А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Пример:

Найти вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 1.21, а). Известны вероятности безотказной работы элементов

F1 = 0,5; F2 = 0,6; F3 = 0,8; F4 = 0,9; F5 = 0,7.

Пример расчета с преобразованием структуры

			B	3
1	B	3	QB
			QA
A			A
	5		вход	выход
вход
			выход
2		4	QC	4
	C		C
а) исходная схема			б) промежуточная схема
			Рис. 1.21

Решение:

Преобразуем соединение элементов 1-2-5 (треугольник) в звезду (Рис. 1.21, б). Определим эквивалентные значения вероятностей отказов для новых элементов:

QA Q1 Q2 (1 0,5)(1 0,6) 0,2;

QB Q1 Q5 (1 0,5)(1 0,7) 0,15;

QC Q2 Q5 (1 0,6)(1 0,7) 0,12.

Теперь рассчитаем вероятности безотказной работы цепей В-3 и С-4 (каждая из них - последовательное соединение):

FB 3 FB F3 (1 0,15) 0,8 0,68;

FC 4 FC F4 (1 0,12) 0,9 0,792.

Вероятность отказа подсистемы В-3-С-4 (параллельное соединение цепей В-3 и С-4):

QB 3 C 4 QB 3 QC 4 (1 0,62)(1 0,792) 0,079.

91

1.4.4. Преобразование сложных структур

Наконец, вероятность безотказной работы всей системы (последовательное соединение элемента А и подсистемы В-3-С-4).

FC FA FB 3 C 4 (1 0,2)(1 0,079) 0,737.

Возможны еще три варианта преобразования структуры:

1.элементы 3-4-5 – в звезду;

2.элементы 1-3-5 – в треугольник;

3.элементы 2-5-4 – в треугольник.

Предлагаем читателям сделать расчеты самостоятельно.

1.4.5. Расчет надежности с использованием графов состояний и переходов

Рассмотрим часто встречающиеся	структуры	схем надежности
(Рис. 1.22). В левой части рис. 1.22, а)	показаны	структурные схемы

надежности, в средней части рис. 1.22, б) графы состояний и переходов при различных интенсивностях, справа рис. 1.22, в) - для этих же систем при равнонадежных элементах. Для того, чтобы перейти от графа состояний невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой, достаточно поставить обратные стрелки переходов с интенсивностями восстановлений.

Пример:

Потребитель первой категории получает электроэнергию от двух ЛЭП (Рис. 1.23, а). Известны интенсивности отказов каждой ЛЭП соответственно

A = 1 1/год и B = 1,5 1/год, интенсивности восстановлений A = 8 1/год и

B = 14 1/год. В начальный момент времени обе ЛЭП исправны.

Найти зависимости от времени вероятностей отказа каждой ЛЭП, вероятности одновременного нахождения в состоянии отказа обеих ЛЭП, вероятности безотказной работы системы (не отказала ни одна ЛЭП) и функцию готовности. Источники электроэнергии считать абсолютно надежными.

Решение:

Система электроснабжения потребителя состоит из двух элементов (ЛЭП). Электроснабжение потребителя нарушается тогда, когда отказывают обе ЛЭП. Тип соединения по надежности - параллельный (Рис. 1.23, б).

92

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Принимаем допущение, что невозможны в один и тот же момент времени два и более событий. Т.е. невозможен отказ в одно и то же мгновение обеих ЛЭП, или отказ одной ЛЭП в момент восстановления другой. Но возможны состояния, когда обе ЛЭП отказали.

Переход от структурной схемы надежности к графу состояний и переходов

λ1	λ2	λ3	λ2			λ1= λ2= λ3= λ
							3λ
			λ1	λ3
	λ1
	λ2	λ	2	λ	1	λ1= λ2= λ
						2λ	λ
			λ1	λ2

λ1

λ2

λ3

			λ2
λ	3 λ		λ	λ
		3		1
				1
		λ1	λ3
λ2			λ2	λ2

λ1 λ3

λ1= λ2= λ3= λ 3λ 2λ λ

а) структурная схема	б) граф состояний и	в) граф состояний и
	переходов при	переходов при одинаковых
	различных	интенсивностях
	интенсивностях	(равнонадежные элементы)
	Рис. 1.22

93

1.4.5. Расчет надежности с использованием графов состояний и переходов

Перечислим возможные состояния системы:

1.Обе ЛЭП исправны.

2.ЛЭП А отказала, В исправна.

3.ЛЭП В отказала, А исправна.

4.Обе ЛЭП отказали.

Граф состояний и переходов для такой системы показан на рис. 1.23, в). Стрелками показаны интенсивности переходов между состояниями

12 - интенсивность отказов ЛЭП А;

13 - интенсивность отказов ЛЭП В;

24 - интенсивность отказов ЛЭП В (ЛЭП А уже отказала);

34 - интенсивность отказов ЛЭП А (ЛЭП В уже отказала);

21 - интенсивность восстановлений ЛЭП А;

31 - интенсивность восстановлений ЛЭП В;

42 - интенсивность восстановлений ЛЭП В (в четвертом состоянии в отказе были обе ЛЭП, в третьем осталась в состоянии отказа только В, следовательно, ЛЭП В была восстановлена);

43 - интенсивность восстановлений ЛЭП А (в четвертом состоянии в отказе были обе ЛЭП, во втором осталась в состоянии отказа только А, следовательно, ЛЭП А была восстановлена).

Запишем уравнения Колмогорова:

		dP1(t)				21		P	(t)	31		P		(t) (		12				13			) P (t);
		dt						2					3												1
		dP	(t)
		2					12	P	(t)	42			P	(t) (			21				24			) P		(t);
		dt						1					4												2	(1.104)
	dP		(t)
		3			13			P1(t) 43 P4(t) ( 31 34) P3(t);
		dt
	dP		(t)
		4					24	P	(t)		34		P		(t) (			42				43			) P	(t).
		dt						2					3												4

Начальные условия: P1(0) = 1; P2(0) = P3(0) = P4(0) = 0.

Решать систему дифференциальных уравнений будем методом РунгеКутта по программе на языке Бейсик (прил. 6). В программе в строках 200230 должны быть записаны функции каждого уравнения в заданной форме. Сделаем переход от исходной формы записанных уравнений к заданной.

94

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Расчет надежности электроснабжения потребителя при питании от

двух ЛЭП

~

~

А

В

А

вход

выход

В

а) электрическая схема

б) структурная схема

в) граф состояний и

надежности

переходов

Pi(t)

Г(t)

Г(t)

0,9

0,8

P1(t)

0,5

0,1

P2(t)

P3(t)

P4(t)

0

1

2

3

4

t, год

г) результаты расчетов

Рис. 1.23

95

1.4.5. Расчет надежности с использованием графов состояний и переходов

Исходное обозначение			Заданное обозначение
	dPi(t)		F(I)
	dt		Y(I)
	Pi(t)
	ij		L(I, J)
	ij		M(I, J)
Система уравнений будет выглядеть так:

F(1) M(2,1) Y(2) M(3,1) Y(3) (L(1,2) L(1,3)) Y(1);
F(2) L(1,2) Y(1) M(4,2) Y(4) (M(2,1) L(2,4)) Y(2);	(1.105)
F(3) L(1,3) Y(1) M(4,3) Y(4) (M(3,1) L(3,4)) Y(3);

F(4) M(2,4) Y(2) L(3,4) Y(3) (M(4,2) M(4,3)) Y(4).

Задаваясь шагом по времени 0,01 года, решаем систему уравнений. Результаты расчетов показаны на рис. 1.23, г). Следует помнить, что численным методам свойственна неустойчивость решения. Чтобы ее избежать, приходится выбирать малый шаг по времени. Что, в свою очередь, увеличивает общее время вычислений.

Функцию готовности системы можно найти по формуле

Г(t) P1(t) P2(t) P3(t) 1 P4(t).

(1.106)

Решение системы можно получить аналитически, например, с помощью преобразования Лапласа (прил. 5).

P1(t) a1 1 2								a2 exp( At) 2a3 exp( B1t) 1a4 exp( B2t) ;
		(t) a1 2 2						a2 exp( At) 2a3 exp( B1t) 1a4 exp( B2t) ;
P2																								(1.108)
P		(t) a	1		2			a	2	exp( At)		2	a	3	exp( B t) a			4	exp( B	2		t) ;
3							1								1	1							t) ;
P		(t) a	1				2	a	2	exp( At)		2	a	3	exp( B	t) a		4	exp( B		2
	4			1											1	1
где										1 12 34 A;
										2 13 24 B;
										1 21 43 A;
										2 31 42 B;
										a1					1		;
											( 1 1)( 2 2)

96

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

a2 2 1 P1(0) 1 P1(0) 2 1 P3(0) 1P4(0) ;

a3 1 P1(0) P3(0) 1 P2(0) P4(0) ;

a4 2 P1(0) P2(0) 2 P3(0) P4(0) ;

A 1 2 1 2;

B1 1 1;

B2 2 2.

1.4.6.Расчет надежности сетей

Сеть состоит из узлов (подстанции, пункты параллельного соединения, элементы, через которые поток мощности может идти не менее чем в трех направлениях) и ветвей (ЛЭП воздушных или кабельных). При неработоспособных состояниях ветвей и узлов сигналы через них не проходят. Практический интерес представляет расчет надежности электроснабжения какого-либо узла (потребителя). Сеть считается работоспособной (относительно i-го потребителя) при наличии связанности источника энергии с i-м потребителем. Под связанностью понимают существование путей передачи электроэнергии от источника к потребителю.

Сеть обычно описывают графом (не путать с графом состояний и переходов!), вершины которого соответствуют узлам сети, а ребра - линиям связи между смежными вершинами. Каждый узел, как и линия связи, может находиться в работоспособном или неработоспособном состоянии. В качестве исходной информации используются показатели надежности ребер и вершин графа, которые предполагаются известными.

Основная сложность расчетов заключается в многомерности задачи. Например, для системы электроснабжения, состоящей из 100 элементов

число возможных состояний достигает 2100–1.

Применение метода дифференциальных уравнений Колмогорова затруднено не только большим числом уравнений, но и сложностями составления графа состояний и переходов.

Поэтому при расчете надежностей сетей приходится принимать целый ряд допущений, которые упрощают расчеты и дают лишь приближенные значения показателей надежности. Рассмотрим два метода расчета надежности сетей.

97

1.4.6. Расчет надежности сетей

Оценка надежности методом преобразованных сетей

Метод заключается в придании исходной сети такой конфигурации, для которой можно применить известные расчетные формулы. Причем, исходная сеть преобразуется дважды так, чтобы получить две сети с заведомо более высокой и заведомо более низкой надежностью. В результате расчетов надежности двух полученных сетей получают верхнюю и нижнюю границу интервала показателей надежности, внутри которых находится значение показателя надежности исходной цепи.

Суть преобразований исходной цепи состоит в поэтапном исключении из рассмотрения отдельных линий связи путем их закорачивания или разрыва. Правила выбора тех или иных линий связи для указанных процедур отсутствуют. При таких преобразованиях используется опыт и инженерная интуиция лица, выполняющего расчет надежности. Более опытные инженеры могут получить более узкие интервалы значений показателя надежности.

Пример:

Рассчитать коэффициент готовности сети (Рис. 1.24, а) относительно узла С, если интенсивности отказов и восстановлений всех элементов известны (см. табл. 1.8).

Таблица 1.8

Интенсивности отказов и восстановлений элементов сети. Рис. 1.24, а).

Интенсивность,		Элементы сети
год–1	Источник энергии		Л Э П	Подстанция
отказов	9		4	2
восстановлений	120		80	100

Решение:

Т. к. источники Ui равнонадежны, то их можно объединить в один узел (Рис. 1.24, б). Примем вначале узлы сети абсолютно надежными и поэтапно преобразовывая исходную сеть, получим пары графов промежуточных сетей (Рис. 1.24, в, г). Верхние части рисунков соответствуют сети с заведомо меньшей надежностью, чем у исходной, нижние - с заведомо большей. На рис. 1.24, г) получены сети, которые сводятся к последовательно - параллельным структурам (Рис. 1.24, д). Теперь учтем надежность узлов, вводя их на схему в качестве отдельных элементов (Рис. 1.24, е).

Рассчитаем коэффициенты готовности.

98

У1

~

	И1	У
	У 2
	~

И2

С

У 3

~

И3

а) исходная схема

		У 1
лэп	3	лэп 5	лэп		У
		У 2	6
лэп			лэп
	2		7
лэп		лэп 4	лэп	8	С
		У 3
1

б) граф состояний

Расчет надежности сетей

У 1

У 1

лэп	3
лэп
	2
И
лэп
1

лэп 5

У2

У3

лэп
6
лэп
7
лэп	8

У

С

лэп	3
лэп
	2
И
лэп
1

У2

У3

лэп		У	лэп 3	лэп 6
6
лэп
7			лэп 2	лэп 7
		С
лэп	8
			лэп 1	лэп 8

И1	лэп 3	У1	лэп 6
И2	лэп 2	У2	лэп 7	У
И3	лэп 1	У3	лэп 8	С

		У 1
лэп	3	лэп
		6
		У 2
лэп		лэп
	2	7
И лэп 1		лэп 8

						лэп 6	лэп 3
У	лэп 3		У 2	лэп 6 У		лэп 7	лэп 2
		лэп		лэп
		2		7		лэп 8	лэп 1
С	И				С
		лэп 1		лэп 8

	лэп 3		лэп 6
И1		У1
И2	лэп 2	У2	лэп 7	У
И3		У3		С
	лэп 1		лэп 8

в) первый этап	г) второй этап	д) структурная схема	е) структурная схема с
преобразования	преобразования	без учета узлов	учетом узлов\
	Рис. 1.24

1.4.6. Расчет надежности сетей

	Для ЛЭП			80
	kГЛ				0,952.
				4 80

Для подстанций (узлов)

100

kГУ 2 100 0,980.

Для источника энергии

120

kГИ 9 120 0,930.

Коэффициент готовности для верхней схемы

k''ГС 1 (1 kГИ)3 1 (1 kГЛ2 kГУ )3 kГУ

1 (1 0,930)3 1 (1 0,9522 0,980)3 0,980 0,978.

Коэффициент готовности для нижней схемы

k'ГС 1 (1 kГИ)3 1 (1 kГЛ)3 2 1 (1 kГУ )3 kГУ

1 (1 0,930)3 1 (1 0,952)3 2 1 (1 0,980)3 0,980 0,979.

Коэффициент готовности исходной сети

0,978 kC 0,979.

Таким же способом можно определить другие показатели надежности

сети.

Оценка надежности методом минимальных путей и сечений

Такой подход основывается на следующих допущениях:

1. Рассчитываются только установившиеся или финальные (при стремлении наработки к бесконечности) показатели надежности.

100