- •Глава 1. Матрицы и определители
- •§1. Матрицы
- •1. Понятие матрицы
- •2. Квадратные матрицы
- •3. Действия с матрицами
- •Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:
- •§2. Определители. Свойства. Вычисление
- •§3. Обратная матрица.
- •§4. Ранг матрицы
- •Идея практического метода вычисления ранга матрицы
- •Типовой пример. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .
- •Глава 2
- •§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли
- •§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
- •§4. Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Глава 3 линейные (векторные) пространства
- •§1. Понятие линейного пространства.
- •§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность
- •Типовые примеры.
- •§ 3. Евклидовы пространства
- •Типовые примеры.
- •3.Матрица Грамма.Матрицей Грамадля системы векторовназывается симметричная матрица вида
- •4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что векторортогонален к подпространству, если векторортогонален любому вектору из этого подпространства.
- •§4.Унитарное пространство
- •§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
- •§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.
- •§6. Симметрические операторы. Квадратичные формы и их применения
- •Типовые примеры.
§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли
1. Систему можно рассматривать как матричное уравнение . Пусть матрица– невырожденная, тогда существует обратная к ней матрицаУмножим обе части данного равенства слева наПолучим
Но тогда, а поскольку
Итак, решением системы является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы.
Типовые примеры.
1) Решите систему .
►Матрица системы имеет вид
Она невырожденная, так как соответствующий ей определитель
.
Следовательно, решение системы может быть по формуле , где X – матрица, состоящая из неизвестных, В – матрица, состоящая из свободных членов, А-1 – обратная матрица для матрицы А. Обратную матрицу А-1 найдем по формуле
Определим алгебраические дополнения Аik элементов данной матрицы. Получим
, ,
, ,
, ,
Тогда
В данном случае матричное равенство X = A-1B может быть записано в виде
откуда ◄
2) Решить систему
►Имеем Найдем:
Таким образом, .◄
2. Правило Крамера. Рассмотрим систему, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными).
Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:
Определитель
,
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
ТЕОРЕМА. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам
,
где – определитель, получаемый из определителязаменой-го столбца на столбец свободных членов.
Формулы для неизвестных носят название формул Крамера.
Типовой пример. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений
►Убедимся прежде всего в том, что определитель системы отличен от нуля:
.
Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, определители:
,
,
.
Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем
Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений в исходную систему уравнений. ◄
3. Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим снова произвольную систему линейных уравнений снеизвестными, которую запишем, как и раньше, в матричной форме:
,
где ,,.
Матрицу называютматрицей системы , а матрицу, полученную из матрицы добавлением столбца свободных членов, –расширенной матрицей системы. Обозначим расширенную матрицу системы символом :
.
Очевидно, что ранги матриц исвязаны неравенством
.
Ранг матрицы может быть лишь на единицу больше ранга матрицы.
Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы .
Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. , то ранг матрицы системы называют рангом системы.