3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

3.1. Силовые линии и поток вектора. Желая исследовать какое-либо векторное поле, мы можем выделить определенный объемV и сосредоточить внимание на картине силовых линий в этом объеме. На рис. 3.1 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые, возможно, при этом встретятся (пунктиром изображена границаS областиV). Как видно, в одном из случаев внутри объема находится «источник» силовых линий (рис. 3.1а) либо «cток» (рис. 3.16), т. е. линии выходят изV или, соответственно, входят вV через границу S. Но силовые линии могут также пронизыватьV насквозь, не начинаясь и не кончаясь в этой области (рис. 3.1е). Наконец, замкнутые силовые линии могут совершенно не пересекать границуS(рис. 3.1г). Вообще, когда задана векторная функция и изучается соответствующее векторное поле, закономерен вопрос, является ли некоторая точкаР источником (стоком) или не является. На такой вопрос, как будет видно, легко ответить аналитически, не прибегая к помощи графики.

Рис. 3.1

Начнем с понятия потока вектора. Потоком вектораF через границу (поверхность)Sназывается интеграл

, (3.1)

где векторный дифференциал поверхности понимается как произведение обычного дифференциалаds на единичный вектор нормалик поверхности, т.е.; положительной считают внешнюю нормаль (что для замкнутой поверхности определяется однозначно). Процесс получения подынтегрального выражения при вычислении потока вектора поясняет рис. 3.2. Подынтегральное выражение, будучи скалярным произведением двух векторов, положительно, когда угол между ними острый, и отрицательно при тупом угле.

Рис 3 2

Поэтому поток вектора обязательно положителен, если все силовые линии выходят через рассматриваемую поверхность наружу (образуя острый угол с её внешней нормалью), как, например, на рис. 3.1а, и отрицателен, когда онивходят внутрь (рис. 3.16). В случае замкнутой поверхностиSобычно пишут:

(3.1а)

Покажем, что поток вектора через поверхностьSможно измерять, числом пересекающих её силовых линий при условии, что их густота характеризует интенсивность поля. Рассмотрим сначала векторный элемент поверхности(элемент площадиΔs на рис. 3.2 заштрихован). Элементарный поток ΔФ, проходящий черезΔs, равен

,(3.2)

где - проекция векторного элементана направлениевектора Как видно из рис. 3.2, представляет собой площадку, через которую под прямым углом проходят все силовые линии вектора , пересекающие элемент Δs; число их обозначим ΔN. Густота силовых линий характеризуется отношением ΔN/,а по условию последнее должно быть пропорционально абсолютному значениюF вектора, т. е.

,(3.3)

(k - коэффициент пропорциональности). Таким образом, согласно (3.2) и (3.3)

,(3.4)

т. е. элементарный поток измеряется числом силовых линий, проходящих через соответствующий элемент поверхности. Складывая потоки элементарных площадок, на которые разбита поверхностьS, находим:

. (3.5)

Следовательно, полный поток Ф вектора через поверхностьSизмеряется числомN силовых линий, её пересекающих, что и требовалось показать. При этом число выходящих силовых линий считается положительным, а число входящих - отрицательным. Наконец, необходимо ещё одно замечание. Соотношение (3.5) мы будем рассматривать как точное, хотя практически точность выражения потока числом силовых линий зависит от степени грубости построенной картины. В сущности, формула (3.5) может рассматриваться как точная, если число силовых линий, отнесенных к единице площади, условно считается непрерывной функцией, приращения заменяютсядифференциалами, а суммирование потока по элементам - интегрированием.

3.2. Дивергенция. По определению, дивергенция вектора , обозначаемая символом div , выражается следующим предельным соотношением:

(3.6)

где под Sпонимается замкнутая поверхность, ограничивающая ΔV.

Для иллюстрации введенного понятия обратимся к рис. 3.3.

Положим, что поток вектора через S для рассматриваемого случая равен Ф, Ф > 0. Одновременно он измеряется числом выходящих через S силовых линий. Поэтому, если предельный переход в (3.6) производить, стягивая S вокруг точки Р (рис. 3.3а), из которой силовые линии выходят, то как бы ни уменьшался объем, поток через его границу останется равнымФ. В пределе приΔV → 0 получим

в точкеР.

Если же, стягивая S, мы обойдем точкуР (рис. 3.36), то, начиная с этого момента, число силовых линий, входящих в ΔV, окажется равным числу линий выходящих. Следовательно, понимая предельный переход в (3.6) как стягиваниеSк любой из точек, не совпадающих сР, будем иметь:

вне точкиР.

Рис. 3.3

Очевидно, если бы вместо поля с точечным источником мы рассмотрели поле с подобным же стоком (см. рис. 3.1б), то расхождение везде было бы равно нулю, кроме одной точки, в которой оно имело бы отрицательное значение. В полях жебез источников и стоков (рис. 3.1, в, г), расхождение равно нулю во всех точках. Поля с нулевым расхождением называются соленоидальными; их силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они или замкнуты, или уходят в бесконечность (они могут также оканчиваться на границе области, в которой задано векторное поле).

Из определения оператора дивергенции следует его физический смысл: это растекание физической величины, её расхождение.

3.3. Дивергенция в декартовых координатах. От общего определения дивергенции (3.6) можно перейти к её дифференциальному выражению в декартовой системе координат. Для нахождения в некоторой точкеМ(х, у, z) проведём через неё координатные линии и построим, как это показано на рис. 3.5, элементарный параллелепипед. Теперь надо вычислить поток вектора через поверхность этого параллелепипеда. Очевидно, полный поток Ф можно разбить на три части (Ф = Ф₁+ Ф₂+ Ф₃), каждая из которых соответствует двум противоположным граням. Так,Ф₁ - это поток через грань1 и противоположную ей грань1' (невидимую на рис.). Чем меньше грань, тем с большим основанием при вычислении потока можно заменять интеграл (3.1) приближенным выражением

Рис. 3.5

(ΔS-площадь грани,- поток через неё). Поступая так, учтём, что на гранях1 и1' - единичный вектор внешней нормали равенсоответственно, а ΔS= ΔyΔz. Таким образом,

.

Заменив через

найдем:

,

и точно также:

Согласно (3.6) в точке М(х, у, z)

(в пределе приближённые выражения становятся точными), т. е.

(3.7)

3.4. Теорема Остроградского-Гаусса.В заключение получим важное соотношение, которое составляет содержание теоремы Остроградского-Гаусса. Рассматривая объемV с граничной поверхностьюS(рис. 3.6), разобьём его на элементыΔV_i.Каждый из этих элементарных объёмов может быть настолько мал, что ошибка определения дивергенции векторавнутриΔV_iпо приближенной формуле

Рис. 3.6

( есть вΔV_i) вместо (3.6) будет меньше некоторой наперёд заданной величины. Поэтому справедливо:

гдеε-как угодно малая положительная величина, соответственно которой выбран размерΔV_i.

Полагая, что неравенство (с данным ε) выполнено дли каждого элемента, произведём суммирование поi, которое даст:

Дело в том, что поверхностные интегралы по всем внутренним границам, разделяющим смежные элементыΔV_i, взаимно уничтожаются: на каждой общей границе (см. рис. 3.6) нормали для двух соседних элементов противоположны. Поэтому остаются лишь поверхностные интегралы по тем частям поверхностей элементов, которые составляют внешнюю границуS.

Переходя в пределе при N→∞ (бесконечное «измельчение» элементовΔV_i) от суммы к интегралу и учитывая произвольную малостьε, получаем соотношение:

(3.8)

Это и есть формулировка теоремы Остроградского-Гаусса, согласно которой объёмный интеграл от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через замкнутую граничную поверхность.