Лабораторная работа №3 численное интегрирование в задачах электротехники

Целью работы является исследование методов интегрирования и реализации их в программной среде MathCad.

Содержание работы

1. Исследовать методы интегрирования прямоугольниками;

2. Исследовать метод интегрирования трапециями;

3. Исследовать метод интегрирования параболами (Симпсона).

Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОСMSWindowsXPи выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетовMathCad.

Методические указания

Численное интегрирование(историческое название: (численная)квадратура) — вычисление значенияопределённого интеграла(как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают наборчисленных методовдля нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

• сама подынтегральная функция не задана аналитически;

• аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница

Для приближенного вычисления интеграла  можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних), метод трапеций и метод парабол.

1.Метод прямоугольников

В этом методе подынтегральная функция заменяется горизонтальной прямойсо значением ординаты, т. е. значения функции соответст­венно слева или справа участка.

Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация опре­­деленного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.

Формула левых прямоугольников:

- шаг интегрирования;

n- число разбиений.

Левые прямоугольники

Рисунок 3.1

Формула правых прямоугольников:

Правые прямоугольники

Рисунок 3.2

Формула средних прямоугольников:

или

Рисунок 3.3

2. Метод трапеций

Метод трапеций —заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями.

Рисунок 3.4 Аппроксимацияфункции линейной

зависимостью при интегрировании методом трапеций

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования).

3. Метод парабол (Симпсона)

Суть метода парабол заключается в приближении функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленном второй степени p²(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/2N. Число отрезков разбиения 2N должно быть четным числом.

- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

- сумма членов с чётными индексами умножается на 2;

-сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.