6 Мінімізація булевих функцій

6.1 Мета заняття

Ознайомлення c цілями мінімізації булевих функцій і способами визначення складності їх диз’юнктивних і кон’юнктивних нормальних форм. Вивчення методу мінімізуючих карт (діаграм Карно-Вейча).

6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-10] з таких питань: основні поняття і визначення, які використовуються при мінімізації булевих функцій; оцінка форми булевої функції за допомогою індексу (коефіцієнта) простоти; задача мінімізації булевих функцій в аналітичній і геометричній формі (задача про покриття); основні підходи для розв’язання задачі мінімізації булевих функцій у сучасній теорії й практиці алгебри логіки; операції диз’юнктивного і кон’юнктивного склеювання і поглинання; аналіз деяких аналітичних і геометричних методів одержання мінімальних ДНФ (КНФ) (метод Квайна-Мак-Класки, метод Порецького-Блейка, метод мінімізуючих карт (діаграми Карно-Вейча), метод багатомірних кубів та ін.); методика використання мінімізуючих карт (методика діаграм Карно і Вейча).

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться у два етапи.

Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах наступних основних понять і визначень: булевий базис; індекс (коефіцієнт) простоти; імпліканта; повна система імплікант; власна частина кон’юнкції; проста імпліканта; скорочена, тупикова ДНФ; мінімальна ДНФ (МДНФ); імпліцента, проста імпліцента, повна система імпліцент, скорочена, тупикова КНФ; мінімальна КНФ (МКНФ); неповне диз’юнктивне склеювання; диз’юнктивне поглинання; повне диз’юнктивне склеювання; неповне кон’юнктивне склеювання; кон’юнктивне поглинання; повне кон’юнктивне склеювання; мінімізуючі карти (діаграми Карно-Вейча).

При виконанні першого етапу практичного заняття студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень. Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язанням практичних завдань, представлених у підрозділі 6.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 6.4).

6.3 Контрольні запитання і завдання

6.3.1 Контрольні запитання

1. Що являє собою булевий базис? Чим обумовлений вибір базису при проектуванні логічних схем?

2. Що являє собою індекс (коефіцієнт) простоти? Наведіть приклади індексів простоти.

3. Які існують підходи для розв’язання задач мінімізації булевих функцій в аналітичному виді?

4. Запишіть формули операцій диз’юнктивного склеювання і поглинання.

5. Запишіть формули операцій кон’юнктивного склеювання і поглинання.

6. Дайте визначення термінам «імпліканта», «імпліцента», «проста імпліканта», проста «імпліцента».

7. Що являє собою скорочена ДНФ і скорочена КНФ?

8. Дайте визначення тупикової ДНФ. Скільки тупикових ДНФ може мати булева функція?

9. Яка із ДНФ (КНФ) називається мінімальною ДНФ (мінімальною КНФ)?

10. Що являють собою карти Карно (діаграми Вейча)?

11. Назвіть правило склеювання комірок і запису мінімальної ДНФ при використанні карт (діаграм) Карно.

12. Як здійснюється побудова карти Карно для функції п’яти змінних?

13. Опишіть особливості мінімізації булевих функцій на множині КНФ із використанням мінімізуючих карт.

14. Яким чином здійснюється мінімізація частково визначених функцій?

6.3.2 Контрольні завдання

Завдання 1. За допомогою співвідношень виду перетворити ДНФдо КНФ.

Завдання 2. Побудувати всі тупикові ДНФ наступних функцій:

а) ;

б) ;

в) .

Завдання 3. З’ясувати, чи є тупиковими або мінімальними наступні ДНФ: а) ; б); в).

Завдання 4. Використовуючи карти Карно-Вейча, побудувати мінімальну ДНФ і мінімальну КНФ за таблицею істинності булевої функції (табл. 6.1 ).

Таблиця 6.1  Таблиця істинності функції

0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Завдання 5.

Побудувати мінімальні ДНФ і мінімальні КНФ, використовуючи карти Карно-Вейча (табл. 6.2  6.4).

Таблиця 6.2  Карта Карно-Вейча функції

	00	01	11	10
00	1	1	1	1
01	1	0	0	1
11	1	1	1	0
10	0	1	1	0

Таблиця 6.3  Карта Карно-Вейча функції

	00	01	11	10
00	0	1	1	0
01	0	1	1	0
11	1	0	0	1
10	1	0	0	1

Таблиця 6.4  Карта Карно-Вейча функції

	00	01	11	10
00	0	1	0	1
01	0	1	1	0
11	0	0	0	0
10	1	0	0	1

Завдання 6. Побудувати карти Карно-Вейча для наступних функцій:

а)

б)

в)

г)

д)

.

Завдання 7. Знайти мінімальні ДНФ частково визначених функцій, які задано наступними картами (діаграмами) Карно-Вейча (табл. 6.5, 6.6).

Таблиця 6.5  Карта Карно-Вейча частково визначеної булевої функції

	00	01	11	10
00	х	0	0	х
01	1	х	1	1
11	0	0	х	0
10	х	0	х	х

Таблиця 6.6  Карта Карно-Вейча частково визначеної булевої функції

	00	01	11	10
00	1	х	1	1
01	х	1	х	х
11	0	х	0	0
10	1	0	0	1

Завдання 8.

Знайти мінімальні КНФ частково визначених функцій, які задано наступними картами (діаграмами) Карно-Вейча (табл. 6.7, 6.8).

Таблиця 6.7  Карта Карно-Вейча частково визначеної функції

	00	01	11	10
00	1	1	1	х
01	1	0	1	1
11	х	х	1	х
10	1	1	1	х

Таблиця 6.8  Карта Карно-Вейча частково визначеної функції

	00	01	11	10
00	х	0	1	1
01	1	1	х	х
11	0	х	0	0
10	1	1	0	х

Завдання 9.

Побудувати мінімальну ДНФ для функції

.

Завдання 10. Побудувати мінімальну КНФ для функції

.

6.4 Приклади аудиторних і домашніх завдань

Завдання 1. Провести порівняння тупикових ДНФ ілогічної функції, використовуючи наступні індекси простоти:,,.

Розв’язок.

Обчислимо індекси простоти для функцій і. Для функції:,,. Для функції:,,. Зрівняємо відповідні індекси простоти для двох функцій:, тому що, отже, функціяпростіше, ніж;, тому що, отже, функціяпростіше, ніж;, тому що, отже, функціяпростіше, ніж.

Завдання 2. За допомогою перетворень виду йперейти від заданої ДНФдо ДКНФ.

Розв’язок.

.

Завдання 3. Знайти мінімальну ДНФ для булевої функції .

Розв’язок.

Побудуємо карту Карно для заданої функції (рис. 6.1).

Рисунок 6.1 − Карта Карно для функції

Мінімальна ДНФ буде представлена у вигляді .

Завдання 4. Знайти мінімальну диз’юнктивну нормальну форму для функції .

Розв’язок.

Побудуємо карту Карно для заданої функції (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 − Карта Карно для функції

Мінімальна ДНФ буде представлена у вигляді .

Завдання 5. Побудувати мінімальну диз’юнктивну нормальну форму функції .

Розв’язок. Побудуємо відповідну карту Карно (рис. 6.3).

Рисунок 6.3 − Карта Карно для функції

Запишемо мінімальну ДНФ, з’єднуючи диз’юнкцією прості імпліканти :.

Завдання 6. Одержати мінімальну КНФ функції, яка задана ДКНФ :

.

Розв’язок. Дана функція дорівнює нулю на наступних інтерпретаціях: (0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1), (0,0,1,0,0,), (0,0,1,1,0), (0,1,1,0,0), (0,1,1,1,0), (1,0,0,0,0), (1,0,0,0,1), (1,1,1,0,0), (1,0,1,1,1). Карта Карно (діаграма Вейча) для даної функції буде мати вигляд, представлений на рис. 6.4.

Рисунок 6.4 − Карта Карно для функції

Запишемо мінімальну КНФ:

.

Завдання 7. Функція дорівнює одиниці на наборах (0,0,1,0), (0,1,1,0), (1,0,1,0), (1,0,0,0) і не визначена, якщо. Побудувати мінімальну ДНФ даної функції.

Розв’язок. Складемо карту Карно для заданої функції (рис. 6.5).

Рисунок 6.5 − Карта Карно для частково визначеної функції

Мінімальна ДНФ буде мати такий вигляд .