(по цифровому вещанию) Dvorkovich_V_Cifrovye_videoinformacionnye_sistemy

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

Рис. 9.13. Структура низкочастотного (а) и высокочастотного (б) КИХ-фильтров при

четном количестве отсчетов цифровой решетки

Эквивалентно использование соотношения:

(9.42)

H(x) ··

Kh(x) + G(x) ·· Kg(x) = 2,

¯

¯

H(x) Kh(x) + G(x) Kg(x) = 0,

где

N

2n − 1

H¯ (x) = 2j

(

1)n

·

h

(2n−1)/2

·

sin(π

x);

n=1

−

2

M

G¯(x) =

−

1)n

·

·

2m − 1

2

(

g

(2m−1)/2

cos(π

x).

m=1

−

2

Число N +M = 2K должно быть четным. Детерминант системы уравнений (9.42) можно записать в виде:

	N	n−M
det(x) = 2	n=1	(−1)n · [(−1)k − 1]·h(2n−1)/2 · g(2(n−k)−1)/2 · cos(πkx) +
		k=n−1
N	n+M−1
+ 2		(−1)n · [(−1)k+1 + 1]·h(2n−1)/2 · g(2(k−n)−1)/2 · cos(πkx) =

n=1 k=n
	= A0 + Ak · cos πkx (9.43)
	k

Исследуя это соотношение, аналогично изложенному выше, можно показать, что: коэффициенты Ak при всех нечетных значениях k равны нулю;

min{N,M}

A0 = 4	(−1)n · h(2n−1)/2 · g(2n−1)/2;	(9.44)
	n=1

если A0 = 2 и все значения A2k при k = 0 приравнять к нулю, то восстанавливающие фильтры являются КИХ-фильтрами и

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании

¯

¯

(9.45)

Kh(x) = G(x);

Kg(x) = H(x);

¯

¯

¯

из определения функций H(x), H(x), G(x), G(x) следует, что H(1) = 0, H(0) = 0,

¯

G(0) = 0, G(1) = 0; можно доказать также, что если

H(0) = 2

N

h

= √2;

A2k = 0,

k

= 0;

M

!

m

n=1

(2n−1)/2

G(1) = g0

+ 2 m=1 (−1) g(2m−1)/2 = √2,

!

{

N,M

}

n

min

то 2

n=1

(−1) · h(2n−1)/2 · g(2n−1)/2 = 1 и A0 = 2.

Таблица!

9.2. Параметры КИХ-фильтры с четным числом отсчетов цифровой решетки

Тип

h1/2

h3/2

h5/2

h7/2

h9/2

h11/2

h13/2

h15/2

h17/2

банка

g1/2

g3/2

g5/2

g7/2

g9/2

g11/2

g13/2

g15/2

g17/2

√

2/2

1/√

2

1/√

2

2/6

1/√

2

√

√

1/ 2

−1/8 2

−1/8 2

3/2

√

1/2

√

4/4

2

2

√

√

3/4 2

−3/4 2

4/8

0,79549

−0,08839

0,64302

−0,13037

−0,05966

0,00663

6/6

0,92685

−0,19178

−0,02796

0,57159

−0,15865

−0,02313

6/10

0,79502

0,04443

−0,13234

0,61023

−0,13676

−0,06635

−0,00665

0,01982

8/8

0,85243

−0,07903

−0,12946

0,06317

0,59770

−0,17570

−0,04455

0,02174

8/12

0,87834

−0,12222

−0,13234

0,08333

0,59247

−0,19503

−0,046422

0,03240

−0,00097

0,00061

10/10

0,95972

−0,20193

−0,153082

0,11281

−0,01041

0,56320

−0,20458

−0,02744

0,03043

−0,00281

10/14

0,72294

0,06177

0,09762

0,01435

0,00566

0,66927

−0,12086

−0,08869

−0,00005

0,00523

−0,00062

−0,00024

12/12

0,98458

−0,23183

−0,16533

0,13003

−0,00284

−0,00749

0,55896

−0,21308

−0,02582

0,04000

−0,00054

−0,00143

12/16

0,83729

−0,06918

−0,16953

0,085012

0,02353

−0,01692

0,59260

−0,19976

−0,05335

0,03983

0,00345

−0,00343

0,00061

−0,00044

14/14

0,88664

−0,11406

−0,17114

0,10839

0,01655

−0,02133

0,00206

0,58656

−0,20810

−0,05111

0,04621

0,00316

−0,00602

0,00058

16/16

0,85855

−0,12399

−0,08598

0,05468

0,02137

−0,01716

−0,00278

0,00241

0,60752

−0,20251

−0,07290

0,05207

0,01350

−0,01105

−0,00133

0,00116

18/18

0,78189

0,04881

−0,03671

0,00673

0,00548

−0,00085

−0,00073

0,00006

0,00005

0,64549

−0,17213

−0,10328

0,03688

0,02869

−0,00671

−0,00567

0,00061

0,00054

В табл. 9.2 приведены параметры нескольких ортогональных фильтров, рассчитанных по приведенной методике. Обозначение фильтров, приведенное в пер-

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

вом столбце, определяет число дискретных отсчетов фильтра при его реакции на одиночный входной сигнал: 2N/2M . Существенно, что прореживание (децимация) сигналов на выходах низкочастотного и высокочастотного фильтров в данном случае должно осуществляться синфазно.

Заметим, что нечетные производные функции H(x) в точке x = 0 равны нулю, а в точке x = 1 равны нулю четные производные этой функции. Противоположный характер имеют производные функции G(x).

На рис. 9.14 приведены амплитудно-частотные характеристики фильтров 2/2 (а, вейвлет Хаара) и 18/18 (б).

В отличие от фильтров, рассмотренных в предыдущем разделе, в данном случае характеристики цепей после децимации имеют близкие к равномерным частотные характеристики и нелинейные фазовые характеристики. При этом АЧХ могут быть рассчитаны по формуле

Mod H (x) = Mod H (x) =

=

& N N

h(2n

−

1)/2 h(2m

−

1)/2

·

cos πx

·

[n

−

1/2

( 1)n+m

·

(m

−

1/2)]. (9.46)

'n=1 m=1

·

− −

'

(

Рис. 9.14. АЧХ фильтров 2/2 (а) и 18/18 (б)

Для функций Mod G (x) и Mod G (x) формула аналогична, но вместо про-

изведения h(2n−1)/2 · h(2m−1)/2 необходимо подставить g(2n−1)/2 · g(2m−1)/2. Для низкочастотного и высокочастотного фильтров банка 18/18 графики Mod G (x)

и Mod G (x) приведены на рис. 9.15.

Рис. 9.15. АЧХ ФНЧ (сверху) и ФВЧ (снизу) банка 18/18 после децимации

Групповое время запаздывания (производная фазовой характеристики) этих фильтров после децимации имеет вид:

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании

tgr [H (x)] = −tgr [H (x)] =

2−

· (−1)n+1h(2n−1)/2 ×

= Mod H·

(x) )n=1 m=1

1

π T

N

N 2n

3

*.

2

× h(2m−1)/2 · cos πx ·

n −

1

− (−1)n+m · m −

1

(9.47)

2

2

Формулы расчета tgr [G

(x)] = −tgr [G (x)]

могут быть получены при замене

h(2n−1)/2 · h(2m−1)/2 на g(2n−1)/2 · g(2m−1)/2 и Mod H (x) на Mod G

(x).

На рис. 9.16а и б приведены относительные характеристики группового времени запаздывания фильтров 18/18 после децимации, соответствующие первому и второму уравнениям системы (9.33).

Рис. 9.16. Относительные характеристики группового времени запаздывания фильтров

18/18 после децимации (менее изменяющаяся характеристика соответствует

ФНЧ, а более изрезанная — ФВЧ)

9.4.3. Квадратурно-зеркальные КИХ-фильтры

Аналогично производится расчет квадратурно-зеркальных фильтров, частотные характеристики которых в Z-представлении имеют вид:

H(z) = n=1 h−2n2 1		· z		+ h 2n2 1 · z−				,
N
			2n−1				2n−1
	−		2			−		2
	h−2n2 1			· z		− h 2n2 1 · z−				(9.48)
G(z) = n=1 (−1)										.
N
	n				2n−1				2n−1
			−		2	−			2

В качестве примера приведены характеристики квадратурно-зеркального фильтра 10/10. Система уравнений в данном случае дает четыре равнозначных решения, приведенных в табл. 9.3. На рис. 9.17 приведены АЧХ этих фильтров.

Таблица 9.3. Характеристики квадратурно-зеркального фильтра 10/10

h−9/2	h−7/2	h−5/2	h−3/2	h−1/2	h1/2	h3/2	h5/2	h7/2		h9/2
0,16010	0,60383	0,72431	0,13843	−0,24229	−0,03224	0,07757	−0,00624	−0,01258		0,00334
0,00334	−0,01258	−0,00624	0,07757	−0,03224	−0,24229	0,13843	0,72431	0,60383		0,16010
0,02733	0,0295	−0,03913	0,19940	0,72341	0,63398	0,01660	−0,17533	−0,02110		0,01954
0,01954	−0,02110	−0,17533	0,01660	0,63398	0,72341	0,19940	−0,03913	0,02952		0,02733

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

Рис. 9.17. АЧХ квадратурно-зеркального фильтра 10/10

Рассмотренные принципы расчета банка фильтров дискретного вейвлет-пре- образования позволяют выбрать оптимальные варианты преобразований сигналов (в том числе и многомерных) по эффективности преобразований и требований к вычислительной мощности соответствующих цифровых систем.

Эти принципы расчета могут быть использованы также и для расчета фильтров многополосных вейвлет-преобразований.

9.4.4.Кратномасштабное дискретное вейвлет-преобразование изображений

Двумерное, как и одномерное, вейвлет-преобразование реализуется с помощью операции фильтрации и прореживания выборки. Обычно при преобразовании изображений используют разделимые масштабирующие и вейвлет-функции, и обработка двумерного сигнала u(i, k) осуществляется сначала по строкам, а затем — по столбцам.

На рис. 9.18а приведена блок-схема такой процедуры. При анализе изображения сначала построчные отсчеты сигнала фильтруются двумя фильтрами (ФНЧ

иФВЧ) и производится децимация результатов фильтрации. Затем каждая из двух последовательностей полученных отсчетов, количество которых уменьшено в каждой строке в два раза, подаются на два аналогичных фильтра (ФНЧ

иФВЧ), на выходе которых выделяется четыре последовательности дискретных отсчетов, которые также подвергаются децимации.

Таким образом, после фильтрации двумерного сигнала с помощью двух ФНЧ и двойной децимации выделяется так называемая низкочастотно-низкочастотная информация, изображение которой в два раза меньше по горизонтали и вертикали по сравнению с исходным изображением (на рис. 9.18б обозначено буквами НН). После последовательной фильтрации с помощью фильтров ФНЧ–ФВЧ и децимации выделяется изображение, обозначенное на этом рисунке буквами НВ. После последовательной фильтрации с помощью фильтров ФВЧ–ФНЧ и децимации выделяется изображение, обозначенное на этом рисунке буквами ВН. И, наконец, после последовательной фильтрации с помощью двух фильтров ФВЧ и децимации выделяется изображение, обозначенное на этом рисунке буквами ВВ.

При синтезе сначала между всеми четырьмя дискретными отсчетами по столбцам вставляются нулевые отсчеты и восстанавливаются вертикальные последовательности. После соответствующего суммирования преобразованных составля-

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании

Рис. 9.18. Блок-схема вейвлет-преобразований двумерного сигнала (а) и формат преобразованного изображения (б)

ющих НН и НВ, а также ВН и ВВ по строкам между отсчетами вставляются нулевые отсчеты и восстанавливаются две горизонтальные последовательности. После их суммирования формируется двумерный сигнал uˆ(i, k), который равен исходному сигналу u(i, k) при выполнении условий, изложенных в разделах 9.4.1– 9.4.3.

На рис. 9.19б приведено двумерное дискретное преобразование изображения «Залив» (рис. 9.19а). Отсчеты части изображения НН уменьшены в два раза, а отсчеты остальных частей для большей визуальной заметности увеличены в четыре раза и помещены на уровень «серого». На рис. 9.19в и г приведены соответственно двухмасштабное и трехмасштабное разложения изображения «Залив» соответственно.

9.4.5. Использование банков трехполосных КИХ-фильтров при обработке изображений

Рассмотренный в разделах 9.4.1–9.4.2 принцип обработки может быть использован также и для расчета фильтров многополосных вейвлет-преобразований.

В качестве примера приведем методику расчета характеристик трехполосных банков фильтров, содержащих фильтры нижних частот H(x), средних частот B(x) и верхних частот G(x). В данном случае выбраны следующие соотношения:

–для фильтра нижних частот hn = h−n;

–для фильтра средних частот bn = −b−n, b0 = 0;

–для фильтра верхних частот gn = g−n.

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

Рис. 9.19. Варианты двумерного разложения изображений

Следовательно:

N

H(x) = h0 + 2	hn · cosπnx;
	n=1
M
	bm · sin πmx;	(9.49)
B(x) = 2j
m=1
	K
G(x) = g0 + 2	gk · cos πkx.

k=1

Характеристики восстанавливающих фильтров обозначим соответственно:

		¯
	¯	N
¯
Kh(x) = h0	+ 2		hn · cos πnx;
		n=1
	M
	¯			(9.50)
Kb(x) = 2j		¯	· sin πmx;
	m=1	bm
		K
Kg (x) = g¯0 + 2			g¯k · cos πkx.

k=1

В данном случае после каждого из трех входных фильтров при анализе производится децимация (обнуление) двух из каждых трех отсчетов, затем при синтезе эти нулевые отсчеты возобновляются и входной сигнал будет восстановлен при расчете характеристик восстанавливающих фильтров Kh(x), Kb(x) и Kg(z) в со-

ответствии с системой:			Kh(x) + B (x)	·	Kb(x) + G (z)	·	Kg(z) = 1,	(9.51)
	H (x) ·
	HΘ(x)		Kh(x) + BΘ(x)		Kb(x) + GΘ(x) Kg(x) = 1,
	H (x)	·	Kh(x) + B (x)	·	Kb(x) + G (z)	·	Kg(z) = 1,
		·		·		·

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании

где, как следует из рис. 9.20,

	[N/3]
HΘ(x) = h0 +		h3n	ej3πnx + e−j3πnx ;
	n=1
[(N +2)/3]				[(N +1)/3]
		h3n−2ej(3n−2)πx +
H (x) =				h3n−1e−j(3n−1)πx;
n=1				n=1
[(N +1)/3]				[(N +2)/3]
		h3n−1ej(3n−1)πx +
H (x) =				h3n−1e−j(3n−2)πx;
n=1				n=1
[N/3]
BΘ(x) =	b3n	ej3πnx + e−j3πnx		;
n=1
[(N +2)/3]				[(N +1)/3]
		b3n−2ej(3n−2)πx −
B (x) =				b3n−1e−j(3n−1)πx;
n=1				n=1
[(N +1)/3]				[(N +2)/3]
		b3n−1ej(3n−1)πx −
B (x) =				h3n−1e−j(3n−2)πx;
n=1				n=1

GΘ(x) =

G (x) =

G (x) =

[N/3]
g0 +		g3n ej3πnx + e−j3πnx ;
n=1
[(N +2)/3]			[(N +1)/3]
	g3n−2ej(3n−2)πx +
			g3n−1e−j(3n−1)πx;
n=1			n=1
[(N +1)/3]			[(N +2)/3]
	g3n−1ej(3n−1)πx +
			g3n−2e−j(3n−2)πx.
n=1			n=1

В табл. 9.4 и 9.5 приведены параметры нескольких банков трехполосных КИХ-филь- тров.

В столбце 2 табл. 9.4 приводится значение параметра Z, рассчитанного в соответствии с условием:

Z = H(0) = B(x) → max = G(1).

На рис. 9.21 приведены АЧХ трехполосных КИХ-фильтров типа 3/3/3 (а) и 9/9/9 (б).

При применении трехполосных фильтров для обработки дискретных изображений вдоль и поперек строк изображение разбивается на девять частей, как показано на рис. 9.22:

–верхнее слева изображение подвергается низкочастотной фильтрации по горизонтали и вертикали (НН),

–следующие за ним по горизонтали части сначала подвергаются низкочастотной фильтрации по строкам, а затем среднечастотной (НС) и высокочастотной (НВ) фильтрации по столбцам,

–во втором сверху ряду сначала элементы изображения подвергаются по строкам среднечастотной фильтрации, а затем, по столбцам, — низкочастотной (СН), среднечастотной (СС) и высокочастотной (СВ) фильтрации,

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

Рис. 9.20. Реакция фильтров низких (б), средних (в) и высоких (г) частот на дискретный

отсчет входного сигнала (а)

Таблица 9.4. Параметры фильтров низких, средних и высоких частот при трехполосном вейвлет-преобразовании

	Тип		h0	h1	h2	h3	h4	h5
		Z	b0	b1	b2	b3	b4	b5
	фильтра
			g0	g1	g2	g3	g4	g5
			0,73970	0,39685
	3/3/3	1,5874	0	0,73970
			0,73970	−0,39685
		1,6361	1,02259	0,40904	−0,10226
	5/5/5		0	0,81807	−0,22039
			0,58856	−0,40904	0,11476
		1,8429	1,26670	0,43193	−0,17277	0,02880
	7/7/7		0	0,74779	−0,29911	−0,04985
			0,57590	−0,43193	0,17277	−0,02880
		1,8663	1,30505	0,431916	−0,18595	0,03465	−0,00469	0,00200
	7/7/11		0	0,75103	−0,31743	−0,03873
			0,56622	−0,43620	0,18815	−0,03236
	9/9/9	1,8989	1,30222	0,44634	−0,17672	0,02837	0,00032
			0	0,77110	−0,35037	−0,02065	−0,00210
			0,54974	−0,43508	0,20048	−0,03963	−0,00063

–в нижнем ряду сначала элементы изображения подвергаются по строкам высокочастотной фильтрации, а затем, по столбцам, — низкочастотной (ВН), среднечастотной (ВС) и высокочастотной (ВВ) фильтрации.

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании
Рис. 9.21. АЧХ трехполосных КИХ-фильтров 3/3/3 (а) и 9/9/9 (б)

Таблица 9.5. Параметры восстанавливающих фильтров при трехполосном вейвлет-преобразовании

Тип фильтра	h0		h1		h2	h3		h4		h5		h6	h7	h8
	b0		b1		b2	b3		b4		b5		b6	b7	b8
	g0		g1		g2	g3		g4		g5		g6	g7	g8
	0,62996	0,62996
3/3/3	0	0,62996
	0,62996	−0,62996
	0,61866	0,48148		0,12971		−0,00374
5/5/5	0	0,65902		0,17754
	0,62417	−	0,83656	−	0,22536	−0,00511
						0,00649
	0,54262	0,43065		0,17226		0
7/7/7	0	0,79600		0,31840			−0,04306		−0,01723
						0
	0,54262	−0,94744		−0,37898			−0,04306		−0,01723
	0,53576	0,42245		0,17240		0,00004	−0,04120		−0,01756				−0,00018	−0,00008
7/7/11	0	0,81348		0,34977		0,00181					−	0,00001
	0,53072		0,98393		0,42356	−0,00255	0,00726		0,00311				−0,00016	−0,00006
		−		−		−	−	0,04275	−	0,01820
	0,53050	0,41425		0,17103		−0,00258	−0,04070		−0,01802		0,00064		0,00007
9/9/9	0	0,81327		0,36356							0,00005
	0,56451	-1,01036		−	0,46891	−0,01274	−0,00434		−0,00136		0,00049		0,00005
						0,01942	−	0,02835	−	0,01359

На рис. 9.23 в качестве примера приведена такая обработка изображения «Залив». Здесь величина отсчетов НН изображения уменьшена в три раза, а всех остальных участков изображения увеличена в пять раз и располагается на уровне «серого».