Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория к актуарной математике 2015ТВ И МСТ.doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
1.85 Mб
Скачать

1. Элементы теории вероятностей и математической статистики

1.1. Случайные события

Теория вероятностей изучает закономерности массовых, случайных явлений. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события.

Событием называется всякий факт, который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Примеры событий: получение прибыли при заключении сделки, отказ технического устройства за время его работы, искажение информации при передаче сообщения, получение качественного или бракованного изделия при его изготовлении.

Достоверным называется событие, которое при испытании обязательно произойдет. Обозначают достоверное событие латинской буквой U.

Невозможным называется событие, которое при испытании заведомо не произойдет. Это событие обозначают буквой V.

Случайным называется событие, которое при испытании может произойти или не произойти. Обозначаются случайные события большими буквами латинского алфавита: A, B, C, . . . .

Равновозможными называются случайные события, которые могут произойти с одинаковой возможностью.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого. Если появление одного события исключает появление другого, то события несовместны.

Несколько событий называются А1, А2,…, Аn называют попарно несовместными, если появление каждого из них исключает появление любого из остальных.

События А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, и в результате опыта одно из них обязательно произойдет.

Операции над событиями определяют правила действий с событиями и позволяют выражать одни события через другие.

Суммой (объединением) событий А и В называется событие С=А+В (С=АÈВ), состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из них ( или А, или В, или оба) . На диаграмме (рис 1.2.) событию С соответствует заштрихованная область С, представляющая объединение областей А и В. Аналогично, суммой нескольких событий А1, А2,…, Аn называется событие С, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий Аi, i=. Если события А1, А2,…, Аn образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию: .

Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С=А×В (С=АÇВ), состоящее в совместном появлении событий А и В. На рис 1.3.а событие С представлено пересечением областей А и В. Если А и Внесовместные события, то их произведение - невозможное событие , т. е. А×В=V (рис. 1.3.б).

Произведение событий А1, А2,…, Аn – это событие С, состоящее в совместном появлении всех событий Аi, i=: С=. Произведения попарно несовместных событийА1, А2,…, Аn – невозможные события: Аi×Аj=V, для любого i¹j.

Противоположным событием для событияА называется событие, состоящее в том, что событие А не произошло.

Свойства операций над событиями.

1. Переместительные свойства: А+В=В+А, А·В=В·А.

2. Сочетательные свойства: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).

3. Распределительное свойство: А(В+С)=АВ+АС.

4. Из определений операций над событиями следуют свойства:

А+А=А; А+U=U; А+V=А; А·А=А; А·U=А; А·V=V.

5 . Из определения противоположного события следует, что:

А+=U; А×=V;=А;=V;=U; U+V=U; U×V=V.

Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А и обозначается она Р(А).

Классическое определение вероятности. События, составляющие при данном испытании полную группу попарно несовместных, равновозможных событий, называют элементарными случаями. Те из элементарных случаев, при которых наступает событие А, называют благоприятствующими событию А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих элементарных случаев к общему числу всех элементарных случаев. Вероятность определяется формулой

, (1.7)

где m – число элементарных случаев, благоприятствующих событию А,

число всех возможных элементарных случаев.

Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.

Пример В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета будет получен выигрыш.

4Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, равно=5. Вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна Р(А) == 0.005.3

Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Рассмотрим это на примере задачи выборочного контроля.

Пример Пусть имеется партия из изделий, среди них естьбракованных. Для контроля отбирается часть изизделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровнобракованных?

4 Число всех элементарных случаев – это число способов, которыми можно отобратьизделий из партии содержащейизделий, оно равно числу сочетаний изэлементов по:. Число элементарных случаев, благоприятствующих событию А согласно правилу умножения комбинаторики, будет. Тогда искомая вероятность.

Например, пусть =100,=10,=10,=1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна

= ==» 0.408. 3

Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда число элементарных случаев безконечно, что приводит к неопределенности в классической формуле.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к меревсей области: (1.10)

Если области представляют собой а) длины отрезков , б) площади фигур, в) объемы пространственных фигур, то геометрические вероятности соответственно равны:

; ;. (1.11)

Пример . Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?

4Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6).Чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет Р ==0.4.3

Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью, обозначается и вычисляется:

Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Формула (2.4.) может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое событие произошло:

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности всех последующих событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события наступили.

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий , равна разности между единицей и вероятностью произведения всех противоположных событий

Формула полной вероятности. Формулы гипотез (Бейеса).

Пусть событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий , образующихполную группу и называемых гипотезами. Вероятности гипотез предполагаются известными, причем. Тогдавероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошла i – тая гипотеза, т.е.

=

=

Это равенство называют формулой полной вероятности.

Если событие А произошло, то вероятности гипотез изменятся и могут быть переоценены по формулам Бейеса:

где вычисляется в соответствии с формулойпогной вероятности.

Пример . В продажу поступили однотипные изделия с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% изделий с дефектом, второго – 8% и третьего 15%. Какова вероятность приобрести изделие с дефектом, если в магазин поступило 30% изделий первого завода, 50% изделий второго завода и 20% - третьего?

Обозначим:

={изделие произведено первым заводом}, ;

={изделие произведено вторым заводом}, ;

={изделие произведено третьим заводом}, ;

А= {купленное изделие имеет дефект}.

Событие А может произойти совместно с одной из гипотез Н, Нили Н, причем

Вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

=

Формула Бернулли

Пусть опыт состоит в проведении серии испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностьюР(А)=р или не произойти с вероятностью Р() = 1 - Р(А) = 1 ‑ р = q. Если результат каждого испытания не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми повторными испытаниями. Событие А называют простым событием. Событие ‑ появление простого события А ровно раз внезависимых испытаниях ‑ называют сложным событием и обозначают .

Опыт, удовлетворяющий перечисленным условиям, называют схемой испытаний Бернулли или схемой независимых испытаний.

Цель опыта: определить вероятность сложного события , заключающегося в том, что внезависимых испытаниях простое событиеА появится ровно раз и не появитсяраз.

Эта вероятность определяется формулой Бернулли:

,

где ‑ биномиальные коэффициенты.

Всего сложных вероятностей в схеме испытаний Бернулли всегда .

Сумма сложных вероятностей равна сумме вероятностей полной группы попарно несовместных событий и описывает вероятность достоверного события, равную единице:

.

Пример Вероятность того, что в течение рабочего дня произойдет сбой в поставке сырья на производство, равна 0.8. Определить вероятности того, что в течение рабочей недели (5 дней):

  1. три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья;

  2. сбой в поставках будет в трех рабочих днях;

  3. сбой будет менее чем в трех рабочих днях;

  4. днях.

Простое событие А = {нет сбоя в поставках сырья в течение одного рабочего дня}, Р(А)=р=0.8. Противоположное событие ={произошел сбой в поставках сырья в течение рабочего дня},

Р() = 1‑р = q = 0.2.

1) Сложное событие В={ровно три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья}, его вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Р(В) = ===0.2048

2) Событие С= {сбой в поставках будет в трех рабочих днях},

Р(С) = = =0.0512

3) Событие D= {сбой в поставках будет менее чем в трех рабочих днях} равно сумме сложных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}. Эти события несовместны, поэтому:

P(D) = ++= =

= ++= 0.512(0.64+0.8+0.4) = 0.94208.

Если число испытаний достаточно велико, то при вычислении вероятностей сложных событий по формуле Бернулли возникают вычислительные проблемы, связанные с громоздкостью вычислений и с неизбежной потерей точности расчетов.

Например, в рамках условий примера 3.1 вероятность того, что за год работы предприятия (288 рабочих дней) сбой в поставках сырья произойдет в 48 рабочих днях, определяется формулой: =. Получить по этой формуле результат с допустимой точностью практически невозможно.

Для определения вероятностей сложных событий, подчиняющихся схеме независимых испытаний, существуют асимптотические формулы, позволяющие достаточно точно вычислить сложные вероятности в случае, если велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равнаи отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в испытаниях событие А наступитраз, приближенно равна (тем точнее, чем больше)

, где ,.

Существуют специальные таблицы (см. приложения), которые содержат значения функции для положительных значений аргумента. Функциячетная (=) и ее значения при отрицательных значениях аргумента определяют по тем же таблицам.

Пример . Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0.9. Деталь тут же проверяется ОТК. За смену с конвейера сходит 400 деталей. Найти вероятность того, что объем продукции, принятой ОТК за смену, составит ровно 356 деталей.

 Из условия задачи следует, что данные испытания подчиняются схеме испытаний Бернулли: опыты независимы друг от друга, исход опыта – простое событие (есть брак или нет брака), вероятность простого события в каждом опыте одинакова и отлична от нуля или единицы. Число испытаний =400 велико, т. е. удовлетворяются все условия локальной теоремы Лапласа. Сложная вероятность определяется по формуле:

, где ,

= = ‑ 0.667.

По таблицам приложения определяем значение функции , учитывая четность функции:= 0.3188. Искомая вероятность

0.3188/6  0.0531. 

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равнаи отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в испытаниях событие А наступит не менееи не болеераз, приближенно равна (тем точнее, чем больше)

= ,

где функция Лапласа, ,.

Функция Лапласа представляет собой интеграл с переменным верхним пределом, не берущийся в рамках элементарных функций. Для вычисления его при заданном значении переменной существуют таблицы (см. приложение), в которых приведены значения интеграла Лапласа для положительных значений аргумента 0, 5. Для 5 полагают значения функции Лапласа постоянными и равными = 0.5. Интеграл Лапласа – функция нечетная (=), и для0 используют те же таблицы с  0, но значению приписывают знак минус.

Понятие случайной величины

Случайная величина (СВ) - это переменная величина, принимающая свои значения в зависимости от случая, с некоторой вероятностью. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной называется СВ, принимающая отдельные, изолированные значения, которые можно перенумеровать (их число может быть конечным или бесконечным).

Непрерывной называется СВ, значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный).

Например, число пассажиров, перевозимых городским транспортом, число бракованных изделий среди изготовленных, число зёрен в колосе пшеницы, число студентов не посещающих занятия являются дискретными СВ, а случайные ошибки взвешивания, время безотказной работы кассового аппарата ‑ непрерывными СВ.

Полностью охарактеризовать СВ можно законом ее распределения.

Закон распределения СВ Х - это есть соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Дискретные случайные величины.

Простейшей формой выражения закона распределения дискретной СВ Х является таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

xi

x1

x2

...

xn

pi

p1

p2

...

рn

Такую таблицу ещё называют рядом распределения СВ.

Все возможные значения СВ Х образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей, помещённых в таблице равна 1, т.е.

.

Графически ряд распределения представляется ломаной линией, которая называется многоугольником распределения. На оси абсцисс откладываются все возможные значения х СВ X, а на оси ординат - cоответствующие вероятности pi. Полученные точки ( х, pi) соединяются отрезками прямых (рис. 6).

Пример. Для изучения уровня зарплаты рабочих обследовано 5 частных предприятий. Вероятность того, что на каждом из них зарплата выше среднего уровня обеспеченности, равна 0,6. Построить ряд расп-ределения и многоугольник распределения СВ Х - числа предприятий, на которых зарплата выше среднего уровня обеспеченности.

Возможными значениями СВ Х являются: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, x5=4, x6=5.

Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли при и:

P(X=0)=P5(0)=(0,6)0(0,4)50,0102, P(X=1)=P5(1)=(0,6)1(0,4)4=0,0768, P(X=2)=P5(2)=(0,6)2(0,4)3 =0,2304, P(X=3)=P5(3)=(0,6)3(0,4)2=0,3456, P(X=4)=P5(4)=(0,6)4(0,4)1=0,2592, P(X=5)=P5(5)=(0,6)5(0,4)00,0778.

Условиевыполнено:0,0102+0,0768+0,2304+0,3456+0,2502+0,0778=1,

все вероятности вычислены верно. Ряд распределения СВ Х имеет вид:

. xi

0

1

2

3

4

5

pi

0,0102

0,0768

0,2304

0,3456

0,2592

0,0778

Многоугольник распределения изображен на рис.4.2. 

Функция распределения.

Пусть Х - случайная величина и х - произвольное действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей СВ Х:

F(x)=P(X<x)

Если рассматривать СВ Х как случайную точку на оси ОХ, которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта окажется левее точки x (рис.4.3.1.).