лекция 4
.docxМинистерство образования и науки РФ
ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический
университет»
Кафедра электротехники и электрических машин
УТВЕРЖДАЮ |
||
Заведующий кафедрой электротехники и электрических машин
|
||
к.т.н., доцент |
|
ЯЯ.М. Кашин
|
____ _______ 2015 г.
|
Конспект лекций
по дисциплине «Численные методы расчета
электрооборудования»
для студентов направления 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника»
Квалификация выпускника – магистр
Разработал:
к.т.н., доц. И.Н. Автайкин
Обсужден на заседании кафедры
электротехники и электрических машин
25 августа 2015 г. (протокол № 1)
Секретарь кафедры
к.т.н., доц. С.А. Попов
2015 г.
Лекция № 1 (2 часа)
по дисциплине «Численные методы расчета электрооборудования»
Тема № 4. Численное дифференцирование
Цели: 1. Формирование следующих компетенций:
ПКД-3 Способностью к освоению и применению современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования
2. Формирование уровня обученности:
Знать: современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования.
Уметь: применять современные методы решения математических задач с использованием компьютерной техники.
Владеть: современным математическим аппаратом позволяющим анализировать математические модели электрооборудования.
Материальное обеспечение:
Учебные вопросы
1. Метод Эйлера;
2. Усовершенствованный метод Эйлера;
3. Модифицированный метод Эйлера;
4. Метод Рунге-Кута.
Литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 631с.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 535с.
Методы решения однородных дифференциальных уравнений.
Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
-
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде
(1)
независимая переменная
Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения.
Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной
(2)
Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.
Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3)
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).
Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.
1. Метод Эйлера.
Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.
Пусть дано уравнение с начальным условием то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами
Уравнение касательной имеет вид
Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :
или
(4)
Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке .
Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.
Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек
.
Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы
(5)
Рисунок. 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке xi называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции yi мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (yi) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования
где - решение, рассчитанное с шагом 2h , – решение, рассчитанное с
шагом h .
Пример
В качестве примера проведем расчеты по формулам метода Эйлера с
шагом h=0,05 и h=0,1 для задачи Коши .
Формулы для расчета имеют вид
Рассчитываем с шагом h = 0.1
0.
1.
2.
3.
***
10.
2. Усовершенствованный метод Эйлера
Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций.
Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:
(6)
А формула (5) получает вид
(7)
Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (5) находят значение
(8)
В точке а затем находится по формуле (7) с шагом
(9)
После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (7)
….
Пример
В качестве примера проведем расчеты по формулам усовершенствованного метода Эйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .
;
***
3. Модифицированный метод Эйлера
Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.
Прогноз:
(10)
Коррекция:
(11)
Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.
Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.
Пример
В качестве примера проведем расчеты по формулам модифицированным методом Эйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .
Таблица Решение уравнения модифицированным методами Эйлера
xi |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
yi |
1 |
0.99 |
0.961 |
0.914 |
0.852 |
0.779 |
0.698 |
0.613 |
0.528 |
0.446 |
0.369 |
Точное решение имеет вид
4. Метод Рунге-Кутты
Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.
В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 , xi].
тогда можно определить так
Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений .
При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.
Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h4):
где
Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным.