8.1 Условия перпендикулярности на комплексном чертеже

Эти условия основаны на следующей теореме об ортогональной проекции прямого угла.

Для того, чтобы ортогональной проекцией прямого угла был прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна из сторон этого угла была параллельна плоскости проекций, при этом другая сторона не должна быть перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы из трех перпендикулярах.

Значит, если одна сторона прямого угла является прямой уровня, то прямой угол проецируется без искажения на плоскость, параллельную этой стороне. Зная это, выведем свойства проекций перпендикуляра к плоскости.

Известно, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости. Поэтому, если некоторая прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна горизонтали h к фронтали f этой плоскости. А эта перпендикулярности сохраняется при ортогональном проецировании: для горизонтали – на горизонтальную плоскость, для фронтали – на фронтальную плоскость.

Т.о., прямая и плоскость общего положения взаимно перпендикулярны в том и только том случае, когда проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих линий уровня, т.е. горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Рассмотрим примеры построе6ния прямой, перпендикулярной плоскости; плоскости, перпендикулярной прямой, и взаимно перпендикулярных плоскостей.

Задача. Через точку М провести прямую n, перпендикулярную плоскости О (А, В, С) (рис. 8.1).

1. Проводим в плоскости О горизонталь h (h₁, h₂).

2. Горизонтальная проекция перпендикуляра n₁ ┴ h_1, n₁ € M₁

3. Проводим в плоскости О фронталь Р (f₁, f₂)

4. Фронтальная проекция перпендикуляра n₂ ┴ f_2, n₂ € M₂

П₁ и П₂ – проекции искомого перпендикуляра n.

Задача. Через точку А провести плоскость О, перпендикулярную прямой l (рис. 8.2)

Для построения плоскости О, перпендикулярной к плоскости А можно провести двумя путями:

1. Плоскость О проводится через прямую, перпендикулярную к плоскости Л.

2. Плоскость О проводится перпендикулярно к прямой, принадлежащей плоскости Л или параллельной этой плоскости.

Задача. Через прямую l провести плоскость О, перпендикулярную плоскости Л (АВС) (рис.8.3)

1. На прямой l выберем любую точку К.

2. Через точку К проводим прямую n, перпендикулярную плоскости Л. Искомая плоскость определена пересекающимися прямыми l и n.

Чтобы через данную точку провести плоскость перпендикулярную к двум данным плоскостям, следует через эту точку провести прямые перпендикулярные к каждой из данных плоскостей, или построить линию пересечения данных плоскостей, тогда искомая плоскость перпендикулярна к этой линии.

При решении задач на построение с использованием свойств перпендикулярности прямой и плоскости необходимо в каждом конкретном случае в результате анализа исследуемых объектов определить ортогональные элементы и их расположение.

1. В прямоугольном треугольнике прямой угол между катетами.

2. У квадрата и прямоугольника прямые углы при вершинах.

3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам.

4. В равнобедренном треугольнике совпадают высота, биссектриса и медиана, проведенные из его вершины между равными сторонами.

Внекоторых задачах полезно применять свойства множеств геометрических объектов, основанные на признаке перпендикулярности:

1. Плоскость, перпендикулярная прямой, есть множество прямых, перпендикулярных данной в заданной точке.

2. Плоскость, перпендикулярная к отрезку и проведенная через его середину, есть множество точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Задача. Достроить горизонтальную проекцию прямоугольного треугольника АВС, если дана его фронтальная проекция и горизонтальная проекция его катета АВ. Угол В – прямой (рис. 8.4). Множество всех прямых, проходящих через точку В и перпендикулярных отрезку АВ, образуют плоскость О┴АВ. На чертеже эту плоскость зададим горизонталью h и фронталью f. С € О и С₁ следует строить по принадлежности плоскости О.

2. Способы решения некоторых метрических задач

Зачастую метрические задачи можно решить несколькими способами. Во многих случаях рационального решения добиваются, применяя способы преобразования комплексного чертежа. Рассмотрим это на нескольких примерах.

Задача. Определить длину отрезка АВ.

1 способ. Применим метод замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Дополнительную плоскость проекций П₄ (П₄┴П₁) следует провести параллельно прямой АВ. А₁ В₁ проекция АВ на П₄. Очевидно, что /А₄В₄/ = /АВ/.

2 способ. Решим задачу методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 8.6). Через один из концов отрезка (например В) следует провести ось вращения i (i ┴П₁) и повернуть отрезок вокруг оси так, чтобы он стал параллелен плоскости П₂. Горизонтальная проекция траектории движения точки А – дуга окружности а, фронтальная проекция – отрезок а₂ (а₂┴ i). После поворота отрезок занял положение В₂^’А₂^’, / А₂^’ В₂^’/ = /АВ/.

3способ. Способ прямоугольного треугольника.

Проанализируем рассмотренные в предыдущих способах чертежи. На рис. 9.7 отрезок А₄В₄ является гипотенузой прямоугольного треугольника А₄К₄ В₄, у которого катет В₄К₄ равен горизонтальной проекции отрезка А₁В₁, а второй катет равен разности расстояний концов отрезков до горизонтальной плоскости проекций. Такой же вывод можно сделать, рассматривая треугольник В₂^’K₂^’A₂^’ на рис. 8.6.

Поэтому, не проводя дополнительных построений, длину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник как показано на рис. 8.7. Прямоугольный треугольник можно построить также на свободном поле чертежа.

4 способ. Расчетно – графическая модель (рис. 8.8)

В тех ситуациях, когда рассматриваемую задачу необходимо решать многократно, полезно, обобщая полученные результаты, составить расчетно – графическую модель.

Если всевозможные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами расположить так, чтобы один конец гипотенузы совпадал с точкой (0,0), а один из катетов каждого треугольника принадлежал одной прямой, то второй конец гипотенузы должен принадлежать окружности с радиусом, равным гипотенузе.

На рис. 8.8 построено множество таких окружностей, с числовыми отметками, соответствующими радиусами. Полученный чертеж следует дополнить двумя семействами параллельных прямых. Числовые отметки вертикальных прямых соответствуют длинам одной из проекций отрезка, а числовые отметки горизонтальных прямых соответствуют величине ∆. Такой чертеж называется расчетно – графической моделью или номограммой.

Порядок ее работы рассмотрим на примере. Пусть длина одной из проекций отрезка равна 4 и ∆ - 3. Находим точку М пересечения вертикальной прямой с числовой отметкой 4 и горизонтальной прямой с числовой отметкой 3. Числовая отметка окружности, проходящей через точку М, определяет искомую длину отрезка.

Задача. Найти расстояние от точки М до плоскости (АВС).

1 способ. Решим эту задачу по общим правилам, не прибегая к методам преобразования комплексного чертежа (рис. 8.9)

Алгоритм решения заключается в следующем

1. Через точку М проводим прямуюn, перпендикулярную плоскости (АВС) (h – горизонталь, f – фронталь этой плоскости, n₁┴h₁, n₂┴f₂).

2. Найдем точку N пересечения прямой n с плоскостью (АВС) (∑ € n, ∑ ┴ П₂, ∑ П (АВС) = (12), (12) П n =N).

3. Построим отрезок N₂N^” равный искомой величине /MN/. На рис. 8.9 это сделано способом прямоугольного треугольника.

2 способ. Применим метод замены плоскостей проекций (рис. 8.10).

1. Дополнительную плоскость проекций П₄ следует выбирать перпендикулярно плоскости (АВС). Условия метода требуют, чтобы П₄ была перпендикулярна одной из плоскостей проекций, например П₁. Тогда П₄ необходимо провести перпендикулярно горизонтали плоскости h, т.е. х₁₄ ┴ h₁.

2. Построим проекции данной плоскости и точки М на П₄. Очевидно, что на П₄ плоскость (АВС) проецируется в прямую А₄В₄.

3. M₄N₄ ┴ А₄В₄. / M₄N₄/ - искомая величина.

3 способ. Применим метод вращения вокруг проецирующей оси.

1. Проведем ось вращения i через одну из вершин треугольника АВС, например через А, i ┴ П₁. Через эту же вершину следует провести горизонталь плоскости h (рис. 9.11).

2. Повернем горизонталь h вокруг i так, чтобы она стала фронтально проецирующей прямой h^’.

3. На тот же угол и вокруг той же оси следует повернуть все вершины треугольника АВС и точку М. После поворота плоскость (АВС) на фронтальную плоскость проекций проецируется в прямую В₂^’C₂^’, а отрезок MN, равный расстоянию от точки М до плоскости (АВС) в натуральную величину.

Задача. Построить натуральную величину треугольника АВС.

Эту задачу можно решить многими способами. Рассмотрим два из них.

1 способ. С применением метода замены плоскостей проекций (рис. 8.11).

В данном случае плоскость (АВС) является плоскостью общего положения, значит и плоскость ей параллельная не может быть перпендикулярна ни к П₁, ни к П₂. Поэтому метод замены здесь следует применять дважды.

1. Выберем П₄┴ П₁ и П₄ ┴(АВС), следовательно х_{14 ┴} h₁, где h – горизонталь (АВС). Тогда проекция А₄В₄С₄ – отрезок прямой.

2. Плоскость П₅ должна быть параллельна плоскости (АВС), т.е. х₄₅ ║ А₄С₄, и А₅В₅С₅ есть натуральная величина данного треугольника. Это дает возможность измерить стороны, углы, площадь и другие элементы треугольника АВС.

2 способ. Вращение вокруг линии уровня (рис. 8.13).

Проведем горизонталь h треугольника АВС, h € А. Повернем треугольник вокруг горизонтали h так, чтобы его плоскость стала горизонтальной, тогда на П₁ треугольник спроецируется в натуральную величину. Траектория движения вершины В – окружность К, плоскость которой перпендикулярна оси вращения h. Следовательно, горизонтальная проекция этой окружности – отрезок прямой k₁. k₁ ┴ h₁. k₁ П h₁ = О₁. О – центр окружности к. ОВ – радиус вращения точки В. После поворота радиус вращения ОВ спроецируется в натуральную величину. Поэтому следует определить натуральную величину r отрезка ОВ. (на рис. 8.13это выполнено методом прямоугольного треугольника). /О₁В₁^’/ = r.

Чтобы найти положение вершины С после поворота достаточно построить проекцию траектории m движения точки С и найти точку ее пересечения с прямой В₁^’l₁. (точка А и 1 не меняют своего положения, т.к. принадлежат оси вращения). А₁В₁^’C₁^’ натуральная величина треугольника АВС.

Задача. Определить расстояние от точки М до прямой l.

Классический способ решения (рис. 8.14) этой задачи описывается следующим алгоритмом.

1. Через данную точку М проведем плоскость О (h*f), перпендикулярную l/

2. Найдем точку N пересечения этой плоскости с прямой l.

3. Определим натуральную величину отрезка MN/

Эту же задачу можно решить, применяя дважды метод замены плоскостей проекций (рис. 8.15).

Плоскость П₄ выбираем параллельно прямой l, а П₅ перпендикулярно ей. Тогда на плоскость П₅ данная прямая спроецируется в точку, а отрезок, намеряющий искомое расстояние, - в натуральную величину.

Аналогично можно решать задачи на определение расстояния между двумя прямыми или величины двугранного угла.

2. Нормаль поверхности

Нормалью поверхности в точке М называется прямая, проходящая через М и перпендикулярная касательной плоскости в этой точке.

Построение касательной плоскости к сфере рассмотрено в главе 4. Аналогично можно построить касательную плоскость к любой поверхности. Проанализируем возможные способы построения нормали тора Ф в некоторой точке М.

Для построения касательной плоскости через точку М следует провести две линии, принадлежащие поверхности (рис 8.16), например параллель p и меридиан m, и построить касательные к ним b и h в точке М. Тогда касательная плоскость О задана пересекающимися прямыми b и h, причем h – горизонталь. Построим фронталь f, f € О. Искомая нормаль n проходит через М и перпендикулярна О (n₁┴h₁, n₂┴f₂).

В общем случае это решение является приближенным, т.к. приближенно строится линия b и касательная к ней.

Более точное решение можно получить, применяя методы преобразования комплексного чертежа.

На рис. 8.17 эта задача решена методом вращения. Данная поверхность повернута вокруг оси вращения так, чтобы меридиан m занял положение главного меридиана m^’. М₂^’ € m₂^’. Тогда касательная плоскость О спроецируется в прямую О₂^’, n^’ (n₁^’,n₂^’) – нормаль поверхности в точке М^’, b^’ € O^’, b^’ – фронталь плоскости O^’, n₂^’ ┴ b₂^’, b^’ П i = А; n^’ П i = В. Точки А и В неподвижны, т.к. принадлежат оси вращения. При обратном вращении плоскость О^’ займет положение О (h*b), b = АМ, и нормаль n совпадает с прямой ВМ.

Эту же задачу можно решить методом замены плоскостей проекций, для этого дополнительную плоскость следует выбирать параллельно плоскости меридиана, проходящего через данную точку.

9. Развертки поверхностей

В промышленности применяется большое количество разнообразных конструкций, выполненных из листового материала путем изгибания, например наружная обшивка фюзеляжа самолета, вентиляционные каналы, различного рода резервуары. Один из этапов проектирования таких листовых конструкций является построение разверток.

Представим поверхность в виде гибкой, но не растяжимой пленки. Оказывается , при таком условии некоторые поверхностей можно, постепенно изгибать, совмещать с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок. Поверхности, обладающие указанным свойством (многограммые, конические, цилиндрические, торсовые), называют развертывающимися, а фигуру, полученную от совмещения поверхности с плоскостью – разверткой. Все остальные виды поверхностей относятся к неразвертывающимся.

Если рассматривать поверхность Ф и ее развертку Ф₀ как точечные множества, то при условии совмещения поверхности с плоскостью между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное непрерывное соответствие: каждой точке А поверхности Ф соответствует единственная точка А₀ на развертке Ф₀, каждой линии АВ на поверхности Ф соответствует определенная линия А₀В₀ на развертке Ф_0, и наоборот.

Полученные т.о. развертки обладают следующими свойствами:

• Длины двух соответственных отрезков линий развертки и поверхности равны между собой.

• Углы, образованные линиями на поверхности, и углы между соответствующими линиями на развертке также равны.

• Замкнутая линия на поверхности, и соответствующая ей линия на развертке ограничивают фигуры, площади которых равны между собой.

Следовательно, площадь развертки равна площади самой поверхности.

Преобразования, обладающие свойством сохранения углов, называются конформными преобразованиями, поэтому можно сказать, что поверхность и ее развертка конформны.

Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.

Причем параллельным прямым поверхности соответствует параллельные прямые на развертке. Это утверждение справедливо только при переходе от поверхности к развертке, но не наоборот.

Линия на поверхности, которым на развертке соответствуют прямые, называются геодезическими линиями. По геодезическим линиям определяют кротчайшее расстояние между точками на поверхности.