Мат. анализ (2 семестр)
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет
Кафедра математического и функционального анализа
51(07)
Ш965
С.А. Шунайлова, М.А. Корытова
МАТЕМАТИКА
Часть 2
Сборник задач
Челябинск Издательский центр ЮУрГУ
2015
УДК 510(022)(076.1) Ш965
Одобрено учебно-методической комиссией
факультета математики, механики и компьютерных наук
Рецензенты:
Кипнис М.М., Лепчинский М.Г.
Ш965 |
Шунайлова С.А. |
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Математика. Часть 2. |
Сборник |
задач / С.А. Шунайлова, |
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М.А. Корытова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2015. – 27 с. |
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Сборник содержит задания, предназначенные для проведения прак- |
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тических занятий и организации самостоятельной работы студентов |
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первого курса следующих |
направлений |
и специальностей: 38.03.01 |
«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.05 «Бизнес-информатика», 38.05.01 «Экономическая безопасность», 38.05.02 «Таможенное дело».
Приведенные в сборнике задания соответствуют программе по математическим дисциплинам, изучаемым студентами экономических направлений и специальностей во втором семестре. Для наиболее эффективной организации практических занятий задания разделены на три уровня сложности.
УДК 510(022)(076.1)
© Издательский центр ЮУрГУ, 2015
2
Введение в математический анализ
Найдите область определения функции1. |
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Установите четность или нечетность функции. |
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Постройте линии, заданные уравнениями. |
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Вычислите пределы функций. |
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2x 10 |
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1 Знаками «*» и «**» отмечены задачи, имеющие средний и повышенный уровни сложности, соответственно.
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2x 1 |
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x x4 4x2 |
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3x3 x 7 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
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x 1 x2 4x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
49. |
lim |
3x2 |
x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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||||
|
x 1 x2 4x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
50. |
lim |
|
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2x2 5x 2 |
. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
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|
4x |
|
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||||||||||
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x 2 x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
51*. lim |
|
|
|
|
x3 2x 1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||
|
x 1 x4 4x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
52*. lim |
2x2 3x 2 2 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||
|
x 2 x3 |
x2 3x 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
53*. lim |
|
x3 |
5x2 7x 3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 |
5x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x3 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
54. |
lim |
1 |
|
3x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
55. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
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|
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||||
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|
|
|
|
|
|
|
x 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
56. |
lim |
|
x2 5х 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
8 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
57. |
lim |
|
|
|
|
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|
|
10 2x |
|
1 x |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
x2 x 6 |
|
|
|
|
|
58*. lim 1 4x 3 . x 2 1 x 3
59. lim 31 x 31 x .
x 0 x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
60. |
|
lim |
|
10 x |
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
61. |
|
lim |
|
|
|
|
|
x 3 |
x 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
62. |
|
lim |
|
|
x2 |
3х |
|
|
x2 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
63. |
lim 1 3x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
х 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
64*. lim 2x 1 |
x1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4х 2 |
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
65. |
|
lim |
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
х |
|
|
4х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3х 2 |
4х 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
66. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
х |
3х 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2х2 х 7 |
|
2х 1 |
|||||||||||||||||||||||||
67. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
х |
|
|
2х |
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х2 x 7 |
4х 1 |
||||||||||||||||||||||||||
68. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
х |
|
|
х |
3х 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4х 2 х 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
69*. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
х |
3х 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5х2 7 |
|
1 х |
||||||||||||||||||||||||
70*. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2х |
|
3х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 7 |
|
|
|
|
|
2х 1 |
||||||||||||||||||
71*. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2х |
|
х 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
х |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2х 7 3 2х |
||||||||||||||||||||||||||
72*. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
х |
8х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
73. |
lim |
arcsin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
arctg 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
74. |
lim |
sin2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
75. |
lim |
|
x2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
76. |
lim |
|
|
|
tg 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 x2 3x |
|
|
|
|
||||||
77. |
lim x сtg3x . |
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
78. |
lim |
|
|
sin2 5x |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 x e3x 1 |
|
|
|
|
||||||
79. |
lim |
1 cos 4x |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
e3x2 1 |
|
|
|
|
|||||
80*. lim |
ln4 1 2x |
. |
|
|
|||||||
1 cos x 2 |
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|||||||
81*. lim |
xsin3 2x |
|
. |
|
|||||||
1 cos5x 2 |
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
||||||||
82*. lim |
ех2 1 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 cos7x cos3x |
|
3arcsin 3x 83*. lim .
x 0 tg x 1
84*. |
lim |
|
log5 x 1 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
85*. lim |
sin x 2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|||
86**. lim |
2х 8 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 3 sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||
87**. lim |
sin x sin1 |
. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
x 1 |
x 1 |
|||||||||||
88**. lim |
1 sin x tg2 x . |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
89*. |
lim |
|
|
х 5 |
tg |
x . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x 5 |
|
3 |
|
|
10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
90*. lim 1 ln 1 x х .
х 0
91*. lim sin 3x . x sin 2x
Вычислите пределы числовых последовательностей.
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
92. |
lim |
|
|
|
|
|
|
cos |
n n2 . |
|
100. |
lim |
|
|
2n 1 |
|
|
|
2n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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n 2 |
|
n 1 cos n . |
|
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|
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|
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93*. lim |
|
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|
n |
|
|
n |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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101**. lim |
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n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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n |
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|||||||||
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n 2 |
|
sin |
1 |
|
|
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|
3 |
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
94. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
102*. lim |
n3 |
n2 |
1 3 n3 |
n2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n n |
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||
95*. lim |
|
|
n sin n |
. |
|
|
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|
2n |
1 |
n |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
2n sin n |
|
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103. |
lim |
|
|
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
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|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
96*. lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
n |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n 3n 7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
104. |
lim |
|
|
|
|
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|
. |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! n 1 ! |
|
|
n |
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
97*. lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
sin n! |
|
|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
n 2 ! |
n 3 ! |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
105*. lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
98. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2 3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
1 |
|
|
n |
2 |
|
106*. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 5 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
99. |
lim |
|
|
|
n2 n n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||
Докажите, что последовательности являются бесконечно большими. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
107**. an n3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108**. an 2n n . |
|
|
|
|
|
|
|
109**. a |
1 n n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Докажите, что последовательности являются монотонными и ограниченными.
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
110**. a |
n 1 n . |
|
n 1 |
|
|||||
n |
|
|
|
|
111**. an |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
n2 |
2n 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, классифицируйте точки разрыва (если они существуют). Постройте схематически график.
|
x2 2x |
, x 2; |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||
112. |
y |
|
|
|
|
0, x 2. |
|
|
|
arctg
113*. y
|
|
3x 1 |
, x 3; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
114. |
y x 3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
5, x 3. |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
x2 3x |
, x 4; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
||||||
115. |
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1, x 4. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
116. |
|
|
|
|
|
|
|
, x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y x 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
0, x 2. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117. y x 2 |
x 2 |
||||||||
|
|
|
|
5 |
x 2. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
, x 0 и x 2; |
|
|
|
|
|
x2 2х |
||
|
|
|
|
118. |
y |
|
3, x 0; |
|
|
|
1, x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
||
|
|
|
|
|
119*. |
y |
x |
x 0 |
|
|
|
2 |
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
120**. y |
xsin |
|
x 0 |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
0 x |
x 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x 0 |
|||||||
121. |
y x2 |
1 |
x 0. |
||||||
|
|
x |
|
x 1 |
|||||
122. |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
x 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 |
|
|
|
|
||||
123. |
y x 4 |
|
x 2 |
||||||
|
3х |
8 |
|
x |
2. |
Числовые ряды
Используя определение, исследуйте ряды на сходимость. Для сходящихся рядов найдите суммы.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
124**. |
|
. |
|
|
128. 2n . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
||||
125**. |
|
|
1 |
|
. |
|
129*. |
3 |
2 |
|
. |
|
|
|||||
n 1 n n 2 |
|
|
|
n 1 |
|
6n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
n |
||||||
126**. |
|
1 |
|
|
. |
130*. |
|
2 3 |
|
. |
||||||||
|
|
3n 2 |
3n 1 |
|
|
15n |
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
127. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Исследуйте ряды на сходимость.
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
131. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
1000n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
132. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
133. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
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3n2 |
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134. |
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n 5 2 |
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n 1 |
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n4 2 |
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135. |
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5n2 |
2n |
4 |
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n 1 |
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2 |
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136. cos |
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n 1 |
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3n |
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1 n |
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137*. |
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n3 |
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n 1 |
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3 1 n |
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138*. |
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n |
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n 1 |
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arctg n 3 |
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139*. |
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n5 2n 1 |
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n 1 |
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sin |
2 |
n |
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140*. |
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n 1 |
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n |
n |
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5 sin n |
2 |
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141*. |
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3 n |
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n 1 |
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cos |
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n |
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142*. |
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n2 1 |
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n 1 |
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2 |
cos n |
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143*. |
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3n |
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n 1 |
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1 |
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144*. arcsin |
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n 1 |
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2n |
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10n 5 |
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145. |
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n 1 |
n3 3n |
4 |
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n |
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146. |
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n |
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1 3 |
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n 1 |
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n 5 |
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147. |
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n |
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10 n 20 |
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n 1 |
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148**. tg5 |
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n 1 |
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n 2 |
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n 3 |
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|
3 |
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149*. |
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n 1 |
n2 |
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100 |
3 |
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150*. 5 |
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n 1 2 |
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n |
3 11 |
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n 1 |
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1 |
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151. |
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n |
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1 |
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|||||||||||
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n2 1 |
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n 1 |
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cos |
2 n |
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152*. |
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3 |
|
. |
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n |
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2 |
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n 1 |
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n |
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153. |
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2 |
|
. |
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2 |
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n 1 n |
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n n 1 |
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154. |
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. |
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3n |
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n 3 |
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n3 5 |
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2n |
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||||||||||||||||||
155. |
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n 1 ! |
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. |
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n 1 |
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2n |
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156. |
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|
. |
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5n |
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n 1 |
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n 1 |
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|||||||||||||||||
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2n 1 |
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157. |
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3 |
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. |
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4n 3 |
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||||||||||||||||||
n 1 |
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2 |
2n |
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158**. |
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2n |
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n 1 |
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1 ! |
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|||||||||||||||||||||
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n |
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159**. |
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. |
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||||
n 1 |
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2n ! |
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|||||||||||||
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n! |
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160. |
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. |
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n |
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1 5n |
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|||||||||||||||
n 1 |
|
|
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7
n 1
161**. .
n 1 nn
5n 4 n
162. .
n 1 3n2
|
|
2n |
1 |
|
n n 1 |
|||||
|
|
|||||||||
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||||||||
163*. |
|
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. |
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1 |
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|||||||
n 1 |
2n |
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||||||
|
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2n 5 |
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3n2 |
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|||||||||
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||||||||
164*. |
|
|
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. |
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7 |
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||||||
n 1 |
2n |
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||||||
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1 |
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1 |
n2 |
||||
165*. |
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|
1 |
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|
. |
||
2n |
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|
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|||||||
n 1 |
|
|
|
n |
||||||
|
|
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|
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166. 2n 5 2n .
n 3 n 1
|
|
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167*. arcsinn |
|
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. |
|||||||||||
|
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4n 25 |
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|
n 1 |
|
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||||
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5n2 |
4 |
n |
|
||||||||
168. |
|
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. |
|
||||
|
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|
2 |
|
|
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||||||
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3n |
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4 |
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||||||
n 1 |
|
|
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|
|
||||||||
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5n3 1 |
|
n2 |
|
||||||||
169*. |
|
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|
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|
. |
|
||
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|
3 |
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|||||
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2n |
5 |
|
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|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3n |
1 |
|
n2 |
|
|||||||
|
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||||||||||
170*. |
|
|
|
|
|
|
. |
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||||||
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1 |
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||||||||||
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n 1 |
4n |
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||||||||
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|
n |
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171*. |
. |
|
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|
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|||||||
2 |
|
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|
|
||||||||
|
n 1 |
|
2n |
|
|
|
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|
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|
Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость.
|
cos 3n 1 |
|
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1 |
n |
n |
2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||
172. |
|
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||||||||||||||||||||||||||
. |
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178. |
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. |
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5 |
|
|
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3n2 3 |
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n 1 n 3n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
n 1 |
|
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n 1 |
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|||||||||||
1 |
|
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|
|
|
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1 |
2n 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
173. |
|
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|||||||||||||||||||||
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|
. |
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179. |
|
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|
. |
||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
n 1 |
|
n3 5 |
n 1 |
|
|
|
n 5 2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
n 1 |
|
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3 |
n |
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||
174. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
180*. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
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|
n |
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||
n 1 |
6n 4 |
n 1 |
2 ! |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
n 1 |
2 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
175. |
|
|
|
|
n2 . |
181. 1 n |
2n |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n 5 |
n 1 |
|
5 |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n n n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
176. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
182*. |
|
n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
177. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
183*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
n 5 3 |
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
Вычислите сумму ряда с точностью . |
|
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|
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|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
184. 1 n 1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, 0,01. |
186. |
|
|
|
|
|
|
, 0,001. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2n 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
1 |
n 1 |
3n |
n 1 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
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|||||||||
185. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, 0,01. |
187. 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0,001. |
|||||||||||||||||||||
|
n! |
|
|
|
n! 2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
8
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Вычислите производные функций.
|
y 2х2 |
1 |
|
33 |
|
|
|||||
188. |
|
х 10 . |
|||||||||
х |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
189. |
y |
2х 1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x5 |
|
|
|
|||||
190. |
y 3х 5tg x . |
|
|
||||||||
191. |
y 2х arctg x . |
|
|
||||||||
192. |
y |
arctg x |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
193.y arcsin x . x3 3x
194.y х2 . arctg x
195. |
y |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
196. |
y |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
log2 x |
|
|
|
||||||||||||
197. |
y |
|
|
|
8х |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 х2 |
|
|
|
|||||||
198. |
y x ln x arcsin x . |
||||||||||||||
199. |
y |
|
|
7х2 3х |
. |
|
|
||||||||
|
|
log2 x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|
|
||||||||||
200. |
|
|
arctg x . |
201*. y ln tg 2x 1 . 4
202.y 5x3 9 tg x .
203.y 12 arcsin 2x .
204.y x3 sin x log32 x .
205. |
y |
3cos2 |
х |
. |
|
x2 7x |
2 |
||||
|
|
|
206.y arctgarctg 2x .
207.y е8х2 3 сtg x .
208*. |
y ln |
1 x2 |
. |
|||
|
|
|
||||
1 |
x2 |
|||||
|
|
|
209.y sin 2x cos2 x .
210.y 12 tg2 x 16 tg3 2x 12 tg 2x .
211.y 3x cos3x .
212*. y tg8 8x .
213*. y ln x x2 3 .
214.y ln x 2 .
x2
215*. y 3cos2 x . 216*. y ln 2sin2 x .
217. |
y |
1 |
|
|
|
arctg |
|
x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
218. |
y |
1 |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
x |
3 |
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
2 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
219. |
y ln ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y ln |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
220. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
221*. y ln |
|
|
|
9x4 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
arcsin x . |
||||||||||||||||||||||
222. |
y |
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
223. |
y |
1 |
ex2 |
sin 2x cos 2x . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
224. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
225*. y |
1 |
sin3 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
226*. y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
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. |
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x |
2 |
||||||||||||||||||||
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1 cos |
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||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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9
|
y |
23x |
2 |
|
ln sin x . |
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|
2 |
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227. |
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234**. y x 1 |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||
228. |
y |
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|
x . |
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235**. y x2 1 sin x . |
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|
xe |
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|||||||||||||||||||||||||||
229*. y lnsin 3x 2 . |
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|
x 2 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
e x2 |
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|
236**. y |
3 х 1 |
||||||||||||||||||||||||
230. |
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|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
x 5 3 |
||||||||||||||
|
x 3 |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x |
arcsin x |
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|
х x2 1 |
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231*. y |
ln 1 x2 . |
237**. y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
1 x2 |
|
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|
3 |
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|
. |
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x2 1 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
232**. y ln arctg |
1 x2 . |
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233**. y sin x cos x . |
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|
|
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||||||||||||||||||||||
238**. y |
|
|
хsin x |
1 ex |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите производную функции y f х в точке х0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
239. |
y |
arccos 4х |
, x 0 . |
241. |
y е8х 5х2 sin 3х, x0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8x 1 |
0 |
|
|
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||||||||||||
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|
y |
log2 х |
|
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1. |
|||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
242. |
, x0 |
||||||||||||||||||
240. |
y |
|
|
|
5х |
2 |
3х |
2, x0 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
Найдите производные второго порядка функций. |
|
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|||||||||||||||||||||||||
243. |
y sin2 х . |
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|
|
y |
|
х 3 |
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
246. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
244. |
y |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
247. |
y arctg x . |
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||||||||||||||
3x2 |
5 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
245. |
y tg x . |
|
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248. |
y 25х 3 . |
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|
|
.
.
0 .
Найдите указанные производные. |
|
||
249. |
y х ln x , |
y . |
251*. y arcsin x , уIV . |
250. |
y xе х , |
у . |
|
Найдите производные n -го порядка функций. |
|||
252. |
y sin х . |
|
254. y 2х 2 х . |
253. |
y ln x . |
|
|
255. Покажите, что функция y ех 2е2х удовлетворяет уравнению
|
|
|
|
|||||||
y |
6y |
11y 6y 0 . |
|
|||||||
256*. Исследуйте функцию y |
|
x 3 |
|
на дифференцируемость в точке x 3, |
||||||
|
|
|||||||||
используя определение дифференцируемости функции в точке. |
||||||||||
257**. Исследуйте функцию y |
|
ln x |
|
|
на дифференцируемость в точке x 1, ис- |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользуя определение дифференцируемости функции в точке.
10