А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.5. РЕЗЕРВИРОВАННЫЕ ОБЪЕКТЫ

	T	0,02 3 0,005	700 час,
		2 0,0052

при ненагруженном резерве

T	0,02 2 0,005	1200 час.
0,0052

Остальные показатели готовности могут быть рассчитаны по программе из прил. 6. Результаты расчетов представлены на рис. 1.34. Как следует из рис. 1.34 для повышения готовности дублированного восстанавливаемого объекта, необходимо стремиться к созданию ненагруженного резерва и восстановлению без ограничений.

Расчет показателей готовности дублированного
	восстанавливаемого объекта
Г(t)
kГ		Г	в	(t)
0,98
0,96	k kГв					Га(t)
	Га
	kГг					Гг(t)
0,94
0,92	kГб					Гб(t)
0,90	0	100		200	300	t,час
Буквенное обозначение соответствует рис. 1.33
		Рис. 1.34
				151

1.6.1. Особенности расчета

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

1.6.1. Особенности расчета

Рассмотренные выше методы расчетов позволяли оценить надежность объектов по их техническому состоянию. Все расчетные схемы можно было свести к условию: работоспособно - неработоспособно. При этом понятие работоспособности абстрагировалось до уровня пропускной способности объекта. Если объект работоспособен, то при подаче на его вход какого-либо сигнала, на выходе появляется ответная реакция. В противном случае на выходе сигнал отсутствует. Такое упрощение процесса функционирования может быть допустимо лишь для объектов с несложными алгоритмами работы. Значительно чаще на практике требуется оценить возможность выполнения объектом заданных функций. Причем, отдельный объект может выполнять несколько функций. Например, масло в выключателях может применяться и для гашения дуги и для изоляции токоведущих частей. Несколько различных объектов могут выполнять одну и ту же функцию. В этом случае можно говорить о функциональном резервировании.

Выходная функция объекта может быть дискретной, например, для выключателя - отключение заданных токов короткого замыкания, или непрерывной, например, для тяговой подстанции - поддержание уровня напряжения на шинах в заданных пределах. Большая часть этих задач функциональной надежности требует параметрического подхода. Часто приходится рассматривать структурно сложные объекты, когда выходная функция определяется функциями большого числа взаимосвязанных и взаимозависимых элементов. Поэтому требуются специальные методы расчетов, например, моделирование методом Монте-Карло.

Расчет функциональной надежности включает в себя несколько

частных задач:

1.Расчет на этапе проектирования. Известны распределения параметров элементов, необходимо найти вероятность того, что значение выходной функции объекта не выйдет за заданные пределы.

2.Известны параметры объекта и зависимость значений выходной функции от нагрузки. Нагрузка случайна, требуется определить вероятность того, что значение выходной функции объекта не выйдет за заданные пределы.

152

1.6.РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

3.Расчет на этапе эксплуатации. Известны нестационарные процессы дрейфа параметров элементов под действием нагрузки. Нагрузка детерминированная (или случайная), стационарная (или нет). Требуется найти зависимость от времени вероятности нахождения значений выходной функции в заданных пределах.

4.Отказ отдельных элементов может приводить к ухудшению качества функционирования. Например, требуется рассчитать вероятность возможности движения по ограничивающему перегону при отказе системы регулирования напряжения на тяговой подстанции.

5.Для устройств автоматики и релейной защиты имеет значение расчет вероятности динамической устойчивости при срабатывании (неустойчивое короткое замыкание, АПВ и т. д.).

Показатели функциональной надежности тесно связаны с показателями качества функционирования объектов. Показатели качества функционирования могут быть дискретными и непрерывными. Например, дискретный показатель - вероятность срабатывания разъединителя при подаче команды на переключение. Непрерывный показатель - неравномерность нажатия в процессе токосъема. Иногда показатели качества функционирования бывают одномерными, чаще многомерными. Например, электроустановка характеризуется уровнем напряжения, его колебаниями и отклонениями, а также допустимым током нагрузки.

Можно перечислить некоторые показатели функциональной надежности:

1.Вероятность выполнения заданных функций.

2.Плотность распределения выходного параметра.

3.Математическое ожидание времени срабатывания.

4.Вероятность селективного реагирования на токи короткого замыкания.

Наиболее важным, но и одновременно наиболее сложным является расчет функциональной надежности всей системы электроснабжения электрических железных дорог. Такая задача в настоящее время не решена. Надежность обеспечения энергией электрического подвижного состава и нетяговых потребителей зависит от множества факторов. Одним из определяющих факторов является протяженность системы в пространстве. Выше уже отмечалось, что это приводит к различиям в нагрузках, которые действуют на элементы системы. Другим важным следствием протяженности системы в пространстве является присущее только транспортным системам перемещение потребителей энергии в пространстве. Процесс движения поездов имеет свои особенности и закономерности. Понижение качества функционирования системы электроснабжения из-за ненадежности отдельных ее элементов влияет на процесс движения поездов. Степень

153

1.6.1. Особенности расчета

влияния может быть различной от понижения скорости движения на отдельных участках до полной остановки поездов. Режим движения поездов, в свою очередь, влияет на степень нагружения, а, следовательно, и показатели надежности всех элементов системы электроснабжения. Различна длина участков, на которых на процесс движения поездов оказывают влияние отказы устройств системы электроснабжения. Длина таких участков определяется схемой питания и секционирования, протяженностью в пространстве самих элементов, а также продолжительностью нахождения системы в отказе. Другие подходы к расчетам функциональной надежности, которые не учитывают перечисленных особенностей, являются достаточно грубыми.

1.6.2. Расчет делителя напряжения

Принципиальная схема делителя напряжения показана на рис. 1.35, а). Делитель напряжения содержит гальванический элемент G, два резистора R1, R2. Нагрузкой делителя служит некоторый потребитель П. Расчет выполняется на этапе проектирования. Известны распределения параметров всех элементов делителя и распределение входного сопротивления потребителя. Требуется рассчитать вероятность того, что напряжение на потребителе не выходит за заданные пределы.

Делитель напряжения

	R1	EИ
G	П		R1
	R2	RИ	R2	RН
	а) принципиальная схема		б) электрическая схема

E R1 R2

в) структурная схема надежности Рис. 1.35

154

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

Вначале рассчитаем структурную надежность объекта (Рис. 1.35, в). Функция надежности

F(t) PE(t) PR1(t) PR2(t).

Интенсивность отказов

(t) E(t) R1(t) R2(t),

или, если интенсивности отказов постоянны (не зависят от наработки)

E R1 R2.

Математическое ожидание наработки до отказа

1

T .

Расчет функциональной надежности основывается на анализе заданной функции. Функциональное назначение делителя - создавать на выходе напряжение. Напряжение на выходе зависит от тока нагрузки и падения напряжения на элементах делителя (Рис. 1.35, б). По закону Ома

UН EИ	EИ(R1	RИ)		(1.187)
	R1 RИ R2 RH/(R
			2 RH)

Влияние изменений параметров на выходное напряжение определяется путем дифференцирования

UH

UH

EИ

UH

R1

EИ

R1

(1.188)

UH

UH

UH

R2

RH +

RИ.

R2

RH

RИ

UH 1 A,EИ Z

где A R1 RИ;Z R1 RИ R2 RH/(R2 RH).

155

1.6.2. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

UH

A Z

EИ

;

RИ

Z2

UH

EИ A RH2

;

(R2 RH)2

R2

Z2

UH

A Z

EИ

;

R1

Z2

UH

E A R22

.

(R2 RH)2

RH

Z2

Можно заметить, что частные производные для RH и R1 совпадают, а

для R2 и RH весьма сходны, это следует из электрической схемы их включения.

По известным изменениям первичных параметров ( EИ, RИ, R1,

R2, RH) можно найти значение случайной величины UH. Вероятностью ее выхода за допустимые границы определяется вероятность отказа в функционировании.

Пусть все отклонения первичных параметров распределены по закону Гаусса (что на практике бывает не всегда). Математические ожидания отклонений равны нулю, а дисперсия указана в табл. 1.13.

Таблица 1.13.

Параметры элементов делителя напряжения

Параметр			Элемент
	ЕИ, В	RИ, Ом	R1, Ом	R2, Ом	RН, Ом
Среднее значение в схеме	10	0,1	50	40	700
Среднее квадратическое	1	0,02	6	5	30
отклонение

Задачу решим методом Монте-Карло. Генератор случайных чисел вырабатывает величину отклонений каждого из первичных параметров в

соответствии с табл. 1.13. Затем рассчитывается значение UH, и сравнивается

156

1.6.РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

сдопустимыми границами. Если напряжение на нагрузке выходит за допустимые границы - фиксируется функциональный отказ. Моделирование повторяется заданное число раз. По отношению числа реализаций типа "функциональный отказ" к общему числу повторений находится вероятность отказа в функционировании.

Расчеты выполнялись по программе из прил. 6. Для допустимых границ

U 20% получена вероятность отказа в функционировании равная 0,09. Номинальное напряжение на выходе делителя составляет 4,31 В.

Эту задачу можно решить также методом получения моментов системы. Суть метода состоит в расчете моментов объекта по характеристикам элементов и заданной функции объекта. Рассчитываются:

математическое ожидание;

среднее квадратическое отклонение;

третий центральный момент;

четвертый центральный момент.

Имея значения всех перечисленных моментов, по распределению Пирсона, можно оценить вероятности непревышения заданных допустимых величин.

Вычисление моментов объекта основано на разложении в ряд Тейлора заданной функции. Все рассуждения основываются на допущении о независимости характеристик отдельных элементов (метод позволяет решать задачу и при наличии корреляции).

Математическое ожидание заданной функции системы вычисляется по формуле

1

n

2

f (x1)... (xn )

f (x1)... (xn )

2(xi),

(1.189)

xi2

2 i 1

где f (x1)... (xn )

- заданная функция

объекта,

при подстановке

2

значений параметров, равных их математическим ожиданиям;

f (x1)...(xn )

-

значение производной

2f

в точке, где параметры

x2

x2

i

i

также равны математическим ожиданиям. Вычислим вторые частные производные:

2UH 0;

E2И

157

1.6.2. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

2UH

2EИ(Z A)

;

Z3

R

2

И

2UH

2EИ(Z A)

;

Z3

R

2

2UH

1

Z(R2 RH) R2Н

2

2EИ

A RН

;

R22

(R2 RH)4

Z3

2UH

2

Z(R2 RH) R22

2EИ

A R2

.

R2H

(R2 RH)4

Z3

Сделаем подстановку числовых значений из табл. 1.13.

2 UH 0;

E2И

A 50 0,1 50,1 Ом.

Z 50 0,1 40 700/(40 700) 87,9 Ом.

UH 2 10 (87,9 50,1) 1,11 10 3 B/Ом2.R2И 87,93

UH 1,11 10 3 B/Ом2.

R12

UH			2 10 50,1 700		2			87,9(40 700) 7002							1,34 10		3	B/Ом		2		.
R22								(40 700)4 87,93
	UH		2 10 50,1 40		2			87,9(40 700) 402						5,24 10		7		B/Ом	2		.
	R2									87,93
								(40 700)4
	H
	Математическое ожидание напряжения на выходе делителя
	10			10(50 0,1)							1	0 12			111, 10 3 002,2
				50 0,1 40 700/(40 700)
										2

1,11 10 3 62 1,34 10 3 52 5,24 10 7 302 4,31 В.

158

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

Дисперсия характеристик объекта вычисляется по формуле

2

n

f (x

1

)... (x

n

) 2

2(x

i

).

(1.190)

xi

i 1

Сделаем подстановку числовых значений из табл. 1.13. Определим значения первых производных.

										UH			1		50,1				0,43.
										EИ				87,9
			UH				10				50,1 87,9						4,89 10				2		В/Ом.
			RИ									87,9		2
									UH			4,89 10							2	В/Ом.
									R1
		UH						10 50,1 7002											5,80 10			2		В/Ом.
		R2						(40 700)2						87,92
		UH							10 50,1 402										1,89 10			4		В/Ом.
		RH						(40 700)2 87,92
Дисперсия напряжения на выходе делителя будет равна
2	0,432 12 ( 4,89 10 2)2																002,2 ( 4,89 10 2)2 62

(5,80 10 2)2 52 (1,89 10 4)2 302 0,285В2.

= 0,534 В.

Третий центральный момент характеристик объекта находится по формуле

			n	f (x	1	)... (x	n	) 3
	3										3	(x	i	),	(1.191)
				xi
			i 1

159

1.6.2. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

где 3(xi) - третий центральный момент распределения параметра i-го элемента (прил. 1). Если по условиям задачи распределения

параметров элементов подчинены закону Гаусса, то 3(xi) = 0 для i 1 ... n. В остальных случаях 3(xi) следует задавать особо.

В нашем случае

3 = 0.

Четвертый центральный момент заданной функции объекта находится по формуле

n

f (x

)... (x

n

) 4

4

1

4

(x

i

)

(1.192)

xi

i 1

2

n

n

f (x1)... (xn)

2

f (x1)... (xn)

6

2(x

i

) 2

(x

j

),

xi

xj

i jj 1

где 4(xi) - четвертый центральный момент (прил. 1) распределения параметра i-го элемента. Если по условиям задачи распределения параметров элементов подчинены закону Гаусса, то 4(xi) 3 22

(см. прил. 1). В остальных случаях 4(xi) следует задавать особо. Сделаем подстановку исходных данных из табл. 1.13. и вычислим

четвертый центральный момент заданной функции объекта.

4 0,434 3 14 ( 4,89 10 2)4 3 0,024 ( 4,89 10 2)4 3 64(5,80 10 2)4 3 54 (1,89 10 4)4 3 304 6 ( 4,89 10 2)2

0,432 0,022 12 ( 4,89 10 2)2		0,43	2	62 12	(5,80 10 2)2	0,432	52	12
(1,89 10 4)2 0,432 302 12	( 4,89		10 2)2		( 4,89 10 2)2	62 0,022
(5,80 10 2)2 ( 4,89 10 2)2	52	0,022		(1,89 10 4)2 ( 4,89 10 2)			2 302

0,022 (5,80 10 2)4 ( 4,89 10 2)2 52 62 (1,89 10 4)2 ( 4,89 10 2)2
302 62 (1,89 10 4)2 (5,80 10 2)2 302 52 0,243 В4.

160