ЭТНМ - Лабораторная работа №6
.pdfЛабораторная работа №6
Нечеткие множества, индуцированные отображением. Условные нечеткие подмножества
|
|
|
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ |
|
|
Х, Y |
– |
универсальные множества (УМ); |
ХY |
– |
декартово произведение УМ; |
A, B |
– |
нечеткие множества (НМ); |
НО |
– нечеткое отношение (здесь – бинарное); |
|
R |
– НО (бинарное); |
|
R X Y |
– НО R задано на декарт. произведении X Y; |
|
R(x,y) |
– ФП НО R; |
|
L |
– отображение множества X в множество Y; |
|
L-1 |
– |
обратное отображение. |
НМ, индуцированное отображением
Закон L, согласно которому каждому элементу хX соответствует элемент yY со степенью принадлежности L(x,y), называется отображением множества X в множество
Y.
Примечание. X – область определения отображения; Y – область значений отображения.
■ Пусть А(х) – ФП НМ АX, тогда отображение L индуцирует в Y НМ ВY с ФП
B(y):
|
|
|
1 |
|
max ( A (x)), |
если |
L {y} |
|
|
B ( y) x L 1{ y} |
|
|
|
. ■ |
|
0, |
если |
1 |
|
|
L {y} |
|
Условные нечеткие подмножества
Пусть А – некоторое НМ, заданное на Х, т.е. определена ФП A(x) для х Х. Тогда НМ А и НО R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией
принадлежности В(y):
B ( y) max min[ A (x), R (x, y)]
x X
Обозначение: B = A R.
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
1. Даны УМ E1 = {x1, x2, x3, x4} и E2 = {y1, y2, y3}. На УМ E1 задано НМ A: A = x1/0,6 + x2/0,2 + x3/0,9 + x4/0,5.
Также задано отображение L множества Е1 в множество Е2:
L{x1} = {y3} L{x2} = {y1, y3}
L{x3} = {y2, y3}
L{x4} = {y1, y2}
Найти НМ B на УМ E2, индуцированное отображением L.
Решение.
Чтобы найти НМ, индуцированное отображением, нужно сначала определить обратное отображение L-1. Для этого для каждого элемента НМ B нужно найти его в отображении L и выписать те элементы НМ А, для которых он встречается. Например, элемент y1 встречается для элементов x2, x4, следовательно: L-1{y1} = {x2, x4} и т.д.
Таким образом, обратное отображение будет выглядеть так:
L-1{y1} = {x2, x4} L-1{y2} = {x3, x4} L-1{y3} = {x1, x2, x3}
Далее, чтобы определить степени принадлежности элементов НМ В, нужно выбрать максимумы из ФП тех элементов множества А, которые соответствуют данному элементу из В. Например:
B(y1) = max(A(x2); A(x4)) = max(0,2; 0,5) = 0,5
и т.д.
Итого, получаем:
B = y1/0,5 + y2/0,9 + y3/0,9.
2. Даны НМ А и НО R:
A = x1/0,3 + x2/0,8 + x2/0,5 + x4/0,7
|
|
y1 |
y2 |
y3 |
|
x1 |
0,4 |
1 |
0,2 |
R = |
x2 |
0,5 |
0,7 |
0 |
|
x3 |
0,2 |
0,6 |
0,5 |
|
x4 |
0,8 |
0,3 |
0,9 |
Найти условное нечеткое множество, индуцированное нечетким множеством А и нечетким отношением R.
Решение.
Для нахождения условного НМ нужно найти максиминную композицию НМ A и НО R (НМ в данном случае рассматривается как НО с размерностью 1 4). В результате получится НО с размерностью 3 1, которое и будет рассматриваться как НМ из трех элементов.
Находим максиминную композицию:
B(y1) = max[min(0,3; 0,4), min(0,8; 0,5), min(0,5; 0,2), min(0,7; 0,8)] = = max(0,3; 0,5; 0,2; 0,7) = 0,7;
B(y2) = max[min(0,3; 1), min(0,8; 0,7), min(0,5; 0,6), min(0,7; 0,3)] = = max(0,3; 0,7; 0,5; 0,3) = 0,7;
B(y3) = max[min(0,3; 0,2), min(0,8; 0), min(0,5; 0,5), min(0,7; 0,9)] =
=max(0,2; 0; 0,5; 0,7) = 0,7.
Врезультате получаем:
B = y1/0,7 + y2/0,7 + y3/0,7.
3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 01
Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
0,48 |
0,75 |
0,52 |
0,25 |
0,86 |
0,91 |
0,13 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b2;b3;b4}
a2 :{ b1;b2;b4;b5;b6}
a3 :{ b2;b3;b4;b5;b6}
a4 :{ b2;b3;b4}
a5 :{ b1;b2;b3;b4;b6;b7}
a6 :{ b1;b3;b6;b7}
a7 :{ b1;b2;b4;b5}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 02
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 6 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,59 |
0,84 |
0,65 |
0,15 |
0,12 |
0,2 |
0,88 |
0,19 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b2}
a2 :{ b1}
a3 :{ b1}
a4 :{ b1;b2;b3}
a5 :{ b1}
a6 :{ b1}
a7 :{ b1}
a8 :{ b1;b2}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 03
Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0,58 |
0,37 |
0,9 |
0,86 |
0,5 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b1;b2}
x2 :{ b2}
x3 :{ b1}
x4 :{ b3;b4;b5}
x5 :{ b1}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 04
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,80 |
0,21 |
0,18 |
0,39 |
0,62 |
0,35 |
0,92 |
0,9 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b1;b2}
a2 :{ b2;b4;b5}
a3 :{ b1;b2;b3;b4}
a4 :{ b1}
a5 :{ b1;b2;b3}
a6 :{ b1;b2}
a7 :{ b1}
a8 :{ b1;b2;b4;b5}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 05
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,12 |
0,70 |
0,22 |
0,47 |
0,78 |
0,43 |
0,66 |
0,23 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b1}
a2 :{ b1;b2;b3}
a3 :{ b1;b2;b3;b4;b5}
a4 :{ b1;b3}
a5 :{ b2;b3;b4;b5;b6}
a6 :{ b1;b2;b4;b5}
a7 :{ b1;b3;b4}
a8 :{ b1;b2}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 06
Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
0,31 |
0,57 |
0,40 |
0,41 |
0,3 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b1;b2}
a2 :{ b1}
a3 :{ b1;b2;b3;b4}
a4 :{ b1;b4}
a5 :{ b1;b2;b3;b4}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 07
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
0,53 |
0,68 |
0,15 |
0,60 |
0,11 |
0,68 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b1;b2;b3}
x2 :{ b2}
x3 :{ b1}
x4 :{ b2;b3}
x5 :{ b1;b2;b3}
x6 :{ b2;b4;b5}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 08
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
0,84 |
0,17 |
0,20 |
0,68 |
0,26 |
0,76 |
Отображение
L:
{
a1 :{ y1}
a2 :{ y1}
a3 :{ y2;y3;y4;y6;y7}
a4 :{ y1;y2}
a5 :{ y1;y2;y3}
a6 :{ y1;y2;y3}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 09
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
0,91 |
0,51 |
0,38 |
0,5 |
0,44 |
0,78 |
Отображение
L:
{
x1 :{ y1;y2;y3;y4}
x2 :{ y3;y4;y5;y6;y7}
x3 :{ y1;y3;y4}
x4 :{ y1;y2;y4;y6}
x5 :{ y2;y3;y5;y6}
x6 :{ y2;y6;y7}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 10
Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
0,54 |
0,44 |
0,78 |
0,60 |
0,48 |
0,85 |
0,88 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b3}
x2 :{ b1;b4;b5}
x3 :{ b1}
x4 :{ b1;b2;b3}
x5 :{ b2;b3}
x6 :{ b1}
x7 :{ b1;b2}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 11
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,20 |
0,61 |
0,77 |
0,39 |
0,35 |
0,50 |
0,90 |
0,65 |
Отображение
L:
{
a1 :{ y1}
a2 :{ y1;y4;y5;y6}
a3 :{ y1;y3;y4}
a4 :{ y1;y4;y5;y8}
a5 :{ y1;y3;y5;y6;y7;y8}
a6 :{ y1;y2;y3}
a7 :{ y1;y2;y3;y4}
a8 :{ y1;y2}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 12
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
0,60 |
0,83 |
0,67 |
0,57 |
0,92 |
0,96 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b1}
x2 :{ b1;b3}
x3 :{ b1;b2;b4}
x4 :{ b1;b2;b3}
x5 :{ b1;b2;b3}
x6 :{ b1;b2;b3;b6;b7}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 13
Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
0,14 |
0,29 |
0,88 |
0,68 |
0,6 |
0,93 |
0,66 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b1;b2;b3;b5}
x2 :{ b1}
x3 :{ b1;b2}
x4 :{ b1;b3;b4;b5}
x5 :{ b2}
x6 :{ b1;b2;b5}
x7 :{ b1}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 14
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
0,67 |
0,94 |
0,88 |
0,89 |
0,86 |
0,77 |
Отображение
L:
{
a1 :{ y1;y4;y5;y7}
a2 :{ y1;y3;y4;y5;y6;y8}
a3 :{ y2;y3;y4;y6;y7}
a4 :{ y3;y4;y5;y6;y7}
a5 :{ y1;y2;y3;y6;y7}
a6 :{ y1;y2;y4;y5;y6;y7;y8}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 15
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,52 |
0,12 |
0,12 |
0,13 |
0,39 |
0,3 |
0,68 |
0,16 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b2;b3;b4}
a2 :{ b1;b2}
a3 :{ b1;b2}
a4 :{ b2}
a5 :{ b1;b5}
a6 :{ b1;b2}
a7 :{ b1;b2}
a8 :{ b1;b2}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 16
Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 6 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
0,84 |
0,61 |
0,16 |
0,21 |
0,54 |
0,11 |
0,42 |
Отображение
L:
{
x1 :{ y1;y2}
x2 :{ y2}
x3 :{ y1;y2;y4}
x4 :{ y1;y2}
x5 :{ y2;y3}
x6 :{ y1}
x7 :{ y1;y3}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 17
Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
0,25 |
0,46 |
0,50 |
0,18 |
0,77 |
0,84 |
0,29 |
Отображение
L:
{
x1 :{ y1;y3;y4;y6;y7;y8}
x2 :{ y1;y2;y3;y4}
x3 :{ y2;y3}
x4 :{ y2;y4;y5}
x5 :{ y1}
x6 :{ y1;y2;y4;y5}
x7 :{ y5;y6;y7;y8}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 18
Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0,75 |
0,13 |
0,59 |
0,81 |
0,25 |
Отображение
L:
{
x1 :{ y1;y2}
x2 :{ y1;y3;y4}
x3 :{ y1;y3;y4;y5}
x4 :{ y1}
x5 :{ y1;y2;y3;y4;y7}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 19
Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 6
Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
0,71 |
0,2 |
0,59 |
0,73 |
0,52 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b2}
a2 :{ b2}
a3 :{ b2;b4;b5}
a4 :{ b1}
a5 :{ b1}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 20
Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
0,82 |
0,16 |
0,91 |
0,58 |
0,35 |
0,78 |
0,39 |
0,49 |
Отображение
L:
{
a1 :{ b2;b3;b4;b5}
a2 :{ b1}
a3 :{ b1;b2;b4}
a4 :{ b1}
a5 :{ b1}
a6 :{ b2}
a7 :{ b3;b4;b5;b6}
a8 :{ b1}
}
Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.
Вариант 21
Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 6 Нечеткое множество:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
0,1 |
0,3 |
0,8 |
0,53 |
0,60 |
0,61 |
Отображение
L:
{
x1 :{ b2;b3}
x2 :{ b1;b2;b3}
x3 :{ b1;b2;b3;b4}
x4 :{ b3;b4;b5;b6}
x5 :{ b3;b4}
x6 :{ b2}
}