xi = xi + h; f 1 = f (x).

n, f (x), x, h.

Все вищезазначене узагальнюється і на випадок функції багатьох змінних f (x) . Так, і-та складова градієнту gi (x) обчислюється за виразом:

gi (x) = 21h [f (x + hiesi ) − f (x −hieri )] ,i =1(1)n,

де eri - одиничний вектор( i -та складова дорівнює 1, решта – 0).

3 Алгоритм обчислення градієнту цільової функції

3.1) Введення

3.2) Цикл по i : i =1(1)n.

3.3)

3.4) xi = xi − 2h; f 2 = f (x).

3.5) gi = f 12−hf 2 .

3.6) x i = x i + h. (відновлення значення x i ). 3.7) Кінець циклу по i.

3.8) Друк результатів обчислення.

4 Завдання

4.1) Для трьох цільових функцій (ЦФ): двох тестових F1, F2 і однієї індивідуальної F3 провести аналітичний розрахунок градієнту в точці x (для функції F3 , точку обрати самостійно). При обрахунках тут і надалі використовувати 14 цифр після коми.

1. Проста квадратична функція F1	F1(x) = (x1 − x2 )2 +	1	(x1 + x2 −10)2 ; x = (0,1)T
		9

12

2.	Функція Розенброка F2				F2(x) =100(x2 − x12 )2 +(1− x1)2; x = (−1.2,1)T
3.	Індивідуальна функція F3 :
	цільова функція формується з системи нелінійних рівнянь за
варіантом (табл. 1.2)
	f		(x	,..., x			) = 0
	1		1		n
	....................... ,
	f	n	(x		,..., x	n	) = 0
			1

яка має вигляд:

F3(x) = f 21(x1,..., xn ) +.... + fn2 (x1,..., xn ) .

Мінімум цієї функції буде співпадати з вирішенням системи.

Таблиця 1.2 – Варіанти систем рівнянь

Варіант			Система рівнянь		Варіант			Система рівнянь
1	(x1 −1)2			+ x22 =1;	16	x12	+ x 22			− x1 = 4.75;
	x12		+ x22	=1;		2x12 − x1x 2 − x 22 =14;
2	x1 − Sin(x1 + x 2 ) =157.;				17	3x1 −Cosx2 = 6.51;
	x12		+ x 22	= 6.6;		Sin(x1			−0.6) − x2		= 2.57;
3	0.8x12 +15.x 22 = 2.42;				18	Sin(x1			−0.6) − x 2		=16.;
	Sin(2x1 − x2 ) −12.x1 = −128.;					3x1 −Cosx 2 = 0.9;
4	x 2		+ x 2	= 7.72;	19	x (x		− x2 ) =1;
	1		2			1	2			1
	(x	1	−1)2 + x 2 = 3.92;			x (x x2				+5) = 9;
				2		1	1	2
5	Cos(x2 −1) + x1 =14.;				20	Sin(x1			+ x 2 ) −12.x1 = 0.2;
	x 2		−Cosx1 = −1;			x12	+ x22			=1;

13

6

Sin(2x1 − x2 ) −12.x1 = 0.4;

21

(x1 + x2 )2

− x1 = −0.7;

0.8x12 +15.x 22

=1;

x12

− 7x1x 2

+ x 22 =12.9;

7

x

2

+ x

2

= 2.88;

22

x2

(1− x2 ) = 0;

1

2

1

2

x

2

−6x

1

+ x 2

= −4.32;

3x2

− 2x2

= 4.75;

1

2

1

2

8

2x1 −Cos(x 2

+1) = 0;

23

Cos(x2 +0.5) + x1 = 0.8;

x 2

+ Sinx1

= −0.4;

Sinx1 −2x2

=1.6;

9

2x12 − x1x 2

− x22 = 2.24;

24

x12

− 7x1x 2

+ x 22 =15.25;

x12

+ x 22

− x1 =188.;

(x1 + x 2 )2

− x1 =1.5;

10

x12

+ x 22

= 611.;

25

tg(x1x 2 ) − x12 = 0;

x1 − Sin(x1 + x 2 ) =15.;

0.8x12 +2x 22

=1;

11

Sin(x2

+0.5) − x1 =1;

26

3x12

−2x 22

=12.78;

Cos(x1 −2) + x2 = 0;

x12 (1 − x22 ) = −7.2;

12

Cosx 2

+ x1

=15.;

27

x12

−6x1 + x22 = −4.76;

2x2 − Sin(x1 −0.5) =1;

x12

+ x 22 = 2.44;

13

Sin(x2

−1) + x1 =13.;

28

Sin(x1 −0.6) − x2 = 2.07;

x 2

− Sin(x1 +1) = 0.8;

3x1 −Cosx 2 = 4.92;

14

Sin(2x1 − x2 ) −12.x1 =152.;

29

4x1 + x23 −2x1x2 − x2 = 4.2;

0.8x1 +15.x2 =183.;

2x12

+3x1 + x2 + x 22 = 0.22;

15

tg(x

x

2

+0.3) − x 2 = 0;

30

x2

+ 2x2 = 2.8;

1

1

1

2

0.9x 2 +2x 2 =1;

2x2

−9x

+ 2x2 = −3.5;

1

2

1

1

2

4.2) Скласти програму розрахунку на ЕОМ градієнту ЦФ за методом центральної різниці для F1, F 2, F3 при h =10−2 ÷10−9 з кроком h =10−1 .

Результати звести у таблицю:

14

Таблиця 1.3 – Значення градієнту

Крок		F1 =...			F 2 =...			F3 =...
h	F1x1		F1x2	F 2x1		F 2x2	F3x1		F3x2
10-2
10-3
..
10-9

4.3) Використавши дані п. 4.1 та 4.2 розрахувати абсолютну похибку обчислень чисельних значень градієнту для F1, F 2, F3 при h=10-2÷10-9 та звести у таблицю:

Таблиця 1.4 – Значення абсолютної похибки

Крок

F1 =...

F 2 =...

F3 =...

h

E1x1

E1x2

E2x1

E2x2

E3x1

E3x2

10-2

10-3

..

10-9

Розрахунок абсолютної похибки вести за формулою:

Ei =

Fi K − Fi A

,

де Fi K –

значення,

обраховане

за

допомогою

ЕОМ,

Fi A – значення,

обраховане аналітично;

4.4) Визначити крок, при якому для усіх функцій похибка обчислень найменша.

15