Лабораторная № 6.Тех.мех

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

šКузбасский государственный технический университетŸ

Кафедра сопротивления материалов

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ ПРИ СЖАТИИ

Методические указания к проведению лабораторной работы № 13

по курсу šСопротивление материаловŸ для студентов всех специальностей

Составитель О. В. Иванова

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 28.05.2009

Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 270102 Протокол № 35 от 30.06.2009

Электронная копия находится в библиотеке ГУ КузГТУ

Кемерово 2009

1

Цель работы: ознакомление с особенностями работы стержня при сжатии его продольной силой, экспериментальная проверка теоретических формул для определения критической силы.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Устойчивостью называется способность конструкции и ее элементов сохранять начальную прямолинейную форму равновесия.

Нагрузка на стержень, при которой прямолинейная форма перестаёт быть устойчивой, называется критической нагрузкой или критической силой – Ркр. При нагрузках, меньших критической, прямолинейная форма оси стержня – устойчива. При нагрузках больше критической прямолинейная форма оси стержня становится неустойчивой и стержень переходит к криволинейной форме равновесия, при которой происходит резкое нарастание прогибов и напряжений в стержне.

Критическая сила не зависит от характеристик прочности материала. Для двух стержней с одинаковыми геометрическими характеристиками, но изготовленными из разной стали (например, – малоуглеродистой стали и высокопрочной низколегированной стали) – критические силы одинаковы.

Критическая сила Ркр вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое критическим. Оно определяется по формуле:

	σкр		Ркр	,	(1)
			F
где F – площадь поперечного сечения стержня.
Величина λ	называется гибкостью				стержня и
определяется:
			,		(2)
		imin

где imin – радиус инерции сечения; – коэффициент приведения длины (табл. 2).

2

В зависимости от гибкости λ стержни условно можно разделить на три типа:

1. Стержни малой гибкости (стержни большой жесткости) (λ < λ0), у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Они выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σт (для пластичных материалов) или предела прочности σв (для хрупких материалов). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σт или предел прочности σв. Стержни малой гибкости рассчитываются только на прочность.

	В расчетах принимают λ0 = (0.2 ´ 0.4)λпред, где					пред
	предельная гибкость стержня, определяемая:
	пред		Е			(3)
			пц

Значения λ0 и λпред для разных материалов приведены в табл. 1.

Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя.

2. Стержни средней гибкости (λ0 < λ < λпред), у которых критические напряжения кр > пц . Причиной потери

устойчивости таких стержней является появление пластических деформаций.

Критическое напряжение для стержней средней гибкости можно определить с помощью формулы Ясинского:

кр a b с 2 , (для стали с = 0) (4) где а, b и с – упругие постоянные, имеющие размерность

напряжения (табл. 1); λ – гибкость стержня.

Тогда значение критической сжимающей силы определится:

Ркр (а b с 2 )F ,	(5)
где F – площадь поперечного сечения стержня.
3. Стержни большой гибкости (λ > λпред).	критическое
Для стержней большой гибкости, у которых

напряжение кр не превышает предела пропорциональности пц , величину критической силы определяют по формуле Эйлера:

	3
	Ркр	2ЕImin	,	(6)
		( )2

где Е – модуль упругости первого рода; Imin – наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; ℓ – длина стержня, μ – коэффициент приведения длины стержня (табл. 2).

Величина называется приведенной или расчетной длиной стержня.

Для обеспечения устойчивости прямолинейной формы стержня, сжатого силой Р, необходимо к условию прочности добавить условие устойчивости:

	º	¹ ,			(7)
	F
где у – допускаемое		напряжение на			устойчивость,
определяемое:
у			[ ]	,	(8)
			n у

где основное допускаемое напряжение; n у – коэффициент

запаса на устойчивость.

Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости nу существенно зависят от материала стержня: для сталей nу=1,8 3,0; для дерева nу=2,8 3,2; для чугуна nу=5 5,5.

					Таблица 1
Материал	λ0	λпред	а, МПа	b, МПа		с, МПа
Ст.2, Ст.3	40	100	310	1,14		0
Ст.5	40	100	465	3,26		0
Сталь 40	60	90	321	1,16		0
Дерево (сосна)		70	29,3	0,194		0
Чугун		80	776	12		0,053

4

Таблица 2

Коэффициент приведения длины

Р

P

P

P

ℓ		ℓ		ℓ		ℓ

μ = 1

μ = 2

μ = 0,7

μ = 0,5

2.ОБОРУДОВАНИЕ

Установка (рис. 1), на которой производят экспериментальное определение критической силы Ркр продольно-сжатого стержня, представляет собой раму 1, на которой размещены две опоры 2, 3 продольно-сжимаемого стержня 4 и две подшипниковые опоры 5 и 6, каждая из которых имеет установленный в подшипниках вал.

Схема закрепления концов стержня приведена на рис. 3. На валу подшипниковой опоры 5 жестко закреплен двуплечий рычаг 7, на вертикальном плече которого одним концом закреплен толкатель 8. Другим концом толкатель 8 упирается в подвижный торец продольно-сжимаемого стержня 4. На горизонтальном плече рычага 7, имеющем миллиметровую разметку, свободно на роликах установлена подвижная каретка 9 с грузом 10, имеющая в средней своей части указатель положения 11. На валу подшипниковой опоры 6 укреплен барабан с гибкой тягой 12. Свободным концом тяга прикреплена к каретке 9.

			5
8	17	3	1	4	2
b	5			10	6
				12
	С		9
	7
14				11	13
		а
Рис. 1. Схема установки для испытания
	стержней на устойчивость

Вал вместе с барабаном может вращаться вокруг своей оси с помощью прикрепленной к валу рукоятки 13. При наматывании гибкой тяги на барабан каретка 9 перемещается по горизонтальному плечу рычага 7, удаляясь от оси подшипниковой опоры. При этом изменяется (возрастает) размер а и меняется соотношение плеч рычага, отчего продольная сила, сжимающая стержень Р, возрастает (рис. 2). При сматывании гибкой тяги с барабана каретка свободно скатывается к опоре 5 из-за небольшого наклона горизонтального плеча рычага 7 (сила Р при этом уменьшается). Для балансировки двуплечего рычага на нем установлен противовес 14. Развитие больших деформаций

6

в стержне 4 и его разрушение (возникновение пластических деформаций) предотвращаются наличием на толкателе 8 ограничителя его хода 17.

Р

C – точка поворота рычага

b

Q

C

a

Рис. 2. Схема передачи нагрузки.

Продольная сжимающая сила Р, соответствующая определенному положению каретки с грузом на горизонтальном

плече рычага 7, может быть определена по формуле
P R Q,	(9)

где Q qк qгр , qк – вес каретки;

qгр – величина груза в каретке.

R – коэффициент, определяемый соотношением размеров а

и b ( R a , где b – размер вертикального плеча 7). Так как размер b

b есть величина постоянная для данной установки, то коэффициент R является функцией только переменной величины а, поэтому для упрощения расчета силы Р этот коэффициент приводится в табличных данных установки вместе с данными по испытываемому образцу. В табличных данных учтен также наклон горизонтального плеча рычага 7.

Максимально возможная продольная сжимающая сила Р, которая может создаваться на установке – 50 кг.

7

Р

Рис. 3. Схема закрепления стержня

3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1.Теоретический расчет

1.Изображаем схему нагружения.

2.Определяем коэффициент приведения длины μ, пользуясь табл. 1.

3.Выписываем параметры испытываемого образца:

1)материал образца –

2)предел пропорциональности пц =

3)модуль упругости Е =

4)длина образца ℓ =

5)размеры поперечного сечения:

ширина

толщина

4.Определяем геометрические характеристики:

1)площадь поперечного сечения F ,

2)минимальный момент инерции сечения Imin ,

3)минимальный радиус инерции сечения imin ,

5.Определяем по формуле (2) фактическую гибкость стержня .

6.Определяем по формуле (3) предельную гибкость стержня

пред .

7.Определяем значение критической силы по формуле (5) или (6).

8

3.2.Практический расчет

1.Подготавливаем установку для проведения эксперимента: отбалансируем рычаг, вращая противовес 14, устанавливаем каретку 9 в крайнее левое положение на рычаге 7, устанавливаем толкатель 8 на пластину. Выбираем груз 10.

2.Укладываем груз на каретку. Вращаем барабан с гибкой тягой 12 рукояткой 13, медленно передвигая каретку 9 с грузом 10 по рычагу. Наблюдаем за прямолинейностью стержня. Прикладываем небольшую поперечную нагрузку от руки. при действии критической нагрузки стержень искривляется и остается искривленным после удаления поперечной нагрузки.

3.По указателю положения 11 определяем отсчет по шкале рычага и заносим его в табл. 3. Используя таблицу с установки, определяем коэффициент К.

4.Повторяем испытание, добавляя на каретку груз.

5.По выражению (9) определяем значения критической

силы.

6.Вычисляем среднее значение критической силы.

7.Сравниваем критические силы, полученные аналитически и экспериментально. Определяем расхождение результатов:

				Ркрэкс Ркртеор	100% .
				Ркртеор
						Таблица 3
Ступень	Нагрузка			Отсчет по	Коэффициент	Критическая
нагружения	Р, кг			шкале	R	сила Ркр, кг
1
2
3

9

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Понятие устойчивости.

2.Что означает выражение šсжатый стержень потерял устойчивостьŸ?

3.Какая сила называется критической?

4.Какие способы определения критической силы Вы

знаете?

5.Что такое гибкость стержня и приведенная длина?

6.Понятие предельной гибкости.

7.Запишите формулу Эйлера.

8.Запишите формулу Ясинского.

9.Критерии применимости формул Эйлера и Ясинского.

10.Условие устойчивости сжатого стержня.

11.Коэффициент запаса устойчивости.

12.Как влияют характеристики прочности на величину критической силы?

13.Как определяется критическая сила экспериментально?

5.СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Беляев Н. М. Сопротивление материалов. – М. Наука, 1978. – 608 с.

2.Писаренко Г. С. Сопротивление материалов / Г. С. Писаренко,

В.А. Агарев, А. Л. Квитка, В. Г. Попков, Э. С. Уманский; под ред. Г. С. Писаренко. – Киев: Вища школа, 1986. – 775 с.

3.Александров А. В. Сопротивление материалов учеб. для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М. Высш. шк., 1995. – 560 с.

4.Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высш. шк., 1989. – 653 с.