , τ yz , τzx ) , шесть компонентов тензора де-

формации (εx , ε y , εz , εxy , ε yz , ε zx ) и три компонента вектора переме-

щений (u, ϑ, ω) .

Кроме того, должны удовлетворяться условия совместности (неразрывности) деформаций:

∂εij

+

∂ε

kl

−

∂2ε jt

−

∂2ε

ik

= 0 ,

∂x

∂x

∂x ∂x

∂x ∂x

∂x

∂x

k

l

j

k

j

l

i

i

вболее компактной форме

εij,kl + εkl,ij − ε jl,ik − εik , jl = 0 .

Применяют следующие математические методы решения задач:

–прямой способ – непосредственное интегрирование уравнений теории упругости;

–обратный способ – задаются перемещениями как функциями координат точки, определяют деформации, по ним – напряжения, зная которые, можно установить внешние нагрузки, удовлетворяющие заданным перемещениям;

–полуобратный метод – задаются частью внешних сил и частью перемещений и определяют остальные;

–с использованием функции напряжений (плоская задача, а в ряде случаев, и объемная)

σx = ∂2ϕ∂y2 ; σ y = ∂2ϕ∂x2 ; τxy = − ∂2ϕ(∂x, ∂y) .

После подстановки их в уравнение совместности получают

	∂ 4ϕ	+ 2	∂ 4ϕ	+	∂4ϕ	= 0 .
	∂x4		∂x2∂y 2		∂y4

Необходимо найти вид функции напряжения ϕ(x, y) , удовлетворяющей этому бигармоническому уравнению и граничным условиям.

178

Плоское деформированное состояние. Оно реализуется в про-

тяженных телах на достаточном удалении от их торцов при нагружении силами, равномерно распределенными вдоль образующих ( ez = 0 ).

Решают два уравнения равновесия:

¶s

x

+

¶txy

+ x = 0 ;

¶sy

+

¶txy

+ y = 0 ,

¶x

¶y

¶y

¶x

одно уравнение совместности деформации

¶

2e

x

+

¶2e y

=

¶2exy

или

Ñ2 (sx + sy ) = 0 ,

¶y 2

¶x2

¶x¶y

где Ñ2 =

¶2

+

¶2

.

¶x2

¶y2

Плоское напряженное состояние. Оно возникает в тонкой пла-

стинке, нагруженной усилиями в ее плоскости, равномерно распределенными по толщине. Напряжения sx , txz и tyz равны нулю на обеих

плоскостях и по толщине.

Краевые задачи вязкоупругости. Система уравнений изотерми-

ческой изотропной линейной задачи вязкоупругости

	t				t
	sij (t) = dij ∫ R1 (t - t)[dekk (t) / dt)]dt + 2 ∫ R2 (t - t) [deij (t) / dt]dt;
	−∞				−∞
		t		¶eij	(t)
	Sij	= 2 ∫ R2	(t - t)			dt ;
				¶t
		−∞

2eij (t) = uij (t) + u ji (t) ,

где i обозначает частное дифференцирование по xi .

Уравнения состояния (определяющие соотношения для напряжений, теплового потока, энтропии, внутренней энергии и т.д.

(J.T. Oden, 1972; C. Truesdull, 1972).

При составлений этих уравнений должны пользоваться следующими правилами:

уравнения состояния должны согласовываться с физическими законами сохранения: массы, баланса и момента количества движения, сохранения энергий и неравенства Клаузиуса– Дючена;

179

принципом детерминизма, т.е. переменные состояния (σij, υ, η, ψ) определяются движением и температурой вплоть до настоящего времени включительно (исключается изменения материала от будущих событий);

равноприсутствия: любая величина, принимаемая в качестве переменной в каком-нибудь одном уравнении состояния, должна присутствовать во всех уравнениях состояния;

локальное действие: на переменные состояния в точке х несущественно влияют значения независимых переменных в материальных точках, удаленных от х;

материальная независимость от системы отсчета: уравнения состояния инвариантны относительно преобразований наблюдателя; здесь делается выбор о том, что определяющие функционалы зависят от предыстории графиков движения, а не от предыстории самого движения;

материальная симметрия: форма уравнений состояния должна быть инвариантна относительно группы унимодулярных преобразований материальной системы отсчета.

Механика силового сопротивления, деформирования и раз-

рушения железобетона. Наиболее значительными работами в этом направлении в последнее время являются исследования: В.М. Бонда-

ренко (1982, 1984, 2002), А.А. Гвоздева (1949, 1964), Н.И. Карпенко (1965, 1976, 1996), Г.А. Гениева (1981), В.И. Колчунова (1988 – 2004),

Л.Р. Маиляна (2007) и др.

Исходные положения механики деформируемого твердого те-

ла (В.М. Бондаренко, В.И. Колчунов, 2004):

–понятие о «малости» элементарного тела по сравнению с генеральными размерами;

–гипотеза о сплошности, используемая часто в виде условия

осовместности деформации компонентов композиционных материалов (заметим, что в сыпучих средах, когда нет сил сцепления, возможно образование разрывов сплошности без изменения внутренней энергии);

–постулат о суперпозиции состояний, перенесенный из квантовой механики (Е. Шредингер), вводимый в виде предпосылки о «равнодоступности» Фрама– Каминского, заимствованный из физхимии, или в виде гипотезы о взаимонезависимости частных деформаций (С.Е. Фрайфельд, В.М. Бондаренко);

–	принцип суперпозиции	для деформации	ползучести
(В. Больцман– Б. Персоц);
–	энтропийная постановка	Гульдберга– Вааге для	процессов,

протекающих во времени при отсутствии внешних возмущений;

180