Лабораторная работа №1

Исследование функций автокорреляции случайных процессов

1. Цели работы:

Исследование автокорреляционных функций стационарных случайных процессов, изучение методов аппаратурного корреляционного анализа стационарных случайных процессов.

2. Некоторые сведения из теории случайных процессов:

Функцией автокорреляции случайного процесса называется смешанный центральный момент второго порядка системы двух сечений , , рассматриваемый как функция моментов времени и :

(1)

где – плотность вероятности системы , ;

, – математические ожидания сечений и ;

, – значения сечений и соответственно.

В случае стационарного процесса функция автокорреляции не зависит от значений моментов и , а зависит от расстояния между ними .

Автокорреляционная функция (АКФ) стационарного случайного процесса обладает следующими основными свойствами:

1. Автокорреляционная функция является чётной функцией переменной .

2. Максимальное значение функции автокорреляции достигается при и равно дисперсии случайного процесса .

АКФ является характеристикой скорости изменения (ширины спектра) случайного процесса. Широкополосный (быстроменяющийся) процесс имеет быстро уменьшающуюся АКФ, тогда как АКФ медленно меняющегося процесса также уменьшается медленно. Мерой быстродействия, скорости изменения случайного процесса служит время корреляции , которое характеризует ширину АКФ по определённому критерию.

Одним из таких критериев может быть, например, уменьшение значения АКФ в два раза по сравнению со значением её при .

Вторым критерием может быть ширина основания прямоугольника, высота которого равна дисперсии процесса, а площадь равна площади фигуры, ограниченной осями координат и кривой функции корреляции (рис. 1).

(2)

В инженерной практике часто используется нормированная функция корреляции (коэффициент корреляции), представляющая собой отношение:

(3)

Тогда

.

Рассмотрим функцию корреляции процесса, полученного в результате прохождения белого шума – процесса с постоянной спектральной плотностью мощности – через линейную цепь с постоянными параметрами, которая характеризуется комплексным коэффициентом передачи .

Функцию корреляции такого процесса можно найти двумя способами [1-3].

Первый способ – использование частотного метода. В этом случае ищется спектральная плотность мощности процесса :

. (4)

Затем использованием обратного преобразования Винера-Хинчина находится функция корреляции:

(5)

Основным недостатком этого метода является иногда возникающая трудность вычисления интеграла в (5).

Вторым методом является временной, использующий для записи выходного процесса интеграл свёртки:

(6)

где – входной процесс, являющийся белым шумом со спектральной плотностью ;

– импульсная реакция рассматриваемой цепи.

Функция корреляции процесса может быть найдена из выражения

(7)

где учтено, что – функция корреляции белого шума.

При использовании временного метода необходимо получить выражение для импульсной реакции цепи и вычислить интеграл типа свёртки (7) с учётом основного свойства импульсной реакции физически реализуемой цепи при . При вычислении интеграла в равенстве (7) при можно непосредственно интегрировать по приведённой формуле. Для отрицательных значений можно использовать свойство чётности функции автокорреляции и дополнительного интегрирования не проводить.

Рассмотрим функции корреляции процессов на выходах трёх цепей, используемых в настоящей лабораторной работе, при действии на входе белого шума со спектральной плотностью мощности . Принципиальные схемы этих цепей приведены на рис. 2.а, 2.б, 2.в.

Рисунок 2 – Принципиальные схемы цепей, формирующих случайные процессы ,

Выражения для коэффициентов передачи и импульсных реакций указанных цепей имеют вид:

(8)

где – постоянная времени цепи (рис. 2.а),

, (9)

(10)

где – постоянная времени звена двухзвенной RC-цепи (рис. 2.б)

, (11)

, (12)

где , ,

(13)

где .

В равенстве (13) предполагается, что потери энергии в цепи, схема которой представлена на рисунке 2, в. невелики и выполняется неравенство .

Применением временного метода можно получить следующие выражения для нормированных функций корреляции процессов , и на выходах приведённых на рисунке 2 схем электрических цепей, если на их входах действует белый шум:

Нормированная функция корреляции процесса :

(14)

Нормированная функция корреляции процесса :

(15)

Нормированная функция корреляции процесса :

(16)