2.6. Алгебраические операции над различными математическими объектами

В математике изучают не только отношения, но и различные операции над различными математическими объектами. В качестве математических объектов можно перечислить: числа, множества, высказывания.

Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Длямножеств: пересечение, объединение, вычитание. Надвысказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке, и ввел их английский математик Дж. Буль [1815-1864] (булева алгебра). Операции над множествами ввел немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции над множествами и высказываниями обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые отличаются от свойств операций над числами. В XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, множеств, высказываний и другие.

Появилось общее понятие алгебраической операции. В математике вводятся понятия операций над элементами множества произвольной природы и изучаются свойства таких операций. Основная идея состоит в том, чтобы изучать не свойства конкретных элементов конкретных множеств, а свойства операций над этими элементами. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задаётся с помощью формулы алгебры множеств.

Например,A(ВC), (X\Y)Z – формулы алгебры множеств.

Пример 22.

Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9},

K = {6, 7, 9}.

Найти:

X=(MN)(MK)\(NК)(N\K).

Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K).

Решение.

1) MN= {7, 2};

2) MК = {7};

3) NК={7, 9};

4) MK={2, 3, 5, 6, 7, 9};

5) NМ= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};

6) KN={1, 2, 4, 6, 7, 9};

7) N\K={1, 2, 4}.

X=(MN)(MK)\(NК)(N\K)={1, 2, 4}.

Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K)={1, 2, 3, 4,5}.

2.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств»

1. X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множества X и Z равны»;

b) «Множества X и Z не имеют общих элементов»;

c) «Множество X включает в себя множество Z»;

d) «Множество X есть подмножество множества Z».

2. Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

3. Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество А включает в себя множество М»;

b) «Множества A и M равны»;

c) «Множество А есть подмножество множества М»;

d) «Множество М есть подмножество множества А».

4. Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением будет:

a) «Множества A и B равны»;

b) «Множества A и B не имеют общих элементов»;

c) «Множество A включает в себя множество B»;

d) «Множество A есть подмножество множества B».

5. Заданы множества C={7,2,5} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество D является подмножеством множества C»;

b) «Множество C является подмножеством множества D»;

c) «Множества C и D равны»;

d) «Множество C не равно множеству D».

6. Заданы множества M={9,5,4} и N={9,1,4,2,5,3}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

7. Если сравнить две упорядоченные пары: (3;9) и (9;3), то они находятся в отношении:

a) «функциональной зависимости»;

b) «не имеют общих элементов»;

c) «равенства».

d) «не равенства».

8. Заданы две упорядоченные пары: (8;1), (1;8) двух множеств: A={8,4,1} и B={1,4,8}, которые находятся в отношении:

a) «равенства».

b) «функциональной зависимости»;

c) «не равенства».

d) «упорядоченности по убыванию».

9. Отношение задано неравенством: x-3y>0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (5; 2); b) (1; 1); c) (5; 1); d) (0; 0).

10. Отношение задано неравенством: 5x+y<0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (1; 2); b) (-1; 1); c) (1; -1); d) (0; 0).