- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Лекция № 1.
Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
Матрицей размерности m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m– строк и n– столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Элемент, стоящий на пересечении строки с номером i(i‒ той строки),
i = 1, 2...m и столбца с номером j(j‒ того столбца),
j = 1, 2…n – обозначается aij.
Матрица обозначается заглавными буквами A,B,C…, а их элементы ‒ соответствующими прописными буквами.
Am× n=
Пример:
A3×2 =
А11 = 3
А21 = – 2
А22 = 5
А32 = –1
Виды матриц
1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей ‒ строкой или вектором – строкой. В1×n= (b11 b12…b1n)
2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей ‒ столбцом или вектором – столбцом. Сm×1 =
3. Матрица называется квадратной n‒ го порядка, если у нее число строк равно числу столбцов и равноn.
A =– квадратная матрица третьего порядка
Главная диагональ
Элементы квадратной матрицы, у которых совпадает номер строки и столбца, образуют главную диагональ.
Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей.
E= – единичная матрица второго порядка.
E= – единичная матрица третьего порядка.
Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
1.Произведение матрицы на число.
Произведением матрицы A на число λназывается такая матрица B, каждый элемент которой находится по формуле:
bij=λ × aij
Пример:
A=
‒ 3A= =
2. Сумма матриц.
Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C, каждый элемент которой находится по формуле: (Cij= Aij +Bij), т.е. матрицы складываются поэлементно.
Пример: + ==
3. Разность матриц.
А ‒ В = А + (‒1) × В
Пример: ‒ ==
4. Произведение матриц.
Произведением матрицы Аm×lна матрицу Вl×nназывается матрица Сm×n, каждый элемент которой cijравен сумме произведений всех элементов i – ой строки матрицы A на соответствующие элементыj ‒ того столбца матрицы B.
Пример:
A2×3= ,А3×3 =
= =
5. Возведение в степень с натуральным показателем квадратных матриц.
= A×A….A
n ‒ раз.
Пример:
A=
= ==
=
6. Транспонирование матриц.
Матрица АТ (или АI) называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A заменены соответствующими столбцами матрицы B, т.е. при транспонировании строки и столбцы меняются местами.
А3×2 =
=
7. Свойства операций.
1. Коммутативность (переместительный закон)
A + B = B + A; т. е. сумма матриц коммутативна.
A × BB × A; т. е. произведение не коммутативно.
2. Ассоциативность (сочетательный закон)
A + (B + С) = (A + B) + С;
A × (B × С) = (A × B) × С;
3. Дистрибутивность (распределительный закон)
(A + B) × С = A×C + B×C;
4. A × E = A.
ЛЕКЦИЯ № 2.
Вопрос 1. Определители квадратных матриц и способы их вычисления.
Определителем квадратной матрицы называется число, характеризующее эту матрицу.
Определители обозначаются двумя вертикальными чертами:
│A│ или ∆ (дельта).
Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка A = (а11) называется число, равное элементу этой матрицы.
│а11│= а11.
Определителем второго порядка квадратной матрицы A = называетсячисло, вычисляемое по формуле:
Пример:
= – 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.
Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
Правило Сарруса (правило треугольника).
Пример 1:
= – 2×1× (–5) + 5×4×(– 4) + 3×2×(– 3) – (– 3) ×1× (– 4) – 4×2×
(– 2) – 5×3 × (– 5) = 10 – 80 –18 –12 +16 +75 = – 9.
Пример 2:
= 45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.
Минором Mij элемента aijквадратной матрицы n ‒ го порядка называется определитель (n ‒ 1) ‒ го порядка, полученный из данной матрицы вычеркиванием i ‒ й строки и j ‒ го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Пример:
;
M11 = = 15 + 2 = 17;
M12 = = – 6 – 6 = –12; и т. д. всего 9 миноров.
Алгебраическим дополнением Aijэлемента aij квадратной матрицы называется его минор, взятый со знаком (‒1)i+j.
Пример:
А 11 = (–1)1+1 × M11 = 17.
А 12 = (–1)1+2 × M12 = ‒ 1×M12 = 12.
А 13 = (–1)1+3 × = 4 ‒ 30= – 26; и т.д.