7. Системы эконометрических уравнений
7.1. Виды систем регрессионных уравнений
Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих деятельность этой системы. Поэтому для описания механизма функционирования таких систем обычно изолированных уравнений регрессии недостаточно.
Практически изменение какого-либо показателя в экономической системе, как правило, вызывает изменение целого ряда других. Так изменение производительности труда влияет на затраты труда, а, следовательно на себестоимость, прибыль, рентабельность производства и пр.
Все это вызывает потребность использования при описании сложных экономических явлений и процессов систем взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств. Особенно актуальна необходимость в применении таких систем при моделировании на макроуровне, так как макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Например, при построении модели национальной экономики необходимо рассмотреть уравнения, описывающие потребление, инвестиции, прирост капиталовложений, воспроизводство трудовых ресурсов, производство продукта и пр.
Переменные,
входящие в систему уравнений подразделяют
на экзогенные, эндогенные и
лаговые (эндогенные переменные, влияние
которых характеризуется некоторым
запаздыванием, временным лагом 
).
Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными, т. е. определенными заранее.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой теоретической концепции модели. Экономические показатели могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возраст) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).
Рассмотрим типы систем эконометрических уравнений.
1. Система независимых регрессионных уравнений (внешне не связанных)
В
данном случае каждая
зависимая переменная 
рассматривается
как функция некоторого е набора факторов
.
.
(7.1)
Набор
факторов 
в
уравнениях (1) может варьировать. Каждое
уравнение системы независимых уравнений
может рассматриваться самостоятельно,
а его параметры могут быть найдены на
основе традиционного метода наименьших
квадратов (МНК).
2. Система рекурсивных уравнений
В
таких системах в одном из уравнений
содержится единственная зависимая
переменная 
,
которая в следующем уравнении присутствует
в качестве факторной переменной. В
третье уравнение эти эндогенные
переменные из предыдущих уравнений
могут быть включены как факторные и т.
д.
(7.2)
В
данной системе каждое последующее
уравнение наряду с факторными
переменными 
включает
в качестве факторов все зависимые
переменные предшествующих уравнений.
Каждое уравнение этой системы может
рассматриваться самостоятельно, и его
параметры определяются методом наименьших
квадратов (МНК).
3. Система взаимозависимых (одновременных) уравнений
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые (эндогенные) переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. выступают в роли результативных признаков), а в других уравнениях – в правую часть системы (т. е. выступают в качестве факторных переменных). Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели (СФМ).
Система одновременных уравнений в структурной форме и при отсутствии лаговых переменных может быть записана:
(7.3)
Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Тождества позволяют исключать некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности Параметры модели в структурной форме называют ее структурными коэффициентами
Система одновременных уравнений в структурной форме позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
В
отличие от предыдущих систем каждое
уравнение системы одновременных
уравнений не может рассматриваться
самостоятельно, и для нахождения его
параметров традиционный МНК неприменим,
т. к. нарушаются предпосылки, лежащие в
основе МНК (например, предпосылка о
некоррелированности факторных переменных
с остатками). Эндогенные переменные
являются случайными величинами,
зависящими от 
.
В том случае, когда эндогенная переменная
входит в некоторое уравнение как
факторная происходит нарушение названной
предпосылки МНК. Таким образом, для
нахождения структурных коэффициентов
традиционный МНК неприменим. С этой
целью используются специальные приемы
оценивания.
|
Предложения интернет-магазинов
Рекламная сеть Topadvert |
7.2. Приведенная форма модели
Для определения структурных коэффициентов на основе структурной модели формируют приведенную форму модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
(7.4)
где 
–
коэффициенты приведенной формы
модели, 
–
случайные остатки для приведенной
формы.
По
своему виду приведенная форма модели
ничем не отличается от системы независимых
уравнений, параметры которой оцениваются
традиционным МНК. Применяя МНК, можно
оценить 
,
а затем оценить значения эндогенных
переменных через экзогенные.
Можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим структурную модель с двумя эндогенными переменными.
.
(7.5)
Запишем соответствующую приведенную форму модели:
.
(7.6)
Выразим коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.
Из
первого уравнения (7.5) можно выразить 
(ради
упрощения опускаем случайную величину): 
.
Подставим 
во
второе уравнение (7.5):
(7.7)
Выразим
из (7.7) 
: 
.
Поступая аналогично со вторым уравнением системы (7.5), получим
,
т. е. система (7.5) принимает вид:
Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели выражаются через коэффициенты структурной формы следующим образом:
Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют взаимосвязи между эндогенными переменными.
7.3. Проблема идентификации
При правильной спецификации модели задача идентификация системы уравнений сводится к корректной и однозначной оценке ее коэффициентов. Непосредственная оценка коэффициентов уравнения возможна лишь в системах внешне не связанных уравнений, для которых выполняются основные предпосылки построения регрессионной модели, в частности, условие некоррелированности факторных переменных с остатками.
В рекурсивных системах всегда возможно избавление от проблемы коррелированности остатков с факторными переменными путем подстановки в качестве значений факторных переменных не фактических, а модельных значений эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных переменных. Процесс идентификации осуществляется следующим образом:
1. Идентифицируется уравнение, в котором в качестве факторных не содержатся эндогенные переменные. Находится расчетное значение эндогенной переменной этого уравнения.
2. Рассматривается следующее уравнение, в котором в качестве факторной включена эндогенная переменная, найденная на предыдущем шаге. Модельные (расчетные) значения этой эндогенной переменной обеспечивают возможность идентификации этого уравнения и т. д.
В системе уравнений в приведенной форме проблема коррелированности факторных переменных с отклонениями не возникает, так как в каждом уравнении в качестве факторных переменных используются лишь предопределенные переменные. Таким образом, при выполнении других предпосылок рекурсивная система всегда идентифицируема.
При рассмотрении системы одновременных уравнений возникает проблема идентификации.
Идентификация в данном случае означает определение возможности однозначного пересчета коэффициентов системы в приведенной форме в структурные коэффициенты.
Структурная
модель (7.3) в полном виде содержит 
параметров,
которые необходимо определить. Приведенная
форма модели в полном виде
содержит 
параметров.
Следовательно, для определения 
неизвестных
параметров структурной модели можно
составить 
уравнений.
Такие системы являются неопределенными
и параметры структурной модели в общем
случае не могут быть однозначно
определены.
Чтобы получить единственно возможное решение необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой их взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другими путями: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково и пр.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
· идентифицируемые;
· неидентифицируемые;
· сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов нахождения параметров.
|
Предложения интернет-магазинов Г. Б. Клейнер, С. А. Смоляк Эконометрические зависимости. Принципы и методы построения
Дж. Джонстон Эконометрические методы
А. А. Пересецкий Эконометрические методы в дистанционном анализе деятельност…
Е. П. Чураков Прогнозирование эконометрических временных рядов
Рекламная сеть Topadvert |
Чтобы определить тип структурной модели необходимо каждое ее уравнение проверить на идентифицируемость.
Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель кроме идентифицируемых содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
7.4. Условия идентифицируемости уравнений структурной модели