- •Глава 11
- •§ 77. Закон сохранения электрического заряда
- •§ 78. Закон Кулона
- •§ 79. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля
- •§ 80. Принцип суперпозиции электростатических полей, Поле диполя
- •§81. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме
- •4. Поле объемно заряженного шара. Шар
- •§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
- •§ 84. Потенциал электростатического поля
- •§ 85. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
- •§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля
- •§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков
- •§ 88. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике
- •§ 89. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
- •§ 90. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
- •§91. Сегнетоэлектрики
- •§ 92. Проводники в электростатическом поле
- •§ 93. Электрическая емкость уединенного проводника
- •§ 94. Конденсаторы
- •§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля
- •4. Энергия электростатического поля.
§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля
1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает
потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):
W1=Ql1, W2=Q221,
где 12 и 21 — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q2. в точке нахождения заряда q1 и зарядом Q1 в точке нахождения заряда Q2. Согласно (84.5),
поэтому
W1=W2=W и
W=Q112=Q221=1/2(Q112+Q221).
Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q3, Q4, ..., можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна
где i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi, всеми зарядами, кроме i-го.
2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, . Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную
dA=dQ=Cd.
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до , необходимо совершить работу
. Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо со-
152
вершить, чтобы зарядить этот проводник: W=C2/2=Q/2=Q2/(2C). (95.3)
Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным , из (95.1) найдем
3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (95.4)
где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, — разность потенциалов между обкладками.
Используя выражение (95.4), можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила совершает работу
dA=Fdx
вследствие уменьшения потенциальной энергии системы
Fdx=-dW,
откуда
F=dW/dx. (95.5)
Подставив в (95.4) выражение (94.3), получим
Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:
где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.
4. Энергия электростатического поля.
Преобразуем формулу (95.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = 0/d) и разности потенциалов между его обкладками ( =Ed). Тогда получим
где V=Sd — объем конденсатора. Формула (95.7) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле,— напряженность Е.
Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8)
Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого
выполняется соотношение (88.2): Р=0Е.
Формулы (95.4) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.
153
Контрольные вопросы
• В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления этого закона.
• Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона,
• Какие поля называются электростатическими?
• Что такое напряженность Е электростатического поля? Каково направление вектора напряженности Е? Единица напряженности в СИ.
• Что такое электрический диполь? Как направлено плечо диполя?
• Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов +Q и +2Q, находящихся на расстоянии l друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.
• Чему равно отношение напряженностей электрических полей в точке А, лежащей на продолжении оси диполя, и в точке В, лежащей на перпендикуляре, проходящем через середину О оси этого диполя, если ОA=ОВ?
• В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме?
• Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности зарядов?
• Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток ФE сквозь эту поверхность? Почему?
• Как доказать, что электростатическое поле является потенциальным?
• Что называется циркуляцией вектора напряженности?
• Дайте определения потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля. Каковы их единицы?
• Приведите графики зависимостей Е (r) и fi (r) для равномерно заряженной сферической поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.
• Какова связь между напряженностью и потенциалом? Выведите ее и объясните. Каков физический смысл этих понятий?
• Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?
• В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?
• Определите, чему равна диэлектрическая проницаемость при построении рис. 135.
• Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует?
• Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.
• Выведите и прокомментируйте условия для векторов Е и D на границе раздела двух диэлектрических сред.
• Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на поверхности заряженного проводника?
• На чем основана электростатическая защита?
• Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой — параллельно. Во сколько раз и когда емкость батареи будет больше?
• Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражаемые через заряд на обкладках конденсатора и через напряженность поля.
• Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является ее
носителем — заряды или поле? Почему?
Задачи
11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина =2. [1,6 г/см3]
11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью =1,5 нКл/см2 расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол =45°. Определить поток вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r=10 см. [1,88 кВ•м]
154
11.3. Кольцо радиусом r=10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью =10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца в точке А, удаленной на расстояние а = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м]
11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью =5 нКл/м3. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r1=2 см от центра шара; 2) на расстоянии r2=12 см от центра шара. Построить зависимость Е (r). [1) 3,77 В/м; 13,1 В/м]
11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью =1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r1=2,5 см до r2=1,5 см? [18 мм/с]
11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью =1 нКл/м2. Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1,=6 см и r2=10 см. [1,2 В]
11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q=l нКл с расстояния r1=10 см до r2=5 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]
11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином (=2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см2? [500 В]
11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью =10 нКл/м3 по шару радиусом R=5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью =6. Определить напряженность электростатического поля на расстояниях r1=2 см и r2=10 см от центра шара. [E1 = l,25 В/м; E2=23,5 В/м]
11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (=7). Расстояние между пластинами d=5 мм, разность потенциалов U=500 В. Определить энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S=50 см2. [6,64 мкДж]
11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С= 10 пФ заряжен до разности потенциалов U=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]
11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В. Площадь каждой пластины S = 100 см2, расстояние между пластинами d= 1 мм, пространство между ними заполнено парафином (=2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]