§3. Диференціювання складених функцій

Функція називається складеною, якщо її аргумент, у свою чергу, є функцією. Цей аргумент називається проміжним аргументом.

Наприклад, , де- проміжний аргумент.

Складену функцію можна представити у вигляді:

, (11)

де - проміжний аргумент.

Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу:

. (12)

Якщо використовувати дану формулу, то одержимо таблицю похідних складених функцій:

1. ;	9. ;
2. ;	10. ;
3. ;	11. ;
4. ;	12. ;
5. ;	13. ;
6. ;	14. ;
7. ;	15. .
8. ;

Приклади.

№1.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. У нашому прикладі , де.

.

№2.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. ,

;

;

.

§4. Похідні вищих порядків

Нехай дана диференційовна функція . Її похідна теж є функцією, яку можна диференціювати. Таким чином, можна одержати похідну першого, другого, третього і т.д. порядків від функції.

Друга похідна позначається символами: (читаємо “ігрек два штрихи по ікс”), чи(читаємо “ігрек два штрихи по ікс”), чи(читаємо “де два ігрек по де ікс двічі”).

За аналогією записують похідну третього, четвертого і т.д. порядків.

Приклад.

Знайти всі можливі похідні функції .

Розв’язання. ;

;

;

.

§5. Застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції

Застосування похідної при дослідженні функції ґрунтується на зв'язку між поводженням функції і властивостями її похідних.

Знаходження інтервалів монотонності і точок екстремуму.

Якщо похідна функціїна інтервалідодатна, то функція на цьому інтервалі строгозростає.

Якщо похідна функціїна інтервалівід’ємна, то функція на цьому інтервалі строгоспадає.

Якщо похідна функціїу точцідорівнює нулю, то функція у цій точці може матиекстремум функції.

Для знаходження інтервалів монотонності і точок екстремуму використовують наступну схему.

1) Знайти першу похідну .

2) Визначити точки, у яких перша похідна дорівнює нулю, або не існує. Для цього треба вирішити відносно рівняння. Дані точки, названікритичними, розбивають область існування функції на ряд інтервалів.

3) Визначити знаки першої похідної на отриманих інтервалах. Для цього треба знайти знак першої похідної в будь-якій точці кожного з інтервалів. Якщо похідна більша нуля, то на цьому інтервалі функція буде строго зростати, якщо менша – спадати.

4) Критична точка, при переході через яку похідна змінює знак, буде точкою екстремуму. Якщо знак похідної змінюється з плюса на мінус, то в точці буде максимум, якщо з мінуса на плюс – мінімум.

5) Знайти значення функції в точках екстремуму.

§6. Дослідження функції на опуклість, угнутість.

Знаходження точок перегину

Якщо друга похідна функціїна інтервалідодатна, то функція на цьому інтерваліугнута.

Якщо друга похідна функціїна інтервалівід’ємна, то функція на цьому інтерваліопукла.

Якщо похідна функціїдорівнює нулю і змінює свій знак при переході через точку, то функція в точцімаєперегин.

Для знаходження інтервалів опуклості, угнутості і точок перегину можна використовувати наступну схему.

1) Знайти другу похідну .

2) Визначити точки, у яких друга похідна дорівнює нулю, чи не існує, для цього треба розв’язати відносно рівняння. Дані точки розбивають область існування функції на ряд інтервалів.

3) Визначити інтервали опуклості й увігнутості. Для цього визначаємо знак другої похідної в будь-якій точці з кожного інтервалу.

4) Точка, у якій друга похідна змінює знак, буде точкою перегину.