Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ . Его общим решением является функция, т.е.

Частное решение уравненияможно найти, если известно общее решениесоответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных, состоящим в следующем. Пусть– общее решение уравнения.

Заменим в общем решении постоянные инеизвестными функциямиии подберем их так, чтобы функциябыла решением уравнения.

Найдем производную

Подберем функции итак,чтобы

Тогда ,

.

Подставляя выражение для ,,в уравнение, получим:

+

,

или

+

Поскольку и– решения уравнения, то выражения в квадратных скобках равны 0, а потому.

Таким образом, функция будет частным решениемуравнения, если функциииудовлетворяют системе уравненийи:

Определитель системы , так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решенийиуравнения. Поэтому система имеет единственное решениеи, гдеи- некоторые функции отх. Интегрируя эти функции, находим и, а затем по формулесоставляем частное решение уравнения.