Правила выполнения и оформления контрольных работ.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2. На обложку контрольной работы должен быть наклеен титульный лист, предоставляемый деканатом.

3. В работу должны быть включены все задачи строго по варианту.

4. Перед решением каждой задачи нужно выписать ее номер и полное условие. Если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, нужно, переписывая условие, заменить общие данные конкретными, взятыми из своего номера.

5. Решения следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

6. Работа над ошибками в незачтенных (и зачтенных, если этого требует рецензия) контрольных работах выполняется в той же тетради, поэтому в ней необходимо оставлять место для работы над ошибками.

Контрольная работа №1 (1 курс 1 семестр)

«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» Тематический план.

1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений.

1. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

2. Определители высших порядков. Разложение определителя по строке (по столбцу).

3. Матрицы, операции с матрицами. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

4. Системы линейных уравнений. Квадратные системы независимых линейных уравнений. Метод Крамера. Произвольные системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

5. Системы однородных линейных уравнений. Условие существования ненулевого решения системы однородных линейных уравнений.

2. Элементы векторной алгебры.

   1. Вектор. Векторное пространство. Линейные операции над векторами.

   2. Линейная зависимость векторов. Разложение векторов по базису.

   3. Скалярное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

   4. Векторное произведение, его свойства и геометрический смысл.

   5. Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

2. Элементы аналитической геометрии.

   1. Прямая на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Планиметрия.

   2. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

   3. Прямая в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

   4. Метод координат. Конические сечения.

Задания к контрольной работе №1.

Задачи 110-119.Вычислить определитель матрицы третьего порядка:

1. методом треугольников;

2. разложением по первой строке.

110. а) b)

111. а) b)

112. а) b)

113. а) b)

114. а) b)

115. а) b)

116. а) b)

117. а) b)

118. а) b)

119. а) b)

Задачи 120-129.Решить системы линейных уравнений. Задачаa) решается методом Крамера;b) методом Гаусса.

Х₁+ Х₂- Х₃ = 1 2Х₁+ Х₂- 3Х₃= 2

120. a) Х₁- 2Х₂+ 2Х₃= 1b) Х₁- Х₂+ 2Х₃= 3

2Х₁+ 2Х₂- 3Х₃= 1 Х₁+ 2Х₂- Х₃= 3

2Х₁+ Х₂+ Х₃= 6 3Х₁+ Х₂- 3Х₃= -2

121. a) Х₁- Х₂+ 2Х₃= 0b) -Х₁+ 2Х₂+ Х₃= 3

Х₁+ 2Х₂- 3Х₃= 2 2Х₁+ 3Х₂- Х₃= 3

2Х₁+ 3Х₂- Х₃= 2 -Х₁+ 2Х₂- Х₃= -2

122. a) -Х₁+ 2Х₂+ Х₃= 4b) 2Х₁- Х₂+ Х₃= 6

2Х₁- 3Х₂+ Х₃= 2 Х₁+ Х₂- 3Х₃= 1

-Х₁+ 2Х₂+ 3Х₃= 3 -3Х₁+ 3Х₂+ 5Х₃= -1

123. a) 2Х₁+ 3Х₂- 4Х₃= 3b) 2Х₁- Х₂+ 3Х₃= 6

3Х₁- 4Х₂+ 2Х₃= 4 -2Х₁+ 2Х₂- Х₃= -5

2Х₁+ 3Х₂- Х₃= 2 -2Х₁+ Х₂- Х₃= -2

124. a) Х₁- 2Х₂+ Х₃= 2b) Х₁- Х₂- Х₃= -1

-Х₁+ Х₂+ Х₃= 3 -Х₁+ 2Х₂+ Х₃= 2

3Х₁- Х₂+ 4Х₃= 2 2Х₁+ Х₂-Х₃= 4

125. a) Х₁+ Х₂+ Х₃= 2b) -Х₁+ 3Х₂+ Х₃= 2

2Х₁- Х₂+ Х₃= 1 Х₁+ 2Х₂- Х₃= 3

3Х₁+ Х₂- 2Х₃= 1 2Х₁+ Х₂- Х₃= 1

126. a) -Х₁+ 2Х₂+ 3Х₃= 2b) -Х₁+ 2Х₂+ Х₃= 3

Х₁+ Х₂- 3Х₃= 3 Х₁+ 3Х₂- Х₃= 2

3Х₁- 2Х₂+ 3Х₃= -2 -2Х₁+ 4Х₂- Х₃= 1

127. a) -Х₁+ 3Х₂- Х₃= 3b) Х₁+ 2Х₂+ Х₃= 4

2Х₁- 2Х₂+ Х₃= -3 -2Х₁- Х₂+ Х₃= -2

3Х₁- 2Х₂+ 3Х₃= 1 -Х₁+ 2Х₂- Х₃= 2

128. a) 2Х₁+ Х₂- 4Х₃= 3 b) Х₁- Х₂+ 2Х₃= 1

-Х₁+ 3Х₂- 2Х₃=2 Х₁+ 2Х₂- Х₃= 4

2Х₁+ Х₂+ Х₃= 2 Х₁+ 2Х₂- 3Х₃= -1

129. a) -Х₁+ Х₂+ Х₃= -1b) 2Х₁- 3Х₂+ Х₃= 5

Х₁+ 3Х₂- Х₃= -3 2Х₁+ 4Х₂- 2Х₃= -2

Задачи 130-139.Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1. длину ребра А₁А₂и ребра А₁А₄;

2. угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3. угол между ребром А₁А₄и гранью А₁А₂А₃;

4. площадь грани А₁А₂А₃;

5. объем пирамиды А₁А₂А₃А₄;

6. уравнение прямой, проходящей через точки А₁А₂;

7. уравнение плоскости точек А₁А₂А₃;

8. уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на грань А₁А₂А₃;

9. найти расстояние от плоскости грани А₁А₂А₃до т. А₄;

10. найти расстояние от плоскости грани А₁А₂А₃до начала координат.

Номера вариантов:

130. А₁(3; 2; 5), А₂(2; 1; 2), А₃(3; 2; 1), А₄(3; 5; 0).

131. А₁(-2; 4; 0), А₂(4; 0; -2), А₃(3; 6; 4), А₄(6; 6; 4).

132. А₁(-4; 6; 5), А₂(6; 3; 4), А₃(2; 0; -5), А₄(3; 5; 6).

133. А₁(2; 6; -4), А₂(4; 5; 4), А₃(5; -2; 4), А₄(4; 5; 4).

134. А₁(8; -6; 4), А₂(-2; 6; 2), А₃(6; 8; 1), А₄(7; 1; 3).

135. А₁(4; 8; 2), А₂(5; 2; 4), А₃(5; -7; 4), А₄(4; 1; 9).

136. А₁(5; 6; -5), А₂(4; 3; 5), А₃(4; 6; 1), А₄(6; -8; 3).

137. А₁(-3; 2; 3), А₂(5; -7; 4), А₃(4; 3; 1), А₄(-2; 3; 7).

138. А₁(-5; 4; -4), А₂(1; 6; 5), А₃(5; 6; -6), А₄(-8; 10; 7).

139. А₁(7; -5; 3), А₂(-6; 4; 8), А₃(3; 5; 7), А₄(-9; 4; 1).