Функан практика
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
по дисциплине
Функциональный анализ
Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: «Математическое моделирование», «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности»
Квалификация выпускника: магистр
Форма обучения: очная
Тула 2013г.
Методические указания к практическим занятиям составлены зав. каф. ПМиИ В.И. Ивановым и обсуждены на заседании кафедры ПМиИ механикоматематического факультета протокол №__1_ от "__02_"______09______ 2013 г.
Зав. кафедрой________________ В.И. Иванов
Методические указания к практическим занятиям пересмотрены и утверждены на заседании кафедры ПМиИ механико-математического факультета протокол №___ от "___"____________ 20___ г.
Зав. кафедрой________________ В.И. Иванов
2
I. Цели и задачи практических занятий
Целью изучения дисциплины «Функциональный анализ» является формирование математической культуры магистрантов, фундаментальная подготовка магистрантов в области функционального анализа, возникшего в результате взаимодействия и последующего обобщения на бесконечномерный случай идей и методов математического анализа, геометрии и линейной алгебры. Современная математика немыслима без функционального анализа. Идеи, концепции, методы, терминология, обозначения и стиль функционального анализа пронизывают все области математики, объединяя ее в единое целое.
Задачами дисциплины являются:
освоение, изучение основных понятий, определений и утверждений функционального анализа,
приобретение навыков решения и исследования линейных интегральных уравнений второго рода, других задач функционального анализа,
изучение приложений функционального анализа в других математических
дисциплинах.
Целями и задачами практических занятий по функциональному анализу являются приобретение навыков решения практических задач и закрепление основных понятий, определений и свойств объектов теории приближений.
№ |
№ |
|
Кол- |
|
раз- |
Тема |
во ча- |
||
занятия |
||||
дела |
|
сов |
||
1 |
4.1 |
Линейные нормированные пространства |
2 |
|
2 |
4.2 |
Норма линейного функционала |
2 |
|
3,4 |
4.8 |
Обобщенные функции |
4 |
|
5 |
5.1 |
Норма линейного оператора |
2 |
|
6 |
5.2 |
Сильная и равномерная сходимости линейных операторов |
2 |
|
7 |
5.3 |
Сопряженные и самосопряженные линейные операторы |
2 |
|
8 |
5.4 |
Обратный линейный оператор |
2 |
|
9, 10 |
5.5 |
Спектр, спектральный радиус и резольвента линейного |
4 |
|
оператора |
||||
|
|
|
||
11 |
5.7 |
Спектр линейного вполне непрерывного оператора |
2 |
|
12, 13 |
5.8 |
Теория Рисса-Шаудера для линейных уравнений 2-го ро- |
4 |
|
да |
||||
|
|
|
||
|
|
Собственные значения и собственные векторы вполне |
|
|
14 |
5.10 |
непрерывного самосопряженного оператора. Теорема |
2 |
|
|
|
Гильберта-Шмидта |
|
3
II. Методические указания к проведению практических занятий
Занятие 1 Линейные нормированные пространства
План занятия
1.Повторение теоретического материала
2.Подробное решение типовой задачи
3.Самостоятельное решение задач
4.Получение домашнего задания
Типовая задача
Является ли отображение f x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x '' t |
|
|
|
C 0,1 |
нормой в нормирован- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ном пространстве C |
2 |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Проверим выполнение трех свойств нормы. Функционал неотрицателен. Исследуем, когда он равен нулю:
f (x) 0 x(0) 0 и |
x '' t 0 . |
Этим условиям удовлетворяет ненулевая функция x(t) t , поэтому первое условие не выполнено и данный функционал нормой не является. Для полноты проверим остальные два свойства нормы. Однородность нормы
|
|
|
f x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x'' t |
|
C |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
max |
|
|
|
x t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
x 0 |
|
max |
|
x t |
|
|
|
) |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
выполнена. Неравенство треугольника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x y |
|
x 0 y(0) |
|
|
max |
|
(x t y(t)) '' |
|
|
|
x 0 y(0) |
|
max |
|
x '' t y ''(t)) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
x '' t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
|
max |
|
|
max |
|
y ''(t) |
|
f (x) f ( y) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
также выполнено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Является ли отображение |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
x ' t |
|
|
|
C 0,1 |
|
|
нормой в нормированном про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
странстве C |
0,1 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. Является ли отображение |
|
f x |
x |
t |
|
dt |
x ' t |
dt нормой в нормиро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ванном пространстве C |
0,1 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. Является ли отображение |
f x |
|
x 1 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x ' t |
|
|
|
C 0,1 |
нормой в нормиро- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ванном пространстве C1 0,1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Является ли отображение |
f x |
|
x 0 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x '' |
|
|
|
C 0,1 |
нормой в нормирован- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ном пространстве C |
2 |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Занятие 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Норма линейного функционала |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
План занятия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. Повторение теоретического материала |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Подробное решение типовой задачи |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Самостоятельное решение задач |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Получение домашнего задания |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Типовая задача |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Вычислить норму линейного функционала f x |
k |
: c0 |
и указать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
2 |
|
|
элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
Решение
По определению
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
1` |
|
|||
|
f |
|
|
|
|
sup |
|
f (x) |
|
|
sup |
|
|
sup |
|
|
|
|
|
1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
k 1 |
2 |
|
|
|
|
x |
1 |
k 1 |
2 |
|
|
k 1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта оценка является точной и достигается на экстремальной последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельности xn (1,1,...,1, 0,...) . Здесь у xn |
все координаты, начиная с n 1-й, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равны нулю. Имеем xn c , |
|
xn |
|
|
1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(n ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Экстремального элемента нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Вычислить норму линейного функционала |
|
f x x1 2x2 :l2 и указать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элемент или последовательность элементов, на которых она достигается. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Вычислить норму линейного функционала |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
t |
|
|
2 |
x t dt : L1 1,1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается
5
Домашнее задание
|
|
|
1 |
xk :l1 и ука- |
1. Вычислить норму линейного функционала f x |
2 |
|||
k 1 |
|
|
k |
|
зать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается. 2. Вычислить норму линейного функционала
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
f x = 2 x t dt 3 x t dt :C 1,1 |
|||
1 |
0 |
|
|
и указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается
Занятия 3, 4 Обобщенные функции
План занятия
1.Повторение теоретического материала
2.Подробное решение типовой задачи
3.Самостоятельное решение задач
4.Получение домашнего задания
Типовая задача
1. Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях x2 y ''' 0.
|
|
Решение |
Пусть y ''' z. Уравнение |
x2 z 0 имеет два линейно независимых |
|
решения: z1 , z2 ' . |
Здесь - дельта-функция. Действительно, для |
произвольной бесконечно дифференцируемой финитной функции
z1, x2 , , x2 x2 (x) x 0 0,
z2 , x2 ', ', x2 ',(x2 ) ' (x2 (x)) ' x 0
(x2 (x)) ' x 0 (2x (x) x2 '(x)) x 0 0 .
|
Таким образом, |
y ''' c1 c2 '. Общее решение однородного урав- |
|||
нения |
y ''' 0 есть |
y |
c |
c x c x2 . |
Найдем частное решение неоднородного |
|
|
o |
3 |
4 5 |
|
уравнения |
y ''' c1 c2 '.. Рассмотрим регулярную обобщенную функцию |
|||||||||||||||||||
f1(x) x |
|
x |
|
. Вычислим ее третью производную: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( f1) ''', (x |
|
x |
|
) ''', x |
|
x |
|
, ''' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
x2 '''(x)dx x2 |
'''(x)dx x2 ''(x) |
|
2 x ''(x)dx x2 ''(x) |
|
2 x ''(x)dx |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x '(x) |
|
0 2 |
'(x)dx 2 x '(x) |
|
0 2 '(x)dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (x) |
|
0 2 (x) |
|
4 (0) 4 , . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Итак, |
f1 '''(x) (x |
|
x |
|
) ''' 4 . Рассмотрим регулярную обобщенную функцию |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f2 (x) |
|
x |
|
. Также вычислим ее третью производную: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f2 ) ''', |
|
x |
|
''', |
|
x |
|
, ''' |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x '''(x)dx x '''(x)dx x ''(x) |
|
0 ''(x)dx x ''(x) |
|
0 ''(x)dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(x) |
|
0 '(x) |
|
2 '(0) 2 , ' 2 ', . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, |
f2 '''(x) |
|
x |
|
''' 2 '. Таким образом, частное решение уравнения y ''' c1 c2 '. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
есть yч c41 c22 ' . Окончательно общее решение исходного уравнения может быть записано в виде:
yc3 c4 x c5 x2 c1 c2 '.
2.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях y '' 9y 3 x .
Решение |
|
|
|
Однородное уравнение y '' 9 y 0 имеет общее решение |
y |
c e3x c e 3x . |
|
|
o |
1 |
2 |
Частное решение исходного уравнения будем искать в виде |
yч y1 , |
где - |
функция Хевисайда, то есть (x) 1 при x 0 и (x) 0 при x 0 . Известно, что' . Подставим yч в уравнение:
yч y1 , yч ' y1 ' y1 ' y1 ' y1 .
Предположим, что y1 бесконечно дифференцируемая функция и y1 (0) 0 . Тогда
определена обобщенная функция y1 . |
Покажем, что |
она равна нулю: |
|
y1 , , y1 y1 (0) (0) 0. Далее |
|
|
|
yч ' y1 ' , yч '' y1 '' y1 ' , ( y1 '' 9 y1 ) y1 ' 3 . |
|||
Окончательно потребуем, чтобы |
y1 '' 9 y1 0, y1 '(0) 3 . |
Тогда y1 ' 3 : |
|
y1 ' , , y1 ' y1 '(0) (0) 3(0) 3 , |
и |
yч y1 является частным решением |
|
исходного уравнения. Остается найти y1 |
из задачи Коши |
|
|
y1 '' 9 y1 0, y1 (0) 0, y1 '(0) 3 . |
|
Подставляя начальные условия в общее решение однородного уравнения, получим систему
c1 c2 0,3c1 3c2 3.
Отсюда c1 c2 12 . Итак, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид yч 12 (e3x e 3x ) (x) sh3x (x). Наконец, запишем общее решение исходного уравнения:
7
y c1e3x c2e 3x shx (x).
Задачи для самостоятельного решения
1.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях x3 y ' 0.
2.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях y '' 4y 3 x .
3.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях xy ''' 0 .
4.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях y '' y ' 2y 3 x .
Домашнее задание
1.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях x3 y '' 0.
2.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях y '' y ' 2y 2 x .
3.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях x4 y ' 0 .
4.Найти общее решение уравнения в обобщенных функциях y '' 5y ' 6y x .
Занятие 5 Норма линейного оператора
|
План занятия |
|
|
|
|||
1. |
Повторение теоретического материала |
|
|
||||
2. |
Подробное решение типовой задачи |
|
|
|
|||
3. |
Самостоятельное решение задач |
|
|
|
|||
4. |
Получение домашнего задания |
|
|
|
|
||
|
Типовая задача |
|
|
|
|||
Вычислить норму линейного оператора |
|
|
|
||||
|
Ax t 2x t 3x |
t |
|
: C 0,1 |
C 0,1 |
||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
и указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
Решение
Из определения нормы линейного оператора
|
|
|
|
A |
|
sup |
|
Ax |
|
sup |
|
2x t 3x t 2 |
|
sup (2 |
|
x t |
|
3 |
|
x t 2 |
|
) 2 3 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
x(t ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть x(t) произвольная непрерывная функция, для которой x(1 4) 1, |
x(1 2) 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(t) |
|
1 . Для нее |
|
|
|
x |
|
|
|
C 1 и |
Ax 1 2 2x 1 2 3x 1 4 5 . Таким образом, |
|
|
|
|
A |
|
|
|
5, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
все описанные функции являются экстремальными.
8
Задачи для самостоятельного решения
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1. Вычислить норму линейного оператора |
Ax |
2 |
0 |
2 |
x : l3 |
l3 |
и указать |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2. Вычислить норму линейного оператора Ax |
|
x , |
|
x ,..., |
|
1 |
|
|
xn ,... |
: l |
l |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
и указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
Домашнее задание
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1. Вычислить норму линейного оператора |
Ax |
2 |
3 |
0 |
x : l3 |
l3 |
и указать |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
2. Вычислить норму линейного оператора |
Ax t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
t |
2 |
x t : L2 |
0,1 |
|
L2 0,1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.
Занятие 6 Сильная и равномерная сходимости линейных операторов
План занятия
1.Повторение теоретического материала
2.Подробное решение типовой задачи
3.Самостоятельное решение задач
4.Получение домашнего задания
Типовая задача
Для последовательности линейных непрерывных операторов
A x t x |
t |
|
: C 0,2 C 0,2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
указать предельный оператор и характер сходимости к нему (равномерная, сильная).
Решение
Так как n 0 , то предельным оператором может быть только единичный оператор, для которого Ex(t) x(t). Исследуем сильную и равномерную схо-
9
димости. Для любого n An E 2 и равномерной сходимости нет. Действи-
тельно, оценка сверху очевидна. Оценка снизу достигается на любой непрерывной 2 -периодической функции x(t) , для которой x(t) 1 , x(0) 1, а x( n) 1 .
Сильная сходимость есть, так как для любой непрерывной 2 - периодической функции x(t)
An x(t) Ex(t) C x(t n) x(t) C ( n, x)C 0(n ).
Задачи для самостоятельного решения
1. Для последовательности линейных непрерывных операторов
An x 0,0,..., xn 1, xn 2 ,... : l2 l2
указать предельный оператор и характер сходимости к нему (равномерная, сильная).
2. Для последовательности линейных непрерывных операторов
A x t x |
nt |
: C 0,1 |
C 0,1 |
|||||
|
|
|
||||||
n t |
||||||||
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
указать предельный оператор и характер сходимости к нему (равномерная, сильная).
Домашнее задание
1. Для последовательности линейных непрерывных операторов
n |
2k |
|
||
An 1 k |
A |
|
: X X |
|
2k ! |
||||
k 0 |
|
указать предельный оператор и характер сходимости к нему (равномерная, сильная). Здесь X – банахово пространство, A L X .
2. Для последовательности линейных непрерывных операторов
A x t x |
tn tn 1 |
|
: C 0,1 |
C 0,1 |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
указать предельный оператор и характер сходимости к нему (равномерная, сильная).
Занятие 7 Сопряженные и самосопряженные линейные операторы
План занятия
1.Повторение теоретического материала
2.Подробное решение типовой задачи
3.Самостоятельное решение задач
4.Получение домашнего задания
Типовая задача
10