ledenev-a

II. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ

Наибольший вклад в механику разрушения внести Ш. Кулон

(1773), В.Д.М. Ренкин (1857), О. Мор (1882), А. Гриффитс (1920),

Я.Д. Фридман (1941), Е.О. Орован (1950), А. Надаи (1954), Дж. Ирвин

(1960), Д. Друкер (1964), В.В. Новожилов (1965), С.Н. Журков (1969), Л.И. Седов (1976), Г.П. Черепанов (1983), Ю.В. Зайцев (1991),

Д.А. Коллинз (1994).

Глава 6. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ И ГРУНТОВ ОСНОВАНИЙ. ВЯЗКОСТЬ

6.1. ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

Ползучесть материалов (металлов) – изменение деформаций во времени при постоянном нагружении. В общем случае ползучести изменение деформаций сопровождается изменениям напряжений. Устанавливается зависимость между деформациями, напряжениями, скоростями их изменения и временем. Предложены три технические теории ползучести: старения, течения и упрочнения [33, 40, 48, 59, 64].

Принимают, что компоненты скоростей деформаций ползучести определяются формулой

ξijc = λ ∂∂σfij ,

где f – потенциал ползучести. Интенсивность скоростей деформаций

ξi =

2

(ξx − ξy )2

+ (ξy − ξz )2 + (ξz − ξx )2 +

3

(η2xy + η2yz + η2zx ) =

2

ξij

ξij .

3

2

3

Из совместного решения последних двух уравнений получают

ξic

λ =

3

.

2

∂f

.

∂f

∂σ

∂σ

ij

ij

Уравнение f

= 0 называют гиперповерхностью ползучести.

Полагают материал изотропным и изменение объема при ползу-

чести не происходит (εiic = 0).

Зависимости компонентов скоростей

111

деформаций ползучести от компонентов девиатора напряжений имеют вид

ξijc = 3 ξic (σij − δijσ0 ).
2 σi
Теория старения. Используют гипотезу о существовании потен-
циала деформаций ползучести
ξijc = λ	∂f1 .
	∂σij

В функцию f входит второй инвариант девиатора напряжений и параметр Удквиста. Функция f зависит от меры скоростей деформаций ползучести, т.е. интенсивности скоростей деформаций ползучести.

Потенциал ползучести f1 зависит от второго инварианта девиа-

тора напряжений, интенсивности деформаций и времени. Уравнения поверхности потенциала ползучести

f =

3

s

s

− [φ (ε , t )]2

= 0.

2

1

ij

ij

1

1

Учитывая, что

σ

=

3

s

s

,

i

2

ij

ij

где sij = σij − δij σ0 – компоненты девиатора напряжений, имеют

σi = φ1 (εi , t ) .

Для одноосного растяжения σi = σ и εi = ε σ = φ1 (ε, t ) .

При заданной температуре между деформацией, напряжением и временем существует определенная зависимость в координатах ε, σ, t. Рассекая поверхность плоскостями, перпендикулярными оси σ, получают кривые ползучести (рис. 6.1, 6.2, 6.3).

Важнейшей характеристикой является предел ползучести – напряжение, при котором через определенный промежуток времени деформация ползучести при данной температуре получит заранее заданную величину.

112

Пунктир – предел ползучести (напряжение, при котором через определенный промежуток времени деформация ползучести при данной температуре получит заранее заданную величину, например 1% за

100 000 часов при 500° с; σ1 /100 000 …).

Рис. 6.1. Проекция кривой ползучести на плоскость εt: e¢ – мгновенная деформация (упругая или упруго-пластическая); e² – деформация ползучести; I – неустановившаяся ползучесть;

II – установившаяся ползучесть; III – прогрессирующая ползучесть

Рис. 6.2. Кривые ползучести при разных уровнях температуры

113

Рис. 6.3. Кривые ползучести при разных уровнях напряжения

Теория течения. Потенциал ползучести f зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интенсивности скоростей деформаций ползучести и времени

f =	3	s s − [φ		(ξc	, t )]2	= 0.
			2
	2 ij ij			j

При σi = 3 sij sij

2

σi = φ2 (ξci , t ).

Для одноосного растяжения σi = σ и εi = ε σ = φ3 (ξc , t ).

Наиболее распространенной зависимостью скорости деформаций ползучести от напряжения и времени является степенная

ξc = σn B ,

где n – коэффициент для определенного материала, зависящий от температуры; В – для определенного материала функция времени и температуры.

Для неодноосного напряженного состояния

σ			ξc 1/ n	или ξ		= σn B.
	i	=	i		i
						i
			B

114

Теория упрочнения. Потенциал скоростей деформаций ползучести зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интенсивности деформаций ползучести и параметра Удквиста

		3									2
							c		c
	f =		sij sij	−	φ3		ξ j	, ∫ dεi			= 0 ;
		2

σi = φ3 (ξcj , ∫ dεic ).

При σi = σ (одноосное растяжение) εci = εc ; ξci = ξc ;

σ = φ3 (ξc , t ).

По теории упрочнения скорость деформации ползучести является функцией напряжения и деформации ползучести, от времени не зависит.

Релаксация – изменение во времени напряжений при постоянной

деформации (рис. 6.4). Полная деформация ε = εe + εc = const , т.е. составляющие полной деформаций во времени перераспределяются. Деформация ползучести растет, а упругая часть уменьшается.

После снятия нагрузки происходит процесс упругого и пластического последействия (рис. 6.5).

Полная деформация

ε = ε(0) = σ(0) = σ + εc .

E E

Рис. 6.4. Кривая релаксации

115

Рис. 6.5. Кривые упругого (1) и пластического (2) последействия

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем:

1 dσ = − dεc = −ξc .

E dt

dt

За счет увеличения деформации ползучести напряжение будет непрерывно уменьшаться.

Неустановившаяся и установившаяся ползучесть. Первая про-

текает при изменяющихся во времени напряжениях; вторая – при постоянных. Установившаяся ползучесть существует в случае статически определимых задач при постоянных во времени внешних силах.

В статически неопределимых задачах при определенном напряжении добавочно рассматривают деформации, изменяющиеся во времени за счет ползучести материала.

Исследования показали, что при неустановившейся ползучести напряжения непрерывно изменяются во времени, приближаясь к величинам, полученным в решении задачи установившейся ползучести.

Для затухающей ползучести [83]

limt →∞ [ε(t)] = const; ν = dε(t) < 0; dt

установившейся ползучести

limt →∞ [ε(t)] = ∞; ν = dε(t) = const ; dt

116

прогрессирующей ползучести

limt→∞ [ε(t)] = ∞; ν = dε(t) → ∞. dt

Ядро ползучести – скорость ползучести по действием единичного напряжения σ. Наиболее распространенными являются экспоненциальные ядра

K (t − τ) = δexp [−δ1 (t − τ)] и K (τ) = δexp [−δ1τ] .

Они описывают затухающую ползучесть.

Эффект Баушингера – после того, как материал испытал воздействие осевого усилия одного знака (например, растяжения) в области пластических деформаций, сопротивляемость этого материала пластической деформации при воздействии сил другого знака понижается

(рис. 6.6).

Выносливость материала. Вибрационной прочностью называется способность материала противостоять переменной нагрузке без наступления усталостного разрушения. Несущая способность материала снижается с увеличением числа циклов (рис. 6.7), уменьшением коэффициента асимметрии цикла. Особую опасность представляет разнознаковое нагружение.

Рис. 6.6. Схема к пояснению эффекта Баушингера

117

Рис. 6.7. Кривая испытаний на выносливость (кривая А. Веллера, 1858):

1 – предел выносливости

6.2. ВЯЗКОСТЬ

Приведем некоторые данные из [64, 72]. В упругом теле компоненты малых деформаций являются линейными функциями компонент напряжений. Материал вязкий, если скорость необратимых перемещений точек относительно друг друга возрастает с ростом напряжений, вызывающих деформацию вещества. В случае идеально вязкого вещества компоненты необратимых деформаций возрастают пропорционально соответствующим компонентам напряжений. Скорость и движение считаются малыми. Инерционными членами, содержащими ускорение элементов материала, можно пренебречь. Внешние и внутренние силы находятся в статическом равновесии. Часто принимают материалы в упругой области сжимаемые, а в пластической – несжимаемые (µ = 0,5). Вязкость твердых веществ становится заметной при повышенных температурах (прямой стеклянный стержень, нагруженный грузом при температуре, приближающейся к температуре размягчения стекла). Скорость удлинения пропорциональна величине груза. Характерные диаграммы деформирования приведены на рис. 6.8.

Пусть εе – упругая деформация, εрl – остаточная деформация удлинения, так что

ε = εе + εрl ,

γе и γрl – упругий и остаточный относительные сдвиги в наклонном направлении

γ = γl + γрl = τ / G + γpl ,

118

а)		б)

в)

г)

д)		е)

Рис. 6.8. Типичные кривые испытаний на растяжении:

а– ползучесть; б – при постоянной скорости изменений деформаций;

в– при постоянной скорости изменения напряжений; г – релаксация напряжений;

д– при постоянной скорости деформации ε′ = const;

е– при постоянной скорости изменения напряжений σ′ = const

119

для упругого материала

σ = Eεe ,

для идеально вязкого необратимого несжимаемого материала

σ = 3µ dεPl = 3με′pl .

dt

При простом растяжении вязко-упругого тела

		ε′ = ε′ , ε′ = ε′				= −ε′ / 2 ,
		1	pl	2	3	pl
		γ′	= ε′	− ε′	= (3 / 2) ε′			,
		max	1	2		pl
	γ′max = σ / 2 = μγ′max = (3 / 2) ε′pl ,
γ′	= τ / μ; γ	′ = γ′	+ γ′	= γ′	+ (G / μ) γ		1		= τ′ / G + τ / μ,
pl		1	pl	1

где µ – коэффициент вязкости.

Чисто вязкое вещество. Для него можно пренебречь бесконечно малыми упругими частями деформации. Если вещество не сжимаемо и течет с малыми скоростями, а возникающим ускорением можно пренебречь, то тело находится в статическом равновесии. Тогда между напряжениями и скоростями будут следующие зависимости [33, 48]:

σ x = σ + 2µ ε′x , γyz = µ γ′yz ,

σy = σ + 2µ ε′y , τzx = µ γ′zx ,

σz = σ + µ ε′z , τxy = µ γ′xy ,

где µ – коэффициент вязкости;

ε′ ,

γ′ – весьма малые скорости дефор-

маций

ε′ =

∂u , ε′ =

∂v

, ε′

=

∂w

,

x

∂x

y

∂y

z

∂z

γ′

= ∂ω + ∂ν

, γ′

= ∂v + ∂w , γ′

= ∂v + ∂ν

,

yz

∂y

∂z

zx

∂z ∂x

xy

∂y

∂x

ε′ = ε′

+ ε′ + ε′ = ∂u

+ ∂v + ∂w = divw = 0.

x

y

z

∂x

∂y

∂z

120